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2.5极限存在准则两个重要极限习题2.5用单调有界数列必有极限的定理证明下列数列的极限存在：（1）证明：显然单调上升。又因为所以有极限。（2）证明：显然单调上升。又因为所以有极限。（3）证明：显然单调下降。又因为，所以有极限。（4）证明：。所以单调下降。又因为，所以有极限。求下列数列的极限：（1）解：显然。假设则。所以由归纳法，所有的都小于。进而，单调上升，所以极限存在。设，则由得，或。根据单调上升，应有，所以（2）解：由此看出，若则，而，所以单调上升，有上界，所以极限存在。设，则由得，。根据的每项都为正数，应有，所以（3）解：情形1：显然。情形2：。此时，所以单调下降，有下界，所以极限存在。设，则由得，。所以情形3：。此时满足情形2，所以所以（4）解：，而，所以计算下列极限：（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式（5）解：原式（6）解：原式（7）解：原式。（8）解：原式。（9)解：原式（10）解：原式（11）解：原式（12）解：是时的无穷小量，有界，所以（13）解：原式(14)解：原式(15)解：原式4。计算下列极限：（1）。解：原式（2）。解：原式（3）。解：原式（4）。解：原式（5）若，求。解：原式所以（6）。解：原式（7）。解：原式（8）。解：原式（9）。解：原式5.利用极限存在准则证明：（1）证明：而，所以（2）证明：而，所以（3）数列的极限存在。证明：显然数列单调上升。，若，则又，所以对于所有的都有，所以数列的极限存在。（4）证明：，而，所以（5）证明：，所以，而，所

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