专题31 复数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题31复数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：

满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2.一、单选题1．设z=2i，则A．−2 B．2 C．−2 2．若z=5+i，则i(zA．10i B．2i C．10 D．23．已知z=−1−i，则|zA．0 B．1 C．2 D．24．|2+iA．1 B．2 C．5 D．55．5(1+iA．−1 B．1 C．1−i D．1+i6．设a∈R,(a+i)(1−ai)=2,，则a=A．-1 B．0 C．1 D．27．设z=2+i1+iA．1−2i B．1+2i C．2−i D．2+i8．在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点1】复数的概念二、单选题9．已知z=1+i1−i，则A．i B．−i C．1+i D．1−i10．若z=1+ia+i为纯虚数，a∈R，则A．2 B．3 C．2 D．3三、多选题11．已知z1A．z1+B．4zC．z1D．|12．已知i是虚数单位，复数z1=(m−1)+(mA．任意m∈R，均有|z1|>|z2C．存在m∈R，使得z1=z2 四、填空题13．已知a∈R，且ai+21+i=1，则14．已知虚数z，其实部为1，且z+2z=m(m∈R反思提升：1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.【考点2】复数的四则运算五、单选题15．已知i为虚数单位，则(1+i)2A．4 B．2 C．0 D．4i16．已知2i−3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根（其中p∈RA．38 B．36 C．28 D．14六、多选题17．设z1A．zB．|C．若|z1−2−2i|=2D．若|z2+i|+|z218．已知方程z2+2z+3=0的两个复数根分别为A．z1=z2 B．z1+七、填空题19．已知复数z满足(3+4i)z=5i，则20．已知i为虚数单位，复数z，满足|z|=5，z在复平面中的第一象限，且实部为3，则z为.反思提升：(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.【考点3】复数的几何意义八、单选题21．复数z满足1z=1−i，则在复平面内表示复数A．(−12,−12) B．22．在复平面内，|1−2i|2+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限九、多选题23．已知z是复数，且z+1z−1A．|B．z⋅C．z在复平面内对应的点不在实轴上D．|z−2−2i|的最大值为224．已知复数z1,zA．zB．zC．zD．z1十、填空题25．在复平面内，复数z所对应的点的坐标为( 1 ,−1 )26．若复数z=(a+4)−(a+5)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是.27．复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.【考点4】复数与方程一、单选题1．虚数单位i的平方根是（）A．−1 B．−C．22+22i28．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，则实数A．2−i B．−4 C．2 D．429．已知复数i−2是关于x的方程x2+px+q=0(p,A．25 B．5 C．41 D．4130．已知m，n为实数，1−i（i为虚数单位）是关于x的方程x2−mx+n=0的一个根，则A．0 B．1 C．2 D．4十一、多选题31．已知z1，z2，z3A．z1可能为纯虚数 B．z1，z2，C．|z1|+|z2|+|z3十二、填空题32．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝．反思提升：(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.【基础篇】十三、单选题33．若复数z满足z+2z=1+2i，则在复平面内A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限34．在复平面内，(1−i)(2+i)对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限35．已知复数z满足z(2−i)=(1+i)2，则复数z的共轭复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限36．已知复数z满足z+2z=3−3A．1+3i B．1−3i C．十四、多选题37．已知复数z满足|z|=1且z=i⋅z，则zA．cosπ4−isinC．cosπ4+isin38．已知复数z1,zA．zB．zC．zD．z139．复数z=cos(θ−π4)+isinθA．当θ=π4时，|z|=62 C．对任意θ，点P均在第一象限 D．存在θ，使得点P在第二象限十五、填空题40．若复数z−43和z+i在复平面中分别对应点Z1，Z2，则这两点的距离为41．已知2i−3是关于x的方程2x2+px+q=0(p,42．已知复数z满足(z+2)i=2z−1，则复数z=十六、解答题43．已知复数z1（1）若z1=z（2）a=−2，b=4，求z144．已知复数z=a+bi（a，b∈R），存在实数t，使z=（1）求证：2a+b为定值；（2）若|z−2|≤a【能力篇】十七、单选题45．若复数z满足z(1−i)=a−i(a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限十八、多选题46．已知a,b∈R，z是纯虚数，z为z的共轭复数，且A．a=1B．b+zC．|z|=|D．z是方程x2十九、填空题47．若i为虚数单位，则计算i+2i2二十、解答题48．已知关于x得二次方程：x2（1）当方程有实数根时，求点(a（2）求方程实数根的取值范围.【培优篇】二十一、单选题49．关于x的实系数方程x2−4x+5=0和x2A．{5} B．{−1}C．(0,1) 二十二、多选题50．已知复数z1,z2满足z1−4i=z1A．z2−B．z2C．当0<a<1时，则xD．当−8<a<0时，则x二十三、填空题51．已知集合M⊆{x∣x=in+i−n,n∈

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为z=2i，所以z=−故答案为：D.【分析】由题意，根据共轭复数的概念先求z，再根据复数代数形式的乘法运算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由z=5+i，可得z=5−i，则z+z=10故答案为：A.【分析】由题意先求复数z的共轭复数，再根据复数的加法求z+z，再求i(3．【答案】C【解析】【解答】解：因为复数z=−1−i，所以|z|=-124．【答案】C【解析】【解答】∵i2=-1，∴i3=-i，∴2+i25．【答案】C【解析】【解答】∵i2=-1，∴51+i6．【答案】C【解析】【解答】解：因为(a+i)(1−ai)=a−a所以2a=21−a2故答案为：C.【分析】先根据复数代数形式的乘法运算化简(a+i)(1−ai)，再根据复数相等列式求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】∵i5=i×i4=i，i2=-1

∴z=2+i1+8．【答案】A【解析】【解答】∵1+3i3-i=3+9i-i-3i2=6+8i，

∴9．【答案】A【解析】【解答】解：因为z=1+i1−i=故答案为：A．【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求得z=i，代入z+z10．【答案】A【解析】【解答】解：z=1+i因为z为纯虚数，所以a+1a2+1=0a−1a2故答案为：A.【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则先化简复数z，再根据其为纯虚数列式求得z=−i，最后根据复数的求模公式求解即可.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：易知z1+z2=7+iB、4zC、z1z2D、|z2i|=|4−i故答案为：BC.【分析】根据复数代数形式的加减运算，结合虚数以及纯虚数的概念即可判断AB；根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的几何意义以及模长公式即可判断CD.12．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、由复数的模长公式可得|z易知(m−1)2≥0(B、复数z1C、若存在m∈R，使得z1=z由上知(m−1)2D、|z1−z2|即动点E(m−1,m当m=0,θ=−45故答案为：AD.【分析】由题意，根据复数的求模公式、复数不能比较大小以及复数相等，复数运算的几何意义逐项判断即可.13．【答案】1【解析】【解答】解：由题意可得：ai=1−21+i=1−故答案为：1.【分析】由题意，结合复数代数形式的乘除运算法则以及复数相等求解即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：设虚数z=1+bib∈R,b≠0，

z+2z=1+bi+21+bi=1+bi+21-bi故答案为：2.【分析】设虚数z=1+bib∈R,b≠015．【答案】B【解析】【解答】解：(1+i)2故答案为：B.【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则，结合加减运算法则求解即可.16．【答案】A【解析】【解答】解：因为2i−3是关于x的方程所以−2i−3是方程则(2i−3)+(−2i−3故答案为：A.【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知−2i17．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、设复数z1=a+bi，则z1z12=(a−bi当a,b均不为0时，B、当z1=i，z2=−i时，z1故|zC、设复数z1=a+bi，因为|z则|a−2+(b−2)所以z1的轨迹是以(2而|z故|z1+1−6i|表示点(a由圆的性质可知，|zD、设z2=a+bi，则|z而|z2+i|+|所以得到点(a,b)到两定点(0,故z2的轨迹是以(0,−1)故轨迹方程为y24+x2由椭圆的几何性质可得：当点B在椭圆的左右顶点时，|z2|取得最小值，此时|故答案为：CD.【分析】利用共轭复数的概念和加减运算的性质即可判断A；举反例求解即可判断B；利用复数模的性质得轨迹方程，结合圆的性质即可判断C；利用复数的模的性质得轨迹方程，结合椭圆的性质即可判断D.18．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：方程z2+2z+3=0，变形为(z+1)2=−2=2i不妨取z1=−1+2A、由分析易知z1B、z1C、由z1=zD、|z故答案为：ACD.【分析】解方程求得方程的两个根z119．【答案】65【解析】【解答】解：因为复数z满足(3+4i)z=5i，所以z=5i3+4i故答案为：65【分析】由题意，根据复数代数形式的乘除运算法则化简求得复数z，再求其共轭复数，最后根据复数的加减法结合复数的求模公式求解即可.20．【答案】3−4i【解析】【解答】解：因为复数z的实部为3，且在第一象限，所以设复数z=3+bi,(b>0)，

又因为|z|=5，所以32+b2=52故答案为：3−4i.【分析】由题意，设复数z=3+bi,(b>0)，根据复数的模|z|=5列式求解，再根据共轭复数的概念求解即可.21．【答案】B【解析】【解答】解：复数z满足1z=1−i，则故z对应点的坐标是(1故答案为：B．【分析】先根据复数代数形式的乘除运算法则化简求得复数Z，再根据复数在复平面的表示求解复数z的点的坐标即可.22．【答案】D【解析】【解答】解：因为|1−2i|=12+则|1−2i|2+i在复平面内对应的点为(故答案为：D.【分析】先求复数1-2i的模，再根据复数乘除运算法则化简，结合复数在复平面内的表示求解即可.23．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：设复数z=x+yi(x,y∈R)，则z+1z−1=(x+1+yi)(x−1−yi)(x−1+yi)(x−1−yi)=x2−1+y2−2yi(x−1)2+y2，

因为z+1z−1为纯虚数，所以x2−1+y2=0，且y≠0，故答案为：ABC．【分析】设复数z=x+yi(x,y∈R)，代入z+1z−1结合复数代数形式乘除运算法则化简，根据其为纯虚数求得x2−1+y224．【答案】A,C【解析】【解答】解：因为复数z1,z2是方程x2−x+2=0的两根，

则因为z1因为z12=因为z1故答案为：AC.【分析】解实系数一元二次方程，可得z1,z25．【答案】2【解析】【解答】解：在复平面内，复数z所对应的点的坐标为( 1 ,−1 )，则z=1−i，z=1+i故答案为：2．【分析】由题意易得z=1−i，z=1+i26．【答案】(−5【解析】【解答】解：因为复数z=(a+4)−(a+5)i在复平面内对应的点为第三象限，所以a+4<0−(a+5)<0，

解得−5<a<−4，则实数a的取值范围是(−5故答案为：(−5,【分析】由题意，结合复数的几何意义求解即可.27．【答案】D【解析】【解答】解：设z=a+bi(a,b∈R)，且z2=i，

则(故虚数单位i的平方根是22+2故答案为：D．【分析】设z=a+bi(a,b∈R28．【答案】B【解析】【解答】解：因为2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，所以由韦达定理得(2+i)+(2−i)=−a，则a=−4.故答案为：B.【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.29．【答案】C【解析】【解答】解：因为复数i−2是关于x的方程x2所以−2-i也是方程的一个根，由韦达定理可得-2+i+-2-i则|pi+q|=|4i+5|=41故答案为：C.【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理、复数的求模公式求解即可.30．【答案】D【解析】【解答】由1−i是关于x的方程x2则1+i是关于x的方程x2则m=1−i+1+i=2，n=(即m=2，n=2，则m+n=4，故答案为：D.

【分析】由1−i是关于x的方程x2−mx+n=0的一个根，则1+i是关于x的方程31．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题意(z−i)(z2−2z+4)=0，可得z−i=0，z2−2z+4=0，

则三个不同的复数根为：A、当z1=i时，B、因为三个根的虚部分别为1，−3，3，三个虚部乘积为−3C、|zD、z1，z2，故答案为：ABD.【分析】先解方程求得三个复数根，再根据复数的概念以及复数的模逐项判断即可.32．【答案】2【解析】【解答】因为Δ<0，此时方程两根为共轭虚根，设α=m+ni，则β=m−ni(m，∴αβ=m∴|α|+|β|=2m故答案为：23

【分析】因为Δ<0，设α=m+ni，则β=m−ni(m，33．【答案】D【解析】【解答】解：设复数z=a+bi(a,b∈R)，则故z+2z=a+bi+2(a−bi)=3a−bi，

因为z+2z=1+2i，所以则z=13−2i，复数z故答案为：D.【分析】设复数z=a+bi(a,b∈R)，求得其共轭复数，根据复数的加法结合复数相等列式求解复数34．【答案】D【解析】【解答】解：(1−i)(2+i)=2+i−2i−i2=3−i故答案为：D．【分析】由题意，根据复数的乘法运算法则化简求解即可.35．【答案】C【解析】【解答】解：因为z(2−i)=(1+i)2，所以所以z=2i(2−i)=则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为(−故答案为：C.【分析】由题意，利用复数的乘除运算法则计算可得z=−25+36．【答案】A【解析】【解答】解：设复数z=x+yi(x,因为z+2z=3−3所以3x=3-y=-3，解得x=1,故答案为：A.【分析】设复数z=x+yi(37．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、若z=cosπ4−isin3π4i⋅z=i(22−B、若z=cosπ4−isinπ4i⋅z=(−2C、若z=cosπ4+isinπ4，则z=D、若z=cos34π+isin3π4zi=−22−故答案为：AD.【分析】由题意，结合复数代数形式的乘法运算法则逐项判断即可.38．【答案】A,C【解析】【解答】解：因为复数z1,z2是方程x2−x+2=0的两根，

则因为z1因为z12=因为z1故答案为：AC.【分析】解实系数一元二次方程，可得z1,z39．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、当θ=π4时，复数z=1+22iB、由A选项可知：z=1−C、当0<θ<π2时，−π则对任意θ，点P均在第一象限，故C正确；D、不存在θ，使得点P在第二象限，故D错误．故答案为：AC．【分析】将θ=π4代入计算即可判断AB；由40．【答案】5【解析】【解答】解：设复数z=x+yix,y∈R，

复数z−43=x-43+yi，z+i=x+则|z故答案为：5【分析】设复数z=x+yix,y∈R，根据复数的几何意义先求点Z41．【答案】38【解析】【解答】解：因为2i−3是方程2x2+px+q=0由韦达定理可得-3+2i+-3-2i=-p2-3+2i故答案为：38.【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可.42．【答案】−i【解析】【解答】解：因为复数z满足(z+2)i=2z−1，所以zi+2i=2z−1，

所以1+2i=2z−zi=z2-i，所以z=1+2i2−i故答案为：−i.【分析】由题意，利用复数代数形式的乘除运算法则求解即可.43．【答案】（1）解：复数z1因为z1=z（2）解：当a=−2，b=4时，z1则z1【解析】【分析】（1）由题意，根据复数相等求解即可；

（2）将a=−2，b=4代入求得复数z144．【答案】（1）解：z=2+4it根据复数相等可得a=2tb=3at−故2a+b为定值；（2）解：z−2=a−2+bi，且|z−2|≤a又因为2a+b=6，即b=6−2a，则(a−2)2+(6−2a)所以原不等式组即为a≥0a2−7a+10≤0故a的取值范围为[2【解析】【分析】（1）化简z=2+4it−3ati整理可得a−bi=245．【答案】B【解析】【解答】解：z=a−i若a+1>0a−1>0，则a>1，复数z若a+1<0a−1>0，无解，复数z若a+1<0a−1<0，则a<−1，复数z若a+1>0a−1<0，则−1<a<1，复数z故答案为：B.【分析】先根据复数的乘除运算法则化简复数z，再分情况讨论判断即可.46．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由题意，设z=ti，因为a−3z=(−3−z)i，所以a−3ti=(−3−ti)i=t−3i，所以a=t=1，所以z=i，则z⋅zB、b+i=b−i,b−C、|z|=|i|=1，|(1−z1+zD、因为i2所以z是方程x2故答案为：ACD.【分析】设z=ti，根据a−3z=(−3−z)i求得纯虚数z，利用复数的四则运算及复数模的运算即可判断AC；利用共轭复数的概念即可判断B；利用复数相等验证方程得根即可判断D.47．【答案】1010+1011i【解析