2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高一上学期10月月考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章～二章第二节.第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列关系中正确的个数为（）①，②，③④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（）A.3 B.4 C.5 D.94.设命题，则的否定为（）A. B.C. D.5.设，，则下列不等式中正确的是（）A B. C. D.6.设集合，，则（）A. B. C. D.7.设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（）个A.2 B.4 C.6 D.88.定义集合运算.若集合，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，则下列式子表示正确的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B..是必要不充分条件C.若，，，则“”的充要条件是“”D.若，，则“”是“”的充要条件11.下列结论中，错误的结论有（）A.取得最大值时的值为B.若，则的最大值为C.函数的最小值为D.若，，且，那么的最小值为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则___________．13.已知，则的取值范围是__________.14.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，，，或.（1）求，；（2）求.16.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．17已知集合．（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．18.已知x，y都正数，且，求证（1）（2）19.学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知，，且，求的最小值.李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）（2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）设，，都是正数，求证：；（ii）已知，，且，求的最小值.2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高一上学期10月月考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章～二章第二节.第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列关系中正确的个数为（）①，②，③④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【正确答案】C【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得.【详解】对于①，显然正确；对于②，是无理数，故②正确；对于③，是自然数，故③正确；对于④，是无理数，故④错误.故正确个数为3.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解即得.【详解】集合，，则.故选：A3.高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（）A.3 B.4 C.5 D.9【正确答案】B【分析】设两项都合格的人数为，然后根据题意列方程求解即可.【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得，解得，即这两项成绩都合格的人数是4.故选：B4.设命题，则的否定为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得答案.【详解】因为命题是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即为．故选：C.5.设，，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误；【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误；对于B，由在上是减函数可得，故B错误；对于C，，所以，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：C.6.设集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据已知通分两集合的式子，比较分子即可判断两集合的关系.【详解】由题知，，，因为时，为奇数，为所有整数，所以.故选：B7.设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（）个A.2 B.4 C.6 D.8【正确答案】D【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可；【详解】，因为，所以，所以，对应实数的值分别为，其组成集合的子集个数为个.故选：D.8.定义集合运算.若集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】首先根据集合中的元素球集合，再求.【详解】，当，或，或，或，解得或或或，所以，，所以.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，则下列式子表示正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】利用集合与集合，集合与元素之间的关系判断即可.【详解】因为，所以，A：，故A正确；B：是集合，不是元素，不能用，故B错误；C：，故C正确；D：，故D正确；故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B..是的必要不充分条件C.若，，，则“”的充要条件是“”D.若，，则“”是“”的充要条件【正确答案】BD【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．【详解】A选项：当时，满足1a>1b反之当时，满足，但是不能推出1a>1B选项：当，,但是不能推出A=∅当A=∅时，，故B正确；C选项：当时，不能由推出,故C错误；D选项：等价于等价于，故D正确；故选：BD.11.下列结论中，错误的结论有（）A.取得最大值时的值为B.若，则的最大值为C.函数的最小值为D.若，，且，那么的最小值为【正确答案】ABC【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为，所以取得最大值时的值为，故A错误；对于B，令，若，，，，当时取等号，所以，则，则的最大值为，故B错误；对于C，函数，令，当时，解得，不满足题意，故C错误；对于D，若，，且，所以，当时，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：ABC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则___________．【正确答案】【分析】根据集合相等的定义求解即可．【详解】由题意得，，解得或，当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去，当时，集合为，满足题意，故．13.已知，则的取值范围是__________.【正确答案】【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可；【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述两不等式相加可得，即，所以的取值范围是，故答案.14.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．【正确答案】12【分析】算得，直接由基本不等式即可求解.【详解】依题意，所以当且仅当，时等号成立．故12．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，，，或.（1）求，；（2）求.【正确答案】（1）；（2）或【分析】（1）直接利用集合的交集和并集运算求解即可；（2）直接利用集合的交集和补集运算求解即可.【小问1详解】因为全集，，，所以，.小问2详解】由题知，或，所以或.16.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求；（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．【小问1详解】已知集合，．当时，，或又，；【小问2详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以，所以；当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，综上所述：．17.已知集合．（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）当时，集合，当时，集合；（3）【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：是空集，且，，解得，所以的取值范围为：；【小问2详解】：①当时，集合，②当时，，，解得，此时集合，综上所述，当时，集合，当时，集合；【小问3详解】中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；当中有2个元素时，则且，即，解得且；综上可得，时中至少有一个元素，即.18.已知x，y都是正数，且，求证（1）（2）【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）由基本不等式证明即可.（2）利用基本不等式结合不等式的性质证明即可.【小问1详解】证明：因为x，y都是正数，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以【小问2详解】因为x，y都是正数，且，所以，又，所以，即.19.学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知，，且，求的最小值.李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）（2）巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）设，，都正数，求证：；（ii）已知，，且，求的最小值.【正确答案】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由