2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】特训(学生版+解析)

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面的基本性质及推论】 4【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】 5【题型3等角定理】 6【题型4平面分空间问题】 7【题型5截面问题】 8【题型6异面直线的判定】 9【题型7异面直线所成的角】 10【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 111、空间点、直线、平面之间的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义(2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题2022年新高考I卷：第9题，5分2022年上海卷：第15题，5分2023年上海卷：第15题，5分空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易.【知识点1平面的基本事实及推论】1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论(1)四个基本事实及其表示①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(2)四个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.基本事实4：①判断两条直线平行.(3)基本事实1和2的三个推论推论自然语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一.2．等角定理(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.【知识点2共面、共线、共点问题的证明方法】1．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【知识点3平面分空间问题】1．平面分空间问题一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).【知识点4空间点、线、面之间的位置关系】1．空间中直线与直线的位置关系(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：(2)异面直线的画法

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.2．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：位置关系图形表示符号表示公共点直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线与平面平行没有公共点3．空间中平面与平面的位置关系(1)两种位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线(2)两种位置关系平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.4．异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.【方法技巧与总结】1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角.【题型1平面的基本性质及推论】【例1】（2024·全国·模拟预测）给出下列四个结论：①经过两条相交直线，有且只有一个平面；②经过两条平行直线，有且只有一个平面；③经过三点，有且只有一个平面；④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（

）A．若α∩β=l，A∈α且A∈β，则A∈lB．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉βC．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线D．若A，B是两个不同的点，A∈α且B∈α，则直线AB⊂α【变式1-3】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．过三个点有且只有一个平面B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面C．四边形为平面图形D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】【例2】（2024·吉林·模拟预测）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1A．A,M,O三点共线 B．M,O,AC．B,B1,O,M四点共面 【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2024·重庆·二模）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G,H分别在BC，CD上，且BG:

①E，F，G，H四点共面；②EG//FH;③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，A．0 B．1 C．2 D．3【变式2-3】（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，E、F、G、H分别为AB、A．AB．E、F、G、H四点共面C．设BC=2，则平面EFC1D．EF、GH、AA【题型3等角定理】【例3】（23-24高一·全国·课后作业）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，则A．30° B．30°或150°C．150° D．30°或120°【变式3-2】（23-24高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（

）A．全等 B．相似C．仅有一个角相等 D．无法判断【题型4平面分空间问题】【例4】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（

）A．

B．

C．

D．

【变式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空间的4个平面最多能将空间分成（

）个区域．A．13 B．14 C．15 D．16【变式4-3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【题型5截面问题】【例5】（2023·四川南充·一模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A．32 B．92 C．9【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点

A．32+25 B．9 C．2【变式5-2】（2024·上海黄浦·二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体ABCD−A1B1C1DA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点E，F分别在棱D1A1，D1C1上，且满足D1ED1AA．822 B．622 C．422【题型6异面直线的判定】【例6】（2024·上海·模拟预测）如下图，P是正方体ABCD−A1B1C1DA．直线DD1 B．直线B1C C．直线【变式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（

）

A．FG B．EH C．EF D．BC【变式6-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线中，异面直线有（

）A．1对 B．3对 C．5对 D．2对【变式6-3】（2024·四川宜宾·二模）四棱锥P−ABCD所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法错误的是（

）A．MN与PD是异面直线 B．MN//平面C．MN//AC 【题型7异面直线所成的角】【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1DA．255 B．55 C．10【变式7-1】（2024·云南·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A．π6 B．π4 C．π3【变式7-2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在直三棱柱ABD−A1B1D1中，AB=AD=AA1,∠ABD=45°，PA．30° B．45° C．60° D．90°【变式7-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，点D是线段AA．510 B．1010 C．1020【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】【例8】（2024·上海长宁·二模）已知直线a,b和平面α，则下列判断中正确的是（

）A．若a//α,b//α，则a//b B．若a//b,b//α，则a//αC．若a//α,b⊥α，则a⊥b D．若a⊥b,b//α，则a⊥α【变式8-1】（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若α⊥β，m∥α，则m⊥βB．若m⊥β，m⊥α，n∥α，则n∥βC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥n【变式8-2】（2024·河南·三模）已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若m⊂α，n⊂α，m//β，nB．若m//α，n⊂αC．若n//m，m⊄α，n⊂αD．若α//β，m⊂α，n⊂β【变式8-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知m､n是两条不同的直线，α､A．若m∥α,m∥β，则α∥βB．若m∥α,n∥α，则m∥nC．若α⊥β,β⊥γ，则α∥γD．若m⊥α,m⊥β,α∥γ，则β∥γ一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（

）A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．（2024高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分4．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若直线l,m,n两两相交，则直线l,m,n共面B．若直线l,m与平面α所成的角相等，则直线l,m互相平行C．若平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面α与平面β平行D．若不共面的4个点到平面α的距离相等，则这样的平面α有且只有7个5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均相等，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（

）A．63 B．−63 C．36．（2024·宁夏银川·三模）A,B是两个不同的点，α,β为两个不同的平面，下列推理错误的是（

）A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A∈l,l⊂α⇒A∈α7．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A．E,F,G,H四点共面 B．EF//GHC．EG,FH,AA1三线共点 8．（2024·陕西铜川·三模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为A．62 B．63 C．122二、多选题9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（

）A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．经过两条平行直线，有且只有一个平面C．经过三点，有且只有一个平面D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面10．（2024·江苏南通·模拟预测）已知a，b是两条直线，α,β是两个平面，下列结论不正确的是（

）A．若α∥β,a∥α,b∥β，则a∥bB．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，则aC．若a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α，则α∥βD．若a⊂α,b⊂β,a∥β,a⊥b，则α⊥β11．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B

A．四点B，D，E，F在同一平面内B．三条直线BF，DE，CCC．直线A1C与直线D．直线A1C上存在点N使M，N，三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AC=3，BC=1，PA=PB=PC=AB=2，M为AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值是13．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AA1=6，M14．（2024·全国·模拟预测）已知α､β是两个不同的平面，m､n是平面α､β外两条不同的直线，给出四个条件：①m⊥n；②α//（1）已知②③④，则①成立（2）已知①③④，则②成立（3）已知①②④，则③成立（4）已知①②③，则④成立四、解答题15．（23-24高一·全国·课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.16．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线a,b和平面α、β，判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若a∥α，b⊥a，则b⊥α；(2)若a∥α，α⊥β，则a⊥β；(3)若a∥b，b⊂α，则a∥α．17．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=3，E是PD的中点，F,M分别在PC,PB上，且PF=1(1)证明：E,F,A,M四点共面；(2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD，求四棱锥P−AMFE的体积．18．（2023·上海·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

(1)求该圆锥的侧面积与体积；(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.19．（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AD=4，BA=BC=2，M为PA中点，过C，D，M的平面截四棱锥P−ABCD所得的截面为(1)若α与棱PB交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明PBFB(2)求多面体ABCDMF的体积．专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面的基本性质及推论】 4【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】 6【题型3等角定理】 11【题型4平面分空间问题】 13【题型5截面问题】 15【题型6异面直线的判定】 19【题型7异面直线所成的角】 22【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 251、空间点、直线、平面之间的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义(2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题2022年新高考I卷：第9题，5分2022年上海卷：第15题，5分2023年上海卷：第15题，5分空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易.【知识点1平面的基本事实及推论】1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论(1)四个基本事实及其表示①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(2)四个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.基本事实4：①判断两条直线平行.(3)基本事实1和2的三个推论推论自然语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一.2．等角定理(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.【知识点2共面、共线、共点问题的证明方法】1．共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【知识点3平面分空间问题】1．平面分空间问题一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).【知识点4空间点、线、面之间的位置关系】1．空间中直线与直线的位置关系(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：(2)异面直线的画法

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.2．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：位置关系图形表示符号表示公共点直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线与平面平行没有公共点3．空间中平面与平面的位置关系(1)两种位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线(2)两种位置关系平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.4．异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.【方法技巧与总结】1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角.【题型1平面的基本性质及推论】【例1】（2024·全国·模拟预测）给出下列四个结论：①经过两条相交直线，有且只有一个平面；②经过两条平行直线，有且只有一个平面；③经过三点，有且只有一个平面；④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可.【解答过程】根据基本事实以及推论，易知①②正确.若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误.若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误.即正确的命题有2个，故选：B.【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面【解题思路】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可.【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误，四边形存在空间四边形，故选项B错误，三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确，当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误.故选：C.【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（

）A．若α∩β=l，A∈α且A∈β，则A∈lB．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉βC．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线D．若A，B是两个不同的点，A∈α且B∈α，则直线AB⊂α【解题思路】根据题意结合平面的性质以及相关基本事实逐项分析判断.【解答过程】对于A，因为A∈α且A∈β，则A是平面α和平面β的公共点，又因为α∩β=l，由基本事实3可得A∈l，故A正确；对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又因为A∈β，B∈β且A，B，C∈α，则C∉β，故B正确；对于C，由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确．故选：C．【变式1-3】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．过三个点有且只有一个平面B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面C．四边形为平面图形D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解题思路】根据平面的基本性质可判断A，D，由推论可判断B，根据特例可判断C.【解答过程】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误；因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误；由空间四边形不是平面图形可知，C错误；由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确.故选：D.【题型2点共线、点（线）共面、线共点问题】【例2】（2024·吉林·模拟预测）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1A．A,M,O三点共线 B．M,O,AC．B,B1,O,M四点共面 【解题思路】由长方体性质易知A,A1,C1,C四点共面且OM,BB1是异面直线,再根据M与A1C、面ACC【解答过程】因为AA则A,A因为M∈A则M∈平面ACC又M∈平面AB则点M在平面ACC1A同理,O、A也在平面ACC1A所以A,M,O三点共线;从而M,O,A1,A而点B不在平面ACC所以M,O,AB,B1,O,而点A不在平面BB所以直线AO与平面BB1D所以点M不在平面BB即B,B故选项C错误；BC∥D1A所以BCD所以CA所以B,D故选项D正确.故选:C.【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（

）A． B．C． D．【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.【解答过程】在A图中，分别连接PS,QR,AB,CD，由正方体可得四边形ABCD为矩形，则AB//因为P,S为中点，故PS//AB，则PS//在B图中，设E,F为所在棱的中点，分别连接PS,SR,RF,FQ,EQ,PE，由A的讨论可得PS//ER，故同理可得ER//QF，故PS//QF故F∈平面PRS，Q∈平面PRS，所以P,S,R,Q,E,F六点共面.在C图中，由P,Q为中点可得PQ//AB，同理故PQ//RS，所以在D图中，PQ,RS为异面直线，四点不共面.故选：D.【变式2-2】（2024·重庆·二模）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G,H分别在BC，CD上，且BG:

①E，F，G，H四点共面；②EG//FH;③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】推导出EF//BD，GH//BD，从而EF//GH，由此能证明E，F，G，H四点共面；EF≠GH，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为【解答过程】如图所示，

E，F分别为AB，AD的中点，∴EF//BD，G,H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，∴GH//∴EF//GH，则E，F，G，∵GH>EF，四边形FEGH是梯形，EG//若直线EG与直线FH交于点P，则由P∈EG，EG⊂平面ABC，得P∈平面ABC，同理P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，P∈AC∴则P，A，C三点共线，说法③正确；说法中正确的有2个.故选：C.【变式2-3】（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，E、F、G、H分别为AB、A．AB．E、F、G、H四点共面C．设BC=2，则平面EFC1D．EF、GH、AA【解题思路】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.【解答过程】如图，连接AC1,A1C，由由AC=BC=AA1可知，侧面所以A1C⊥AC连接HE,GF，因为E、F、G、H分别为AB、BB1、CC所以HE//BC，GF//BC，所以GF//HE，所以E、延长FE交A1A的延长线于P点，连接PC1，交AC于Q点，连接设FE,FC1确定平面为α，则P,C1∈α则易知三棱柱的截面四边形为FEQC1，在Rt△在Rt△BEF中，EF=22+1而C1Q>C由B知，GF//HE且HE≠GF，所以梯形的两腰EF、GH所在直线必相交于一点因为P′∈平面A1ABB又平面A1ABB1∩平面A1AC即EF、GH、AA1三线共点于故选：C.【题型3等角定理】【例3】（23-24高一·全国·课后作业）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断.【解答过程】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．故选：B.【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，则A．30° B．30°或150°C．150° D．30°或120°【解题思路】根据等角定理，即可得到结论.【解答过程】∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，根据等角定理易知∠PQR=30°或150°.故选：B.【变式3-2】（23-24高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【解题思路】由E,D,F分别为AB,PA,AC的中点，得到DE//PB,EF//BC，结合题意得出DE⊥EF，即可求解.【解答过程】如图所示，因为E,D,F分别为AB,PA,AC的中点，可得DE//PB,EF//BC，又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF=90故选：D.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（

）A．全等 B．相似C．仅有一个角相等 D．无法判断【解题思路】根据等角定理，结合题意进行判断.【解答过程】由题意知，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等，所以这两个三角形相似.故选：B.【题型4平面分空间问题】【例4】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出n的值.【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；

（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.

（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；

综上，可以为4、6、7、8部分，不能为5部分，故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（

）A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.【解答过程】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.故选：C.【变式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空间的4个平面最多能将空间分成（

）个区域．A．13 B．14 C．15 D．16【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．【解答过程】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为8+7=15．故选：C．【变式4-3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；

（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分；（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分，

所以三个不平面将空间分成4、6、7、8部分，n的最小值与最大值之和为12.故选：B.【题型5截面问题】【例5】（2023·四川南充·一模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A．32 B．92 C．9【解题思路】根据E，F分别是BC，CC1的中点，得到EF∥BC1，利用正方体的结构特征，有AD1∥B【解答过程】由题知连接BC1，AD因为E,F分别是BC,CC1的中点，所以在正方体中AD1∥B所以A,D所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A所以EF=2，AD1则E到AD1的距离为等腰梯形EFD所以截面面积为S=1故选：B.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，用过点

A．32+25 B．9 C．2【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可.【解答过程】

如图，取AB的中点G，连接GE，A1G，因为E为BC的中点，所以GE//AC，又AA1//所以四边形ACC所以AC//A1所以A1C1所以用过点A1，E，C1的平面截正方体，所得截面为梯形其周长为22故选：A．【变式5-2】（2024·上海黄浦·二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体ABCD−A1B1C1DA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【解题思路】根据题意，取A1D1的中点T，AA1的中点M，CC1【解答过程】解：如图，取A1D1AA1的中点M，CC1的中点由正方体的性质可知A1由中位线性质可知PQ//AC,RT//A所以，PQ//MS//RT，所以，由点P,Q,R确定的平面β即为截面故选：D．【变式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点E，F分别在棱D1A1，D1C1上，且满足D1ED1AA．822 B．622 C．422【解题思路】由于上下底平行，则可得平面EFO与上下底面的交线平行，则可得EF为平面EFO与上底面A1B1C1D1的交线，AC为平面EFO【解答过程】连接AC,BD，A1C1，AC与BD因为D1ED1A因为A1C1‖AC，所以EF所以E,F,O,A,C共面，所以平面EFO截正方体ABCD−A1B因为正方体ABCD−A1B所以AC=A在Rt△D1EF中，在Rt△AA1AE=A在Rt△CC1CF=C过E作EM⊥AC于M，则AM=AC−EF所以EM=A所以等腰梯形EFCA的面积为12故选：A.

【题型6异面直线的判定】【例6】（2024·上海·模拟预测）如下图，P是正方体ABCD−A1B1C1DA．直线DD1 B．直线B1C C．直线【解题思路】利用正方体的特征及异面直线的定义一一判定即可.【解答过程】当P位于A1C1中点时，易知P∈B1D1，由正方体的特征可知四边形BB1当P与C1重合时，此时BP、B1C⊂当P与C1重合时，由正方体的特征可知四边形ABC1D1由正方体的特征可知四边形ACC而B∉平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，AC//A故AC与BP始终异面，即D正确.故选：D.【变式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（

）

A．FG B．EH C．EF D．BC【解题思路】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.【解答过程】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线AD是异面直线的是EF，其中AD//BC//EH//FG，所以AD与BC共面、AD与故选：C.【变式6-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线中，异面直线有（

）A．1对 B．3对 C．5对 D．2对【解题思路】作出正方体的图形，结合异面直线的定义判断可得出结论.【解答过程】作出正方体的图形如下图所示：则AB与CD、AB与GH、EF与GH是异面直线，共3对.故选：B.【变式6-3】（2024·四川宜宾·二模）四棱锥P−ABCD所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法错误的是（

）A．MN与PD是异面直线 B．MN//平面C．MN//AC 【解题思路】画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A、B、C的正误，由线线垂直可判断选项D．【解答过程】由题意可知四棱锥P−ABCD所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，MN与PD是异面直线，A选项正确；取PB的中点为H，连接MH、HC，四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD且∵M、H分别为PA、PB的中点，则MH//AB且∵N为CD的中点，∴CN//MH且CN=MH，则四边形∴MN//CH，且MN⊄平面PBC，CH⊂平面PBC，∴MN//若MN//AC，由于CH//MN，则∵PC=BC，H为PB的中点，∴CH⊥PB，∵MN//CH，故选：C．【题型7异面直线所成的角】【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1DA．255 B．55 C．10【解题思路】如图，确定∠ACD1（或其补角）为直线AC与A1【解答过程】如图，连接AD1,CD1，则A1B//D1所以∠ACD1（或其补角）为直线AC与又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为CC又AC=22所以cos∠AC即直线AC与A1B所成角的余弦值为故选：C.【变式7-1】（2024·云南·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A．π6 B．π4 C．π3【解题思路】在正方体中，作出异面直线EF与MN所成的角，利用定义法求解即得.【解答过程】在正方体ABCD−A1B由A1B1//AB//CD,A由E、F、M、N分别是DD1、D1因此∠A1DC1在△A1DC1所以异面直线EF与MN所成的角是π3故选：C.【变式7-2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在直三棱柱ABD−A1B1D1中，AB=AD=AA1,∠ABD=45°，PA．30° B．45° C．60° D．90°【解题思路】E是BD中点，连接ED1,AE，易知∠AD1E为直线【解答过程】若E是BD中点，连接ED直三棱柱ABD−A1B1D1中所以PB//D1E，故直线PB与A令AB=AD=AA1=2，又∠ABD=45°，则∠ADB=45°且AE⊥BD又AD1=22,所以∠AD故选：A.【变式7-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，点D是线段AA．510 B．1010 C．1020【解题思路】利用平移法作出异面直线C1D与【解答过程】如图所示，不妨取AA1=AB=3，分别取棱C使得C1M=C1N=CK=2所以四边形ADC1M在△C1CB1所以故∠AMN（或其补角）为异面直线C1D与因为NK//BB1，所以NK⊥底面ABC，而AK⊂底面ABC，所以在△ACK中，AK=A所以AN=N在△AMN中，cos∠AMN=故异面直线C1D与B1故选：D.【题型8空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】【例8】（2024·上海长宁·二模）已知直线a,b和平面α，则下列判断中正确的是（

）A．若a//α,b//α，则a//b B．若a//b,b//α，则a//αC．若a//α,b⊥α，则a⊥b D．若a⊥b,b//α，则a⊥α【解题思路】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项.【解答过程】对于A，由a//α，b//α，则a与b可能平行，相交，异面，故A错误；对于B，由a//b，b//α，则a//α或a⊂α，故B错误；对于C，由a//α，b⊥α，则a⊥b，故C正确；对于D，由a⊥b，b//α，则a//α或a⊂α或a⊥α，故D错误.故选：C.【变式8-1】（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若α⊥β，m∥α，则m⊥βB．若m⊥β，m⊥α，n∥α，则n∥βC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥n【解题思路】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.【解答过程】若α⊥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，所以A错；∵m⊥β，m⊥α，∴α∥β，n∥α，∴n∥β或n⊂β，所以B错；若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，所以C错；若α∩β=m，n∥α，n∥β，则n与两面的交线m平行，即m∥n，故D对.故选：D.【变式8-2】（2024·河南·三模）已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若m⊂α，n⊂α，m//β，nB．若m//α，n⊂αC．若n//m，m⊄α，n⊂αD．若α//β，m⊂α，n⊂β【解题思路】由空间中直线与直线，直线与平面，平面平面的位置关系逐一判断各个选项即可.【解答过程】A：由m⊂α,n⊂α,m//β,n//β，可知B：由m//α，n⊂α，可知m、C：由n//m，m⊄α，n⊂α，可知D：由α//β，m⊂α，n⊂β，可知m、故选：C.【变式8-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知m､n是两条不同的直线，α､A．若m∥α,m∥β，则α∥βB．若m∥α,n∥α，则m∥nC．若α⊥β,β⊥γ，则α∥γD．若m⊥α,m⊥β,α∥γ，则β∥γ【解题思路】由线线，线面，面面之间的关系逐项判断即可.【解答过程】对于选项A：若m∥α,m∥β，则α与β平行或相交，故A不正确；对于选项B：若m∥α,n∥α，则m与n可平行､异面或相交，故B不正确；对于选项C：若α⊥β,β⊥γ，则α∥γ或α∩γ=l，故C不正确；对于选项D：若m⊥α,m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，即D正确.故选：D.一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（

）A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面【解题思路】根据平面的性质判断即可.【解答过程】在空间中，三条直线最多可确定3个平面，例如：三棱锥S−ABC中的三个侧面.故选：C.2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【解题思路】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【解答过程】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交，反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件.故选：A.3．（2024高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分【解题思路】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果.【解答过程】三个平面平行时，将空间分成4个部分；三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分．所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．故选：A．4．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若直线l,m,n两两相交，则直线l,m,n共面B．若直线l,m与平面α所成的角相等，则直线l,m互相平行C．若平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面α与平面β平行D．若不共面的4个点到平面α的距离相等，则这样的平面α有且只有7个【解题思路】根据题意，结合空间中直线与平面位置关系的判定和性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，当直线l,m,n交于同一点时，则直线l,m,n可能不共面，所以A错误；对于B中，当直线l,m倾斜方向不同时，直线l,m与平面α所成的角也可能相等，所以B错误；对于C中，当这3个点不在平面β的同侧时，平面α与平面β相交，所以C错误；对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面α的同侧，当这4个点在平面α两侧1，3分布时，这样的平面α有4个，当这4个点在平面α两侧2，2分布时，这样的平面α有3个，所以这样的平面α有且只有7个，所以D正确.故选：D．5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均相等，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（

）A．63 B．−63 C．3【解题思路】根据线线平行可得异面直线BE与PC所成角为∠BEO（或其补角），即可根据余弦定理求解.【解答过程】连接AC，取AC的中点O，连接BO,EO，由题意知，EO//PC，则异面直线BE与PC所成角为∠BEO（或其补角），在△BOE中，EO=1则cos∠BEO=则异面直线BE与PC所成角的余弦值为33故选：C．6．（2024·宁夏银川·三模）A,B是两个不同的点，α,β为两个不同的平面，下列推理错误的是（

）A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A∈l,l⊂α⇒A∈α【解题思路】A、B可由书上的公理可直接判断；C可由l与α相交时，交点为A点的情况进行判断；D可直接根据线面位置关系来判断点面位置关系.【解答过程】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；C，l⊄α有两种情况，l与α相交或l//α，其中l与α相交，且交点为A点，则C错误；D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；故选：C.7．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A．E,F,G,H四点共面 B．EF//GHC．EG,FH,AA1三线共点 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得EG，FH的交点P在AA【解答过程】对于AB，如图，连接EF，GH，因为GH是△A1B因为B1E//C1所以EF//B1C1，所以EF对于C，如图，延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，所以因为P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，所以因为平面ABB1A所以P∈AA1，所以对于D，因为EB1=FC1又0<∠EGB1,∠FH故选：D.8．（2024·陕西铜川·三模）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别为A．62 B．63 C．122【解题思路】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为22【解答过程】如图，过点G作EF的平行线交BB1于点J，过点J作FG的平行线交A1过点I作EF的平行线交A1D1于点H，易知点J,I,H且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为22所求面积S=6×1故选：D.二、多选题9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（

）A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．经过两条平行直线，有且只有一个平面C．经过三点，有且只有一个平面D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面【解题思路】根据基本事实以及推论即可逐项判断.【解答过程】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；故选：AB.10．（2024·江苏南通·模拟预测）已知a，b是两条直线，α,β是两个平面，下列结论不正确的是（

）A．若α∥β,a∥α,b∥β，则a∥bB．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，则aC．若a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α，则α∥βD．若a⊂α,b⊂β,a∥β,a⊥b，则α⊥β【解题思路】根据题意，由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可求解.【解答过程】若α∥β,a∥α,b∥β，则a,b平行或相交或异面，故A错误；若α⊥β,a⊥α,b⊥β，则a⊥若a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α，则α,β平行或相交，故C错误；若a⊂α,b⊂β,a∥β,a⊥b，则α,β平行或相交，故D错误；故选：ACD.11．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B

A．四点B，D，E，F在同一平面内B．三条直线BF，DE，CCC．直线A1C与直线D．直线A1C上存在点N使M，N，【解题思路】对于A：根据平行关系可证BD//EF，即可得四点共面；对于B：根据平面的性质分析判断；对于C：根据异面直线的判定定理分析判断；对于D：可知OM与A1【解答过程】作图，如图：

对于选项A：连接B1因为BB1//DD1又因为E，F分别为C1D1，B可得BD//EF，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故A正确；对于选项B：延长BF,DE，则BF,DE相交于点P，即P∈BF,P∈DE，又因为BF⊂平面BCC1B1，则P∈平面BCC1B1，且平面BCC1B1∩即三条直线BF，DE，CC对于选项C：因为A1C⊂平面AA1C1C所以直线A1C与直线对于选项D：因为A1,O,C,C1均在平面AA1C所以直线A1C上存在点N使M，N，故选：ABD.三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥P−ABC中，AC=3，BC=1，PA=PB=PC=AB=2，M为AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值是57【解题思路】先根据异面直线所成角的定义确定∠DMB为异面直线BM与PA所成的角或其补角；再根据勾股定理求出BM，余弦定理求出cos∠DCB.，进而得出BD2；最后在△BMD【解答过程】取PC的中点D，连接MD,BD，如图所示：因为M为AC的中点，D为PC的中点，则根据三角形的中位线定理可得DM∥PA，且DM=1所以∠DMB为异面直线BM与PA所成的角或其补角．因为在△ABC中，AC=3，BC=1，AB=2所以AB2=B又AM=MC=12AC=又在△PBC中，BC=1，PB=PC=2,所以由余弦定理可得：cos∠DCB=又因为在△BDC中，DC=BC=1，所以由余弦定理可得：BD则在△BMD中，由余弦定理可得，cos∠DMB=所以异面直线BM与PA所成角的余弦值为57故答案为：5713．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，