专题10 指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题10指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.1.根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作＝0.③()n＝a(n∈N*，且n>1).④＝a(n为大于1的奇数).⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.1．设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,A．(−∞,−2] B．[−2,0) C．2．已知函数f(x)=e−(A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b3．已知f(x)A．−2 B．−1 C．1 D．24．已知9mA．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a5．设a=0.1eA．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b6．下列函数中最小值为4的是（）A．y=x2+2x+4C．y=2x+一、【考点1】指数幂的运算7．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L=(R+h1)2−R2+(R+h2)2−（参考数据：2×8.A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m8．若f(x)A．1 B．0 C．−1 D．29．下列式子中最小值为4的是（）A．sin2x+4C．8+log22x10．下列说法正确的是（）A．若x，y∈R且x+y>4，则x，B．∀x∈R，xC．若1<a<3，2<b<4，则−2<2a−b<4D．x211．已知函数f(x)=3x,x≥1312．随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用fx=11+e−x作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输x的x满足fx+1①fx是R②当b=e时，∃x∈R，输入x会提示“可能出现梯度爆炸”；③当a=e−5时，∀x≥5，输入④∀a>0,∃x∈R，输入x会提示“可能出现梯度消失”.其中所有正确结论的序号是.反思提升：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.二、【考点2】指数函数的图象及应用13．已知f(x)=m⋅A．－4 B．0 C．2 D．414．已知f(x)=aexe2x−1+bA．−4 B．−2 C．4 D．615．函数y=(kxA． B．C． D．16．下列四个结论中，正确的结论为（）A．函数f(x)=x与函数g(x)=xB．若函数f(x)=ax−a(C．当x∈(1,2)时，关于x的不等式x2+mx+4<0D．若函数f(x)=(x+1)2x2+1的最大值为17．已知函数y=ax−1(a>0且a≠1)的图象过定点A，且点A在直线mx+2ny=8(m>018．设a、b为常数，若a>1，b<-1，则函数y=ax+b反思提升：1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.三、【考点3】指数函数的性质及应用19．设函数f(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)，若A．(0,5−12) B．(0,20．已知函数f(x)=|3x−A．(−∞,13C．(13，1)21．已知函数f(x)=3x+A．f(m)>f(n) B．f(2C．f(1−m)<f(n−1) D．f(22．当1<x1<x2A．eb>bee−1 B．ea+b<b23．已知a=log3322，b=(22)−24．若函数f(x)=6a−x,x≤4log反思提升：1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.四、【基础篇】25．已知函数f(x)=2x+1−8,x≤1A．−1 B．−3 C．−5 D．−726．已知f(x)=b⋅3xA．4 B．3 C．2 D．127．函数f(x)=1−A． B．C． D．28．已知a>0且a≠1，则“b=−1”是“函数f(x)=aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件29．对函数f(x)，g(x)公共定义域内的任意x，若存在常数M∈R，使得|f(x)−g(x)|≤M恒成立，则称f(x)和g(x)是M−伴侣函数，则下列说法正确的是（）A．存在常数M∈R，使得f(x)=log2(5x)与B．存在常数M∈R，使得f(x)=3x+1与g(x)=3C．f(x)=lnx与g(x)=x+2是D．若f'(x)=g'(x)，则存在常数M∈R，使得f(x)30．下列正确的是（）A．2−0.01C．log1.31．下列四个命题中，是真命题有（）A．存在xB．存在xC．任意x∈(0D．任意x∈(032．已知函数f(x)=2xlnx−mx，函数g(x)=ax−2（a>0且a≠1）的图象过定点A，若曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点A，则实数33．点M(x1,y1)在函数y=e34．若命题“∃x∈[12,+∞)，2x35．已知函数f(x)=2（1）求a的值；（2）已知f(2m−1)<f(2−m2)36．已知函数y=f(x)定义在R上有f(−x（1）求f(−1)（2）求函数f(五、【能力篇】37．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A．y=e|x|2x B．y=(x238．已知函数f(x)=2A．函数f(x)单调递增 B．函数f(x)值域为(0C．函数f(x)的图象关于(0,1)对称 D．函数f(x)的图象关于39．对∀x∈R，用M(x)表示f(x),g(x)中的较大值，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，若40．已知关于x的不等式4x+4（1）求集合M；（2）若m,n∈M，且m>0，n>0，m+2六、【培优篇】41．定义max{p,q}=p,p≥qq,p<q，设函数A．(−∞,0]∪[1,C．(−∞,−1)∪(1,42．设函数f(x)=x+A．f(x)为奇函数B．f(x)的图象关于点(0，1)对称C．f(x)的最小值为e+1D．若f(x)f(x)−1=k有两个不等实根，则1−43．已知f(x)=|2x+x−m|,x∈[a,a+2]

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：设y=x(x−a)=x-a22-a2则y=x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，即a2≥1故答案为：D.【分析】利用换元大转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】∵f2-x=e-2-x-12=e-x-12=fx，

∴fx关于x=1对称，

又∵y=ex在R单调递增，y=-x-12在-∞，1单调递增，在1，+∞单调递减，

由复合函数可知fx在-∞，1单调递增，在1，+∞单调递减，

由fx3．【答案】D【解析】【解答】∵fx=xexeax-1是偶函数，

∴fx-f-x=xexeax-1--xe-xe4．【答案】A【解析】【解答】解：由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1，

而lg9lg11<lg9+lg1122=lg9922<1=lg102，

所以lg10lg9>lg11lg10，

即m>lg11，

所以a=10m-11>10lg11-11=0．

又lg8lg10<lg8+lg1022=5．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，b=x1-x，c=-ln(1-x)，

则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，

令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

则y'=1-11-x=-x1-x<0，

所以y≤0，

所以lna≤lnb，

所以b>a，

a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

y'=xex+ex-11-x=1+x1-xex-11-x，

令k(x)=1+x6．【答案】C【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3;故A不符合题意；

对于B：因为y=|sinx|+4|sinx|，设t=|sinx|(t∈(01]),则y=g(t)=t+4t(0<t≤1)由双沟函数知，

函数y＝g(t)=t+4t(0<t≤1)是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；

对于C：因为y=2x+22−x7．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意知，L=412km,因为L=(R+h1)2−R2+≈2×8490h1则舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.故答案为：C.【分析】根据题意，列出关于h18．【答案】A【解析】【解答】解：由f(x)因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，即1−ae−1−ae−x故答案为：A.【分析】由函数f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，列方程求解即可.9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：sin2当且仅当sinx=2但sinx=±2不成立，所以对于B：因为2x>0,2当且仅当2x=2所以2x+2对于C：8+=log当x=2时，取得最小值4，故C成立；对于D：由题意sin2则1sin≥2cos当且仅当cos2xsin故选：BCD．

【分析】对于ABD，利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）运算求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断．10．【答案】A,C【解析】【解答】对于A，若x，y均不大于2，则x≤2，y≤2，则x+y≤4，故x+y>4，则x，对于B，B.∀x∈R，x2对于C，由1<a<3得2<2a<6，由2<b<4得−4<−b<−2，所以−2<2a−b<4，C符合题意，对于D，由于x2+3≥3，函数y=x+1故答案为：AC

【分析】根据反证法和不等式的基本性质即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C，根据对勾函数的单调性即可判断D.11．【答案】1【解析】【解答】解：函数f(x)=3x,x≥13故答案为：12【分析】由0<lo12．【答案】①③④【解析】【解答】解：对于①：因为fx的定义域为R，且y=1+e−x在R上单调递减，

所以fx是对于②：因为fx=1则fx+1令fx+1fx=ex+1+eex+1+1>e，整理得e所以不存在x∈R，输入x会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误；对于③、④：因为fx是R上的增函数，

则fx+1>f则fx+1令gx则g'令hx=e2x+1−1，则h当x>−12时，hx>0，即g'当x<−12时，hx<0，即g'则gx且当x趋近于+∞或−∞时，所以gx的值域为0,所以对∀a>0,∃x∈R，输入x会提示“可能出现梯度消失”，故④正确；因为gx在5,+∞上单调递减，则gx≤g5=1e5所以，当a=e−5时，∀x≥5，输入x会提示“可能出现梯度消失”，故故答案为：①③④.【分析】根据函数的单调性的定义判断结论①；根据题意结合指数幂的运算法则和指数函数的单调性，则判断出结论②；利用已知条件，整理可得fx+1−fx=1ex+1−1ex+1+1，再构建函数gx=1ex+1−1ex+1+1，利用导数判断出函数gx的单调性，从而结合函数的极限得出函数的值域，则对∀a>0,∃x∈R13．【答案】A【解析】【解答】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f又因为f(0)联立2m+n2=−3m+n=0，解得经检验，m=−2，n=2满足要求，故m−n=−4.故答案为：A.【分析】根据题意，由f(x)是定义在R上的偶函数，可得f(1)=f(−114．【答案】B【解析】【解答】解：令g(x)=aexe2x且满足g(−x)由f(4)=6，可得f4=g4+2=6，解得故答案为：B.【分析】令g(x)=aexe2x−1+bsinx=ae15．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、函数f(x)=(kxB、易知函数f(x)的定义域为R由Δ=4k2−4k≤0，解得0≤k≤1，当k<0时，f'(x)=(kx1CD、由B得分析可知：当k>1时，f'(x)=(kx2故答案为：ABC．【分析】当k=0时，f(16．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=x和g(x)=x2的定义域均为R，但B、若函数f(x)=ax−a(a>0且a≠1C、当x∈(1,2)时，关于x的不等式即m<−x2−4x因为y=x+4x在x∈(1,2)单调递减，所以所以g(x)>g(1)=−5，所以m≤−5，故C错误；D、函数f(x)=(x+1)2x2+1=2xx2+1+1，令h(x)=因此M+m=h(x)故答案为：BD.【分析】根据同一函数的定义即可判断A；根据指数函数图象的特点即可判断B；分离参数m得m<−x−4x=g(x)，只需m<g(x)min，即可判断C；f(x)=17．【答案】916【解析】【解答】解：因为函数y=ax−1(a>0且a≠1)的图象过定点A(1，1)，所以m+2n=8，则2n=8−m则8mn令t=3m+8，t∈(8，32)，则m=t−83，则8mn−32m=t−2故答案为：916

【分析】先求出函数y=ax−1图象所过的定点A(1，1)，代入直线可得m+2n=8，则18．【答案】二【解析】【解答】解：因为a>1，所以指数函数y=ax单调递增，且过定点(0,1)，

又因为b<-1，则|b|>1，即函数故图象必定不经过第二象限.故答案为：二.【分析】由题意，根据指数函数的性质结合函数图象的平移变换判断即可.19．【答案】B【解析】【解答】解：易知a>0，则a+1>1，ln(1+a)>0，要使f(x)<0在(−∞,则不等式(1+a)xln(1+a)<−axlna在(−∞,0)故(1+a故ln(a+1)≤−lna，即a(a+1)≤1，又a>0，故0<a≤5故实数a的取值范围是(0,故答案为：B.【分析】由题意可得a>0，则a+1>1，ln(1+a)>0，将不等式f(x)<0转化为(1+aa)x<−20．【答案】A【解析】【解答】解：函数f(x)=|3x−3−x|的定义域为R，且满足当x>0时，y=3x,y=−3又g(0)=0，故当x>0时，g(x)>0，则y=f(x)=g(x)为(0,+∞)上的增函数，

故x<0时，y=f(x)为单调减函数；f(2x−1)−f(x)>0，即f(2x−1)>f(x)，则|2x−1|>|x|，

即(2x−1)2>x故答案为：A.【分析】先判断函数的奇偶性以及单调性，再结合单调性以及奇偶性列不等式求解即可.21．【答案】B,D【解析】【解答】解：函数f(x)=3x+x3A、因为0<m<1<n，所以f(m)<f(n)，故A错误；B、若0<m<1<n，由基本不等式可得2mn<m+n，则C、若m=12,D、若0<mn<1<故答案为：BD.【分析】由题意，结合特殊值法、基本不等式以及函数的单调性判断即可.22．【答案】A,D【解析】【解答】当1<x1<x2时，不等式x2e因b>e>1，则f(因b>ea>1由ea>e知，a>1，有f(a)>f(1)⇔e由A知，ebb>1由b>ea>e得，ln故答案为：AD

【分析】根据题可得当1<x1<x223．【答案】c<a<b​​​​​​​【解析】【解答】解：因为y=log33x所以a=log332函数y=(22)xc=ln1e故答案为：c<a<b.【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可求得a,b的范围以及c的值，再判断大小即可.24．【答案】1，+∞​​​​​​​【解析】【解答】解：由题意，当x>4时，f(x)=log2x当x≤4时，f(x)=6a-x为减函数，f(x)≥f4=6a-4，要使函数f(x)=6a−x故答案为：1，+∞.【分析】根据题意，由函数的解析式分析函数的单调性以及各区间的值域，再结合题意可得6a25．【答案】D【解析】【解答】解：当m≤1时，f(m)当m>1时，f(m)=4log1则f(故答案为：D.【分析】根据函数的解析式，分m≤1和m>1求解即可.26．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：函数f(x)=b⋅3x则f(0)=0，即f(0)=b−1b+1=0，解得b=1，

当b=1经检验，当b=1时，f(x)为奇函数，满足题意，故b=1.故答案为：D.【分析】根据题意，由函数是定义域为R的奇函数，得f(0)=b−127．【答案】A【解析】【解答】解：设gx=1−ex所以gx设hx=cos2x，可知所以fx易知f0故答案为：A.【分析】根据奇函数和偶函数的图象的对称性以及特殊值排除法，从而找出函数f(x)=1−28．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：根据题意有当b=−1时，f(x)=axb+bax=-ax+a-x其定义域为R，且有fx=f-x，所以函数fx为偶函数，所以“b=−1”是“函数f(x)=故答案为：A.【分析】本题主要考查函数的奇偶性，充分必要条件的判定，根据题意，由偶函数的定义分析“b=−1”和“函数f(x)=a29．【答案】A,D【解析】【解答】A、|f(x)−g(x)|=|lo故存在M≥2log2B、由题意得|f(x)−g(x)|=|3由于y=8×3x−1为单调递增函数，且值域为因此不存在M∈R，使得8×3C、由题意得|f(x)−g(x)|=|ln令函数h(x)=lnx−x−2，则易知h(x)在(0,1)上单调递增，在所以h(x)≤h(1)=−3，所以|h(x)|≥3，不满足|lnD、令t(x)=f(x)−g(x)，则t'所以t(x)为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）不妨令t(x)=a，故存在M≥|a|，使得|f(x)−g(x)|≤M恒成立，故D正确.故答案为：AD.【分析】根据M−伴侣函数的定义，根据对数函数的运算法则即可判断A；根据指数型函数的单调性以及值域即可判断B；求导，判断函数h(x)=ln30．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、函数y=2x为增函数，因为−0.B、函数y=log2C、log1.85=D、因为log33故答案为：BCD．【分析】就指数函数和对数函数的单调性即可判断ABD；利用对数函数的运算性质即可判断C.31．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、当x0=13时，log13B、函数y=xα(α>0)在(0C、x∈(0,13)时，(1D、由函数y=(12)x故答案为：AC.【分析】根据指数、对数函数的图象和单调性，以及和特殊值比较判断即可.32．【答案】1【解析】【解答】解：易知函数g(x)=ax−2（a>0且a≠1）的图象恒过点因为函数f(x)=2xlnx−mx定义域为0，+∞，求导可得则f(x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)=2−m，又因为所以切线方程为y+m=(2−m)(x−1)，因为切线经过点A(2,所以1+m=(2−m)(2−1)，解得m=1故答案为：1【分析】由题意易得函数g(x)=ax−2恒过定点A(2,33．【答案】(−∞【解析】【解答】解：y1+1x1−1表示M(因为点M(x1,y1)是y=ex在x∈[0,1)部分图象上的动点，如图所示：

则C故答案为：(−∞,【分析】y1+1x1−1表示M(x1,y34．【答案】(-∞，2【解析】【解答】解：命题“∃x∈[12,则“∀x∈[12,+∞)，2x因为函数y=2x在[12,+∞)上单调递增，所以ymin=2故答案为：(-∞，2【分析】由题意可知命题“∀x∈[12,+∞)，2x35．【答案】（1）解：函数f(x)=2x+a2x则f(0)=20+a经检验f(−x)=2−x−1（2）解：因为f(x)=对任意x1<所以f(x)在R上单调递增又f(2m−1)<f(2−m2解得−3<m<1【解析】【分析】(1)由已知结合奇函数的定义代入即可求解a的值；

(2)由已知结合函数的单调性即可求解出m的取值范围．36．【答案】（1）解：因为函数y=f(x)定义在R所以函数f(x)为奇函数，又当所以f(当x<0时，则−x>0．所以f(因为y=f(x)所以f(−x)所以函数y=f(x)（2）解：令t=2x，当x<0时，则当x<0时，f(x)=4由y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x≥0即函数的值域为[−1【解析】【分析】(1)利用奇函数的性质进行计算，可得f(−1)的值，进而求出函数f(x37．【答案】C【解析】【解答】解：A、函数f(x)=e|x|2x的定义域为-∞，0∪0，+∞B、函数y=(x2+1)exxD、函数y=2x2故答案为：C．【分析】根据题意，利用排除法分析判断即可.38．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=2令y=2−2t，t=2则函数t=2x−1+1在R上单调递增，函数y=2−根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；B、因为2x−1+1>1，所以0<22x−1+1<2CD、f(2−x)=22−x21−x+1=4故答案为：ABD.【分析】根据复合函数的单调性即可判断A；根据函数变形结合指数函数的值域，求解函数的值域即可判断B；根据对称定义f(2−x)，f(x)的关系即可判断CD.39．【答案】1【解析】【解答】解：令2x=−x+1，解得x=0，

函数y=2当x≥0时，2x≥−x+1，M(x)=2当x<0时，2x<−x+1，M(x)=−x+1，综上所述：M(x)的最小值为1.故答案为：1.【分析】根据定义求出M(x)的表达式，再根据单调性确定最小值即可.40．【答案】（1）解：因为4x+4即(2x+2−x又因为2x+2所以2≤2x+由y=2x在R上单调递增可得故M=[−1,（2）解：m,n∈M，且m>0，n>0，则由m+2n=1所以1=(不妨令t=nm+mn所以14m由二次函数的单调性可知(t