第4节复数向量三角综合教师版

第4节复数&三角综合复习题型汇总：复数运算及三角式三角和向量综合一、知识点：1.复数的概念（1）叫虚数单位，满足，当时，．（2）形如的数叫复数，记作．=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫的实部，叫的虚部；点组成实轴；叫虚数；且，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．2.复数的运算法则（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．3.复数的几何意义（1）复数对应平面内的点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．注意：复数加、减法的几何意义以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．二、题型：题型1.复数运算例1.（2023春·全国·高一专题练习）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.【变式11】.（2024春·高一课时练习）若复数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题得，所以.故选：C【变式12】.（2024·高一单元测试）已知为实数，且(为虚数单位)，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意知，解得，所以故选：A【变式13】．（多选）已知复数，则下列叙述正确的是A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．【解答】解：，则的虚部为2，故错误，在复平面内对应的点位于第一象限，故正确，，则，故正确，，故错误．故选：．题型2.复数三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即．②复数乘法运算的三角表示的几何意义复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．例2.（2023·江苏·高一专题练习）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，故选：C.【变式21】.（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，.故选：D.【变式22】.（2024·高一课时练习）设复数和的辐角主值分别为和，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：依题意复数和的辐角主值分别为和所以，，，所以因为，，所以所以故选：C【点睛】本题考查辐角的概念，两角和的余弦公式的应用，属于中档题.例3.（2024·高一课时练习）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】得，当时，，复数对应的点在第一象限；当时，，复数对应的点在第二象限；当时，，复数对应的点在轴上；当时，，复数对应的点在第四象限；故选：B．【变式31】.（2023·全国·高一专题练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（16671754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】由棣莫弗公式知，，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．【变式32】．（2023·全国·高一专题练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为 B．C． D．的共轭复数为【答案】D【详解】对于A，，其虚部为1，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，则，故C错误；对于D,，故的共轭复数为，D正确，故选：D题型3.三角向量综合例4.（2024秋·湖北恩施·高一校考期末）已知向量，，函数.(1)求函数在的单调减区间；(2)当时，若，求的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）令，，解得：，的单调递减区间为当时，在的单调减区间为（2）由得：

【变式41】.（2023秋·上海·高三校联考阶段练习）已知，设函数（1）当，求函数的值域；（2）当，且，求的值．【答案】（1）f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]；（2）解：（1）∵=（cos2，sinx），=（2，1），∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，∵x，可得：x+∈[﹣，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，∴解得：sin（α+）=，∵﹣，α+∈（﹣，），∴cos（α+）==，∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．【变式42】.（2024春·湖北·高一校联考期中）已知向量，，函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)(2)(1)∵，，∴，令，，得，，∴函数的单调递增区间为.(2)当时，，则，故，因此，当时，函数的值域为.例5.（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）已知向量，，且函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若在△ABC中，分别为角的对边，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为向量，且函数，所以，令，解得，所以函数的单调增区间为；（2）因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，由，得，所以所以.【变式51】．（2023春·北京通州·高一统考期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与垂直．(1)求A的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即．由正弦定理得．因为，所以，所以，所以．因为，所以．（2）由余弦定理，得，

所以，

解得，或（舍）．

所以的面积．【变式52】．（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量，设函数.(1)当时，求函数的值域；(2)已知的内角的对边分别为，且，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得：，因为，则，当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；所以函数的值域为.（2）由（1）可知：，即，因为，则，所以，解得，又因为，由正弦定理可得：，解得，又因为，则，所以，即.例6.（2024·高一课时练习）已知向量，，令，且的周期为.(1)求函数的解析式；(2)若时，求实数的取值范围.【答案】(1).(2)【详解】（1），因为的周期为，且，则，所以，所以．（2）因为，所以，所以，所以，由，得即可，所以，所以．【变式61】.（2023春·广东肇庆·高一校考期中）已知向量，，函数，的最小正周期为．(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【详解】（1）解：，，∵的最小正周期为，∴，∴，则.（2）因为方程与在上有且仅有1个解，所以函数与在的图象只有1个交点，∵，∴，当时，单调递增，当时，单调递减，∵，，，若要使与只有1个交点，则或，解得或．【变式62】.（2023春·福建福州·高一福建省福州第八中学校考期中）已知向量，，函数.(1)求函数的解析式和对称轴方程；(2)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.【答案】(1)，对称轴方程是，；(2)，．【详解】（1）由已知，，，所以对称轴方程是，；（2），时，递增，时，递减，，，，方程为，即，，或，因为，所以时，，设，原方程有三个解，因此，即，在上有两个解，记为，则，所以．巩固练习1.（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）已知，是虚数单位.若，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因，a，，则有，所以.故选：B2.（2023·全国·高一专题练习）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为，，，则的幅角主值为即对应复数的幅角主值为故选：D3.（2024·高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数的辐角，．若复数，其共轭复数为，则下列说法①复数的虚部为；②；③与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数的辐角为；其中正确的命题个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：对于①，复数的虚部为，所以①错误；对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，故选：B4.（2023春·贵州毕节·高一校考阶段练习）已知平面向量，，函数(1)求函数的解析式，并求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)，(2)【详解】（1）方法一：因为向量，，可得且，，，可得函数的最小正周期为.

方法二：因为向量，，，，即，可得函数的最小正周期为.（2）由（1）知，因为，可得，当时，即时，函数取得最小值，最小值为－1.当时，即时，函数取得最大值，最大值为.所以，当时，函数的值域为.5.（2024·高一课时练习）已知向量与向量的夹角为，其中、、是的内角．(1)求的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，又，，化简得，（舍去）或，又，；（2）因为，所以，所以，所以，，则，．6.（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知向量，函数.(1)求函数的单调增区间和对称轴；(2)若关于的方程在上有两个不同的解，记为.①求实数的取值范围；②证明：.【答案】(1)，对称轴为(2)①；②证明见解析【详解】（1），令此时函数单调递增，函数单调递增区间为.令得，所以函数的对称轴为；（2）①，，由图象分析得，有两个不同的解，则，.②因为是方程的两个根，所以，由图象分析得，，.7.（2023·全国·高一专题练习）设复数，满足，，，则________．【答案】【详解】解：因为，所以，又，，所以，所以，所以，所以，故答案为：.8.（2024·高一课时练习）复数的辐角，则对应的点位于第______象限．【答案】一【详解】解：设，，则，因为，所以，所以，则，所以对应的点位于第一象限.故答案为：一.9.（多选）（2023春·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【答案】AC【详解】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；对于D选项，，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.10.（2023春·北京·高一校