计算机组成原理（第6版）课件 第2章 数据表示、运算与校验

第2章数据表示、运算与校验主要介绍：①数字型数据的计数制、符号数的表示、定点数和浮点数；②基本的运算方法；③字符的表示；④常用的数据校验方法；1/322.1.1进位计数制※数制的基与权在任一数制中，每一个数位上允许使用的记数符号的个数被称为该数制的基数。每1位都对应1个表示该位在数码中的位置的值，这个值就称为数位的权值w。[例]

12810，110122.1数值型数据的表示方法

W=102W=232/32（1）2进制：0、1（2）8进制：0、1、2、…、7（3）16进制：0、…、9、A、B、C、D、E、F1.常用的几种进位制2.进制之间的转换（1）整数

10

2(除2取余法)（2）小数10

2(乘2取整法)（3）整数

2

10(按权相加)（4）小数2

10(按权相加)（5）16进制↔2进制(逐位转换/分组转换)3/3229(1)2910→X22141270231211201高位低位(2)0.687510→X2除2取余乘2取整0.6875×2=1.37510.375×2=0.7500.75×2=1.510.5×2=1.01低位高位X2=111012X2=0.10112(3)1101.112→X10X10=1×23=13.7510按权相加+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-24/32(4)1111012→X16X16=111101=00111101(5)28AF16→X2X2=28AF(6)28AF16→X10X10=28AF==1041510=0010=0011

1101=3D161000101011112×163+8×162+10×161+15×160按权相加逐位转换4位分组、按组转换5/322.1.2带符号数的表示数的符号表示规则：“0”表示正号“+”，“1”表示负号“-”01001010+1001010-100101011001010一个二进制数，用0-1代码表示符号，数值位不变就得到与该二进制数真值对应的原码真值原码1、原码二进制数的码制：原码、反码、补码和移码6/32字长为8位的原码表示范围为：-127～+127

[+127]原

=01111111

[–127]原

=11111111数值“0”有两种原码形式：

[+0]原=00000000

[-0]原=100000007/322、反码②负数情况符号位保持为“1”，数值位分别“按位取反”①

正数情况X反=X原（X≥0）[例]

X=

-1101001

(真值-105)X原=1

1101001X反=1

0010110[例]

X=

+1101001(真值+105)

X反=X原=0

11010018/32字长8位的反码表示范围为：-127～+127

[+127]反=01111111

[-127]反=10000000数值“0”也有两反码形式:[+0]反=00000000[-0]反=1111111119/32※补码的编码规则：3、补码(a)对于正数(字长8位)

[X]补=[X]原

(即X≥0时)(b)对于负数(字长8位)符号位仍保持为“1”其余各数值位“按位取反,末位再加1”

[X]补=[X]反+…1

(即X<0时)10/32编码定义：[X]补=X+2n(模2n)，n为编码位数字长8位的补码表示范围为：-128～+127

[+127]补=01111111；

[-128]补=1

0000000※注意补码比原码和反码多表示1个负值，即-128数值“0”只有1种补码形式：

[+0]补=[-0]补=

0000000011/324、原码和补码之间的转换(1)已知[X]原，求[X]补[例]已知[X]原=10011010，求[X]补

解：[X]原=

10011010

↓↓↓↓↓↓↓↓11100101+

1[X]补=11100110符号位不变，其余各位变反原码为负数末位加112/32+1

(2)已知[X]补，求[X]原

[[X]补]补=[X]原[例]已知[X]补=11101100，求[X]原解：[X]补=

11101100

↓↓↓↓↓↓↓↓

10010011[X]原=10010100符号位不变，其余各位变反补码为负数末位加113/32+1(3)求补(变补)，即已知[X]补，求[-X]补[X]补的代码连同符号位一起变反，末位再加1，即得到[-X]补[例]已知[X]补=01010110，求[-X]补解：[X]补=01010110

↓↓↓↓↓↓↓↓10101001

[-X]补=10101010不区分正负数连同符号位一起变反末位加114/325、移(增)码上述规则等价于将x正向平移或者增加2n-1

，因此称之为移码或增码。移码通常用于表示浮点数的阶码。阶码一般为整数，故移码通常只用于表示整数对定点整数x，它的移码是：

[x]移＝2n-1＋x，其中-2n-1≤x<2n-1这里的n为X原位数15/32[例]阶码的为6位，X表示其真值

X移＝25＋X（-25＜X＜25）[例]当正数X＝+10101时,

X移＝25+X=110101

当负数X＝-10101时,

X移＝25+X＝25-10101

＝001011移码表示范围与补码一致，0也只有1个移码。正数：将原码符号位变反，即得到移码。负数：将原码连同符号位一起变反，末位再加1，即得到移码(与变补等效)。补码和移码:

符号相反、数值位相同16/32二进制代码无符号真值原码真值反码真值补码真值移码真值0000000000000001┆0111111001111111100000001000000110000010┆11111101111111101111111101┆126127128129130┆253254255+0+1┆+126+127-0-1-2┆-125-126-127+0+1┆+126+127-127-126-125┆-2-1-0+0+1┆+126+127-128-127-126┆-3-2-1-128-127┆-2-1012┆12512612717/321、定点数的表示2.1.3定点数与浮点数．01011101数值部分符号位小数点数的小数点固定在同一位置不变。①带符号的定点小数约定所有数的小数点的位置，固定在符号位之后。字长n+1位，则表示范围为：-(1-2-n)

～1-2-n18/32②带符号的定点整数

0101110

．1数值部分符号位小数点小数点的位置固定在最低数值位之后字长n+1位，则数的表示范围为：-(2n-1)～2n-119/32③无符号定点整数若代码序列为XnXn-1…X1X0，共n+1位，则有：典型值真值代码序列最大正数2n+1-111…1111最小非零正数100….001表示范围为:小数点的位置固定在最低数值位之后

0~（2n+1-1）分辨率为:

120/3210000000补～01111111补无符号数：定点整数:定点小数:00000000～11111111025511111111原～01111111原-127127-1281271.1111111原～0.1111111原-(1-2-7)(1-2-7)1.0000000补～0.1111111补-1(1-2-7)※字长8位的定点数的表示范围21/322、浮点数的表示原理①浮点表示中，小数点的位置可按需浮动格式模型：阶符阶码位

．数符．尾数位阶码（带符号的定点整数）尾数（带符号的定点小数）隐含小数点隐含小数点22/32②引入浮点数表示的意义[例]某字长为8位的原码二进制数定点数：11111111~01111111-127

127-(1-2-7)

1-2-7精度：1精度：2-7浮点数：5位阶码+3位尾数215×(-0.75)

~

215×0.75精度：11111001=2-15×0.2501111111~01111011整数：小数：相同字长时，浮点数的表示范围更大、精度更高！23/32浮点数真值：N=±RE×M

阶码E尾数M阶符数符R：阶码的底数，隐含约定为2。E：阶码，定点整数，补码或移码表示，其位数决定了数值的范围；M：尾数，为定点小数，原码或补码表示，其位数决定着数的精度；数符表示数的正负。③浮点数的机器(存储)格式EfE1…EmMfM1…Mn24/32④尾数M的规格化表示规格化的目的→使浮点数的表示代码“唯一”128=0.128×103=1.28×102=12.8×101，…科学计数法约定：1≤|M|<10则规范形式：128=1.28×102（唯一）3.2=1.6×21=0.8×22=0.4×23,…可以表示成任意多个代码形式约定尾数M的值域，使数的表示是唯一的、确定的→计算不便→尾数M的“规格”化25/32正数，规格化后最高数值位为“1”负数，规格化后最高数值位为“0”规格化以后尾数的最高有效位为“1”对于补码：对于原码：①浮点数用原码表示时0-11-1/21/2-1≤M﹤-1/2

或1/2≤M﹤1②浮点数用补码表示时1/2≤|M|﹤1M原=0.1000，1.1010M原=0.0010,1.0110如0.1010,0.1110非规格化如1.0010,1.0000-0.875-10.6250.87526/32最小浮点数最大浮点数为最大正数：[例1]阶符1位、阶码m位，数符1位、尾数n位，如果表示成规格化补码，分析各真值对应的M、E取值情况。最小浮点正数为最大正数：2

-1m为最小负数：-1为最大正数：2

-1m1-2-n为最小负数：-2

m为最小正数：2-1最大浮点负数为最小负数：-2

m为最大负数：-(1/2+2-n)N=M×2E-1≤M<-1/2或1/2≤M<1=F(M,E)-2m≤E≤2m-1E→M→

E→M→

E→M→

E→M→

27/32[思考]某十六进制浮点数A368000016，将其表示成补码，字长32位，阶码8位（含1位阶符），尾数24位（含1位数符），求该浮点数十进制的真值。表示范围：231

×(-1)[例2]某个用规格化补码表示的浮点数，其中阶码6位(含1位阶符),尾数10位(含1位数符)。绝对精度=2-32×0.5=2-33相对精度=2-9(即最小的非0正数)：(只与尾数的数值位数有关)：011111

100…00~011111

011…11231×

(1-2-9)100000

010…00xxxxxx

000…0128/323、※IEEE754格式的浮点数在上述的表示格式中：Ｓ=浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数；Ｅ=阶码，8位，采用移码表示，阶符隐含；Ｍ=尾数，23位，纯小数表示，且真值=1+M；阶码E采用移码形式，但只偏移27-1

（不是27）。

有32位浮点数（单精度）和64位浮点数（双精度）①32位短浮点数：SEM3130

~

2322

~

029/32在上述表示格式中：Ｓ=浮点数的符号位，0表示正数，1表示负数；Ｅ=阶码，11位，采用移码方式，阶符隐含；Ｍ=尾数，52位，用纯小数表示；对阶码E编码时，只偏移210-1

（标准移码偏移210）。②64位长浮点数：SEM6362

~

5251

~

030/32※补充说明：

31/32（1）为了确保浮点数表示的唯一性，约定0≤M<1；（2）E为全0且M非全0：非规范浮点数（E偏移126），则：F真=(-1)S×M×2E-126（5）E为全1（255）：M为全0，则F真=±∞（6）E为全1（255）：M非全0时，代码无效(NaN)；（4）1≤E≤254：数是规范浮点数（E偏移127），则：F真=(-1)S×(1+M)×2E-127（3）E为全0且M为全0：表示浮点数0[解答]首先分别将整数和小数部分转换成二进制：20.59375＝10100.10011然后移动小数点，使其在第1、2位之间10100.10011=1.010010011×24

小数点被左移了4位，于是得到：e=4尾符S=0，阶码E=4＋127=131，尾数M=010010011最后得到32位浮点数的二进制代码：01000001101001001100000000000000

＝(41A4C000)16[例]

将十进制数20.59375转换成IEEE754的32位标准浮点数的2进制格式，并写出相应的16进制数。32/322.2字符表示方法2.2.1ASCII码ASCII(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)。字符总数：128包含数字0~9，大小写英文字母，运算符，标点符号，标示符，格式控制符等等。代码宽度：7b存储宽度：7b(有效位)+1b(奇偶校验位)=8b33/7ASCII码示例16进制30313233343536373839数字0123456789①数字型②字符型16进制4142434445464748494A字符ABCDEFGHIJ③其它型16进制2528292A3C3D3E3F407F字符%()*<=>?@DEL34/72.2.2汉字编码1.汉字的输入码35/7①数字输入码包括：数字码、拼音码、字形码√常用的是国标区位码，用数字串代表汉字；√将6763个二级汉字分为94个区，每区94位，把汉字表示成二维数组，数组下标就是区位码。※数字编码输入的优缺点：无重码，输入码与内部码的转换方便，代码难以记忆。[例]平↔3829（位于码表38区、29位）以汉字拼音为基础的输入方法（如微软拼音）根据汉字的书写形状来进行编码（如五笔字型）。②拼音输入码√简单方便；√同音字多，重码率高，影响输入速度。※拼音输入码的优缺点：③字形输入码√把汉字的笔划部件用字母或数字进行编码，按笔划顺序依次输入，就能对应一个汉字。√简单方便，符合书写习惯；√重码率高，需要记住字形结构。※字形输入码的优缺点：36/72.汉字的内码国标码：10进制区位码转成16进制，再加2020H用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的计算机内代码,一般用两个字节表示。机内码：国标码+8080H(与ASCII区别)，或者区位码转成16进制+A0A0H√机内码的基础是国标码[例]“啊”的区位码160110=1001H国标码=1001H+2020H=3021H机内码=1001H+A0A0H=B0A1H37/73.汉字字模码字模码用点阵表示的汉字字形代码,是汉字的输出形式。38/7例如：字模码汉字的字模码为：16×16位=32字节※特别说明：39/7①字模点阵用来构成汉字库，并非而机内存储。②字库中存储每个汉字的点阵代码，用于汉字的显示输出或打印输出。③当显示输出或打印输出时才检索字库，输出字模点阵，得到字形。√汉字的输入码、内码、字模码分别是用于计算机输入、内部处理、输出三种不同用途的编码；√各有用途，不能混为一谈。2.3数据处理与存储40/1110011111、移位操作(1)逻辑移位

：数码位置变化。(2)算术移位

10001111循环左移：：符号位不变、数码位置变化算术左移：1

10

(-15)(-30)000111101111数值发生2n倍变化，n为移动的位数空位补041/11（1）单符号位：0011101110

（2）双符号位：001110

000111①正数补码\原码移位规则※移位规则左移右移右移0

01110

0011左移左移右移右移011100

001110000111数符不变(单：符号位不变；双：第1符号位不变)空位补0(右移时第2符号位移至尾数最高位)42/11（2）单符号位：1101110110

（3）双符号位：101100

110110②负数补码移位（1）移位规则左移右移右移1

10111

1101左移右移右移110110111011数符不变(单：符号位不变；双：第1符号位不变)左移空位补0（第二符号位移至尾数最高位）。右移空位补143/11※易出错处：00

1110左右011100正确：11

0110101100001100011100

000110正确：00

1110111100左正确：101100

111110右11

0110正确：44/112、舍入方法①0舍1入（原码、补码）000100原

100101原

111011补

②末位恒置1（原码、补码）000100原

111011补

100101原

00010原

10011原

11110补

00011原

10011原

11101补

［例］保留4位尾数：［例］保留4位尾数：45/110000000A000AFFFF800A800A0000002A002A0000F12CF12C直接把符号位（0/1）填充到扩展位高位均全补03、数位扩展与压缩（1）符号扩展（2）0-扩展（3）位数压缩弃高位、留低位F12B800A02A0F12C800AF12C（针对无符号数）46/114、数据存储(按字节编址)（1）小端模式/Little-Endian小地址单元存储数据的低位(即尾端)#103#102#101#100FFFF0001FFFF0001（2）大端模式/Big-Endian大地址单元存储数据的低位(即尾端)#103#102#101#100FFFF00010100FFFF47/115、数据字的对齐(Alignment)48/11要求数据的地址是相应的边界地址

※按边界对齐（假定存储字宽度为32位，按字节编址，字长32位）

字地址：4的倍数(低两位为0)

半字地址：2的倍数(低位为0)

字节地址：任意※不按边界对齐

例如inti,shortk,doublex,charc则&i=0;&k=4;&x=8;&c=16则&i=0;&k=4;&x=6;&c=14;ikxc按字边界对齐不按边界对齐0004081216字节0字节1

字节2

字节3ikxc试分析访存次数的变化情况字节0字节1字节2字节3000408121649/11

思考下列问题:1、在32位机器上输出si,usi,i,ui的十进制（真值）和十六进制值（补码机器数）是什么？shortsi=-32768;unsignedshortusi=si;inti=si;unsingnedintui=usi;已知32768=215=1000000000000000B2、某机存储器按字节编址,字长32位，欲存储俩数shortfloatf1=-256,f2=-128.75。试分析在地址码为#1000存储单元的小端字对齐存储模式。50/112.4基本运算方法补码（+、–、×、÷）原码（+、–、×、÷）浮点数运算移码（+、–）定点数运算51/472.4.1定点数的运算定点数一般用补码表示；符号位参加运算。重点：基于补码的加、减乘、除法52/471.补码的加减法(X+Y)补=X补+Y补（1）(X-Y)补=X补+(-Y)补（2）数学依据：(X+Y)补=X+Y+2n=X+Y+2n+2n=X补+Y补全过程以2n为模，即除以2n后取余数。(X-Y)补=X-Y+2n=X-Y+2n+2n=X补+(-Y)补其中，(-Y)补=[Y补]变补Y的符号置反后再表示成补码Y补连同符号一起变反、末尾+153/472)X=–3Y=–2

X补=11101

Y补=1111011011（-5补码）1)X=3Y=2

X补=00011

Y补=0001000101（+5补码）【例】求(X+Y)补1)X=4Y=–5

X补=00100

Y补=11011(-Y)补=0010101001（+9补码）2)X=–4Y=5

X补=11100

Y补=00101(-Y)补=1101110111（–9补码）【例】求(X–Y)补

X补=00100

Y补=11011

X补=11100

Y补=0010154/4700101原10101原※补码表示与变补运算的区别补码表示10011补变补运算补码表示符号位不变负数尾数改变，正数尾数不变。00011补变补运算符号位变反，尾数变反、末尾加1【举例】11011001010110111101(-Y)补也称为Y补的机器负数。55/47（2）补码加减运算流程操作数用补码表示,符号位参加运算得到补码表示的结果，符号位指示结果的正负X补+Y补X补+(-Y)补ADDSUB56/47（3）逻辑实现#控制信号加法器输入端：Sub：控制MUX和CinA：输入A补B：输入B补加法器输出端：Sum:加法结果Cout:进位信号#补码加减运算器框图MUXSum加法器444AZFCinCout4B401SubBOF补码加/减运算部件逻辑SFCFB＇ZF:0标志位；SF：符号标志；CF:进位/借位标志；OF:溢出标志。57/47（4）溢出判断思考：在什么情况下可能产生溢出？A：4位尾数，1位符号(SA)B：4位尾数，1位符号(SB)

补码，故符号位也参加运算结果的符号，记为Sf符号位的进位，记为Cf尾数最高位的进位，记为C［假设］补码表示的Ａ、B两数做加减运算＊溢出的判断规则58/470011011100正确00011000101）A=3、B=23+2：001012）A=10、B=710+7：010100011110001正溢正确负溢正确正确3）A=-3、B=-2-3+(-2)：1101111101111104）A=-10、B=-7-10+(-7)：01111101101

10015）A=6、B=-46+(-4)：000106）A=-6、B=4-6+4：11110110100010059/470

101000111（2）A=10B=710+7：10001（4）A=-10B=-7-10+(-7)：011111011011001①硬件判断逻辑一(根据SA、SB与Sf的关系)＋溢出逻辑=SASBSf②硬件判断逻辑二(根据Cf与C的关系)正溢负溢SASBSf60/47正确00011000101）A=3B=23+2：001012）A=10B=710+7：010100011110001正溢正确负溢正确正确3）A=-3B=-2-3+(-2)：1101111101111104）A=-10B=-7-10+(-7)：0111110110110015）A=6B=-46+(-4)：0001000110111006）A=-6B=4-6+4：111101101000100Cf=0C=0Cf=0C=1Cf=1C=1Cf=1C=0Cf=1C=1Cf=0C=011111161/47②硬件判断逻辑二(Cf与C的关系)溢出逻辑=Cf⊕C③硬件判断逻辑三(从双符号位)①硬件判断逻辑一(SA、SB与Sf的关系)＋溢出逻辑=SASBSfSASBSf62/471）3+2：正确00001100001000

01012）10+7：001010000111010001正溢正确负溢正确正确3）-3+(-2)：1110111111011111104）-10+(-7)：1011111101101110015）6+(-4)：0000100001101111006）-6+4：11

111011

1010000100第１符号位Sf1第２符号位Sf263/47③硬件判断逻辑三（双符号位Sf1、Sf2）溢出逻辑=Sf1⊕Sf2②硬件判断逻辑二(Cf与C的关系)溢出逻辑=Cf⊕C①硬件判断逻辑一(SA、SB与Sf的关系)＋溢出逻辑=SASBSfSASBSf00/11-正确；01-正溢；10-负溢；64/472、原码加减运算[符号位单独处理、数值位加减]

先比较两数符号：①加法：同号数值位求和，异号求差；②减法：异号数值位求和，同号求差；※求和时：数值位相加，和的符号取被加数（被减数）符号[若最高位产生进位，则结果有溢出。※求差时：被加数（被减数）与加数（减数）求补后相加。⊙最高数值位有进位，相加结果为正，数值位正确；符号取被加数（被减数）的符号。⊙最高数值位无进位，相加结果为负，得到数值位的补码，需对结果求补还原为绝对值形式的数值位；符号位与被加数（被减数）的符号相反。65/473原+2原3原+[-2]原3原-2原3原-[-2]原求和求差[例]已知[X]原

=1.0011，[Y]原

=1.1010，计算[X+Y]原解：由原码加减运算规则知：同号相加，则求和，和的符号同被加数符号。和的数值位为：0011+1010=1101和的符号位为：1

[X+Y]原

=1.1101[例]已知[X]原

=1.0011，[Y]原

=1.1010，要求计算[X–Y]原

解：由原码加减运算规则知：同号相减，则数值位求差

差的数值位为：0011+(1010)求补

=0011+0110=1001

最高数值位无进位，表明加法结果为负，需对1001求补，还原为绝对值形式的数值位。即：(1001)求补=0111差的符号位为[X]原的符号位取反，即

[X–Y]原

=0.011166/473、标准移码的加减[符号位和数值部分一起处理][E1]移+[E2]移=2n-1+E1+2n-1+E2=2n+E1+E2

=[E1+E2]补（mod2n）=E1补+E2补=

(E1移+E2移)反号[E1]移–[E2]移=2n-1+E1+2n–[E2]移

(mod2n)

=2n-1+E1+2n–2n-1–E2

=2n+E1–E2=[E1–E2]补（mod2n）=E1补+(E2)变补67/47[重要结论]两数移码的加减等于两数加减后表示成的补码。※补码和移码：符号位相反、数值位相同①加法：直接将[E1]移和[E2]移进行模2n加，结果的符号取反。②减法：先将减数[E2]移求补，然后再与被减数[E1]移进行模2n加，结果的符号取反。因此，可得到移码的下列加减法则：[溢出判断]进行模2n相加时，如果两个加数与和数符号全相同，则发生了溢出。68/47[例]用4位移码计算“–7+（–6）”和“–3+6”的值。[–7]移

=0001[–6]移=0010 [–3]移=0101 [6]移=1110[–7]移+[–6]移

=0001+0010=0011补

（符号都为0，有溢出）[–3]移

+[6]移

=0101+1110=0011补，（符号取反后为1011，其真值为+3）思考：[–7+(–6)]移=?

[–3+(6)]移

=？69/47[例]用四位移码计算“–7–（–6）”和“–3–5”

[–7]移

=0001[–6]移=0010

[–3]移=0101 [

5

]移=1101

[–7]移

–[–6]移

=0001+1110=1111补

符号取反后为0111，其真值为–1。

[–3]移

–[

5

]移

=0101+0011=1000补符号取反后为0000，其真值为–870/472.4.2定点数乘法√原码一位乘√补码一位乘√原码两位乘71/471、原码一位乘原码乘法部分积累加、移位。[例]

0.1101×1.1011乘积

P

=|X|×|Y|X原Y原符号SP=SX⊕SY72/47手工运算0.1101×0.10111101110100001101.10001111添加符号：1.10001111部分积思考：1）加数的个数增多情况2）加数的位数增多的情况解决办法：可将1次总加改为分步移位累加←|X|←|Y|①加数只为|X|或0②个数为|Y|的位数73/47原码1位乘法（1）算法原理[每次将1位乘数所对应的部分积与原部分积的累加和相加，并移位]设置寄存器：

A：存放部分积累加和、乘积高位

B：存放被乘数

C：存放乘数、乘积低位

A=00.0000B=|X|=00.1101C=|Y|=.1011

设置初值：74/47步数CR条件操作A

C

00.0000.1011

0）Cn=1+BCn+00.110100.1101

0.1101×0.1011

1101110100001101

0.10001111BC

1101

00.01101.101

0.1101×0.10111）Cn=1+B+00.110101.001100.100111.10

0.1101×0.1011

0.1101×0.1011

1101110100001101

0.10001111BC2）Cn=0+0+00.000000.100100.0100111.13）Cn=1+B+00.110101.000100.10001111X原×Y原

=1.10001111101111011110111175/47（2）算法流程0→A、0→CR、|X|→B、|Y|→CCn=1?CR=n?1/2(A+B)→A，C1/2(A+0)→A，C

CR+1→CRYYNNSX⊕SY→SA76/47选择（3）32位硬件逻辑方案加法器AC寄存器控制逻辑clock0/BCnAC[63:32]AC[63:32]T=0：|X|→B,|Y|→AC[31:0],0→AC[63:32]32位BT=1：AC[63:32]+0/B→AC[63:32],AC右移T=2：T=n：同上，然后置符号。…Wn

右移SxSy64位的移位寄存器Cn=AC[0]77/472.补码一位乘法※Booth（比较法）Yn

(高位)Yn+1(低位)运算操作[XY]补=[An]补+(Y1-Y0)×[X]补＊乘数尾添加Yn+1，循环判别YnYn+1,累加如表情况的的校正值，再整体右移1位（即½×

）。78/4700½×A补01½×

(A补+X补)10½×(A补-X补)11½×A补Y0[例]

X=-0.1101，Y=-0.1011，计算[XY]补初始化A=00.0000，ACCn+100000010101步数

CnCn+1条件操作1

1

0

-B+0011010011010

011011010

1101010右移1位→2

0

1

+B+1100111110011

1100110101右移1位→11101

079/47B=X补=11.0011，-B=-X补=001101

C=Y补=1.01010011001000步数

CnCn+1条件操作3

1

0

-B+001101100100100100

111101111010右移1位→4

0

1

+B+

1100111101111

1011

111110111101右移1位→11110011101

0

1

0

-B+001101111110[XY]补=0010001111=

+0.1000

1111保持不变!!80/4701校正.（请参考教材）※补码1位乘法除了比较法，还有校正法。①乘数Y补为正，乘以X补累加，结果不校正；②乘数Y补为负，乘以X补累加，结果-X补校正；81/472.4.3

定点数的除法√补码不恢复余数除法√原码恢复/不恢复余数除法√补码恢复余数的除法82/471.补码不恢复余数除法[算法思想]被除数X补、除数Y补、余数ri,

i=0、1…初始化：令r0=X补,比较r0与Y补符号，同号上商1，异号上商0×2↔左移1位ri、Y补数符商对应操作[-Y补]↔+[Y补]变补商修正：循环：i=1…n,按下表条件决定每步操作余数修正：（|X|<|Y|）83/47同号异号10ri+1=2×[ri]补-Y补ri+1=2×[ri]补+Y补符号位+1，末尾恒置1左移了n次，则余数=2-n×rn1

0000101

000110[例]X÷Y=+0.1000÷(-0.1010)=?R=X补=001000，001000000001r0Y补异号2r1Y补异号2r0

/←

+110110010000

00000+Br12r1

/←

001100

00000+B+110110r2r0上商0000110000000步数条件操作被除数余数

商Q上商084/47B=Y补=110110，-B=001010，Q=000000111010R=X补=001000，B=Y补=110110，-B=0010103r2Y补异号2r2

/←

+B4r3Y补同号r32r3

/←

111010

000000001000000r200010000000+110110上商0商校正：

-B+001010111110余数：00001000000110100

000102-4×

r4r4数符+1、末尾恒置1上商1

10011补

85/4701+1置1左移了4位2.4.4IEEE754浮点四则运算浮点运算的实现：低档微机，通过子程序中档微机，通过浮点处理器（协处理器）高档微机，通过专门的浮点运算部件86/47[以IEEE754浮点数为例]浮点数运算→尾数运算、阶码运算原码移码加减乘除加减87/470、IEEE754短浮点数阶码的加减①Ex和Ey分别是两数阶码，Eb是结果阶码，则：Eb=Ex+Ey+129（mod28）原理推导：88/47阶码用非标准移码表示（仅偏移2n-1-1=127）[Ex+Ey]移

=127+(Ex+Ey)=[Ex]移

+[Ey]移

+10000001=(127+Ex)+(127+Ey)–127=[Ex]移+[Ey]移–127

=[Ex]移+[Ey]移+127求补=[Ex]移+[Ey]移+(-127)补=[Ex]移

+[Ey]移

+129（mod28）②Ex和Ey分别是两数阶码，Eb是结果阶码，则：Eb=Ex-Ey=Ex+[–Ey]补+127（mod28）原理推导：89/47[Ex–Ey]移

=127+(Ex–Ey)（mod28）=127+Ex-Ey-127+127=[Ex]移–[Ey]移

+127=[Ex]移+(–[Ey]移)补+01111111=[Ex]移+([Ey]移)求补+01111111（mod28）或者mod28，等价于忽略最高位的进位。[例]若两个阶码分别为10和-5，求10+(-5)和10-(-5)Ex=127+10=137=10001001Ey=127+(–5)=122=01111010[–Ey]补=10000110Eb=Ex+Ey+129

=10001001+01111010+10000001

=10000100

=132（mod28）

=+5

正确Eb=Ex+[Ey]求补

+127

=10001001+10000110+01111111=10001110

=142（mod28）

=+15正确90/471000100101111010+

100000011

10000100

1000100110000110+

01

11

11111

10001110

1、浮点的加减运算浮点加减法的思路：假设：A=2AE×AM，B=2BE×BM

A+B=(AM+BM)×2E

调整阶码和尾数：AE→E←BE、AM、BM

浮点数的加减→移位操作→尾数原码加减91/47[目的]使两数阶码相等(小数点实际位置对齐，尾数对应权值相同)。[规则]22×0.100123×0.110123×0.010123×0.1101小阶向大阶对齐。判操作数是否为0尾数为0阶码下溢(归0)(3)对阶(1)检测能否简化操作(2)计算阶差92/47补1以减小误差（4）尾数加减.※阶码比较：比较线路或减法。※对阶操作：小阶的阶码增大，尾数右移。[例]AE>BE，则BE+1→BE，BM，直到BE=AEAM±BM→AM（5）结果规格化

|M|<1|M|

≥2应左移规格化应右移规格化尾数M左右移动，使：1≤|M|<293/47溢出判断94/47以下情况下，可能会导致阶码溢出左规（阶码-1）时

左规时：先判断阶码是否为全0，若是，则直接置阶码下溢；否则，阶码减1后判断阶码是否为全0，若是，则阶码下溢。右规（阶码+1）时右规（+1）时，先判断阶码是否为全1，若是，则直接置阶码上溢；否则，阶码加1后判断阶码是否为全1，若是，则阶码上溢。[例]已知x=0.5,y=-0.4375,求x+y=?

x=0.5=1/2=(0.100...0)2=(1.00...0)2×2-1

y=-0.4375=(-0.01110...0)2=(-1.110..0)2×2-2[x]浮=0

01111110,000…00

[y]浮=1

01111101,110…00求阶差、对阶:ΔE移=01111110-

0111

1101+127e=128-127=+1故对y进行对阶：[y]浮=101111110

1110…00尾数真值相加：01.0000...00

+(10.1110...00)(原码加法：异号求差，加数变补后求和)左规：+0.00100…00×2-1=+1.00…0×2-4

[x+y]浮=0

0111101100…00

=+0.0625

95/470111111010000011+

01

11

11111

10000000

=10000000=1281.0000…00+1.0010…001

0.0010…00

=00.00100…00

<1求补求补2、浮点数的乘法※运算步骤：①求阶和AE+BE浮点乘法→分解成：移码加法、原码乘法；②尾数相乘，设：A=2AE×AM，B=2BE×BM

则：A×B=(AM×BM)×2AE+BE

③结果规格化。④其它处理：如舍入、置0、阶码溢出判断不需左规！最多右规1次！96/473、浮点数的除法※运算步骤：浮点除法→分解成：移码减法、原码除法设：A=2AE×AM，B=2BE×BM

则：A÷B=(AM/BM)×2AE-BE①求阶差AE-BE②尾数相除，③结果规格化。需右规？？④其它处理：如舍入、置0、阶码溢出判断97/472.5数据的校验（1）奇偶校验（2）海明校验（3）循环冗余校验98/18待编码信息10110001奇校验编码10110001偶校验编码10110001102.5.1奇偶校验校验位（1）编码规则增设1位校验位，从而使1的个数是奇或偶数5个“1”4个“1”99/18（2）偶校验电路逻辑++++D7D6+D5D4+D3D2+D1D0+偶形成校验输出校验位偶校验逻辑电路图11111101110正确，或者有偶数位错000110100/18++++D7D6+D5D4+D3D2+D1D0+偶形成校验输出校验位※任何1个数，减去1个偶数，其奇偶性不变11111101101输出1：有奇数位错1001110所以奇偶校验均不能发现偶数位错，也无法定位错误101/182.5.2海明校验√是一种多重分组奇偶校验；（1）分成几组？每组包含多少校验位？[假设]待编码信息K位，分成r组，每组1个校验位√将代码组织为若干分组，每组进行奇偶校验；√能够检验是否出错，也能定位出错位；校验码位数:r位;海明编码总长:N=k+r位;海明编码时：各组单独进行奇偶校验编码，以确定各组的校验位。102/18※各参数应满足：若k

=

4,则r

≥

3满足上述定理，可组成7位海明码。代码检验时：每组能产生1个指误码→

r位指误码→

2r种可能的指误代码指误码为全0其余(2r-1)种指误代码：比如：G3G2G1G0如0000、0001、0010、….

←→

海明编码无错;→分别用于指示(2r-1)种只有1位错的情况≤2r-1N=k+r103/18（2）分组方法1234567指误码P1P2A1P3A2A3A4第3组第2组第1组数据码1位错有效信息：A1A2A3A4,校验位：P1P2P3,偶校验方式101G3G2G1=000G3G2G1=101101101010101如果有多位数字发生错误呢？G3G2G1=101G3G2G1=1015需增加分组扩大码距！(k=4,r=3)编码的海明距离：d=3；第5位错√√√√√√√√√√√√G3G2G1104/18（3）编码规则每组均采用偶校验，填入校验码，组内具有偶数个1[例如]4比特有效码(待编码数据)1001（4）检错与纠错[例如]读取到数据：0011011增加分组，能提高检错和纠错能力(k=4,r=3)海明编码：0011001（黄色的为检验码）指误码：据此推断第6位出错，第3组0011011G3=1第2组0011011G2=1第1组0011011G1=0G3G2G1=1102=610001101100110110011001定位+纠错105/182.5.3循环冗余校验[校验原理]用待校验数据除以某个约定代码，能除尽则表明数据正确，否则通过循环移位校正出错位。(1)编码方法即CRC,CyclicRedundancyCheck；①将待编码的k位有效数据M(x)左移r位得到全编码多项式M(x)·xr，空出r位，以装填r位余数；②选取一个r+1位的生成多项式G(x)，对M(x)·xr进行模2除运算，得到商Q(x)和余数R(x)的代码；③将左移r位的待编码信息，与余数R(x)模2加，可拼接成为包含有效数据在内的CRC编码。106/18[例]将4位有效信息（1100）编成CRC码，使用生成多项式为代码（1011）待编码数据：1100(k=4)，则M(x)=1x3+1x2+0x1+0※CRC编码过程：生成多项式代码：1011，则G(x)=1x3+0x2+1x1+1余数的位数r：等于G(x)中最高项的指数，r=3得到：M(x)·xr=(x3+x2)·x3=1x6+1x5+0x4+0x3+0x2+0x1+0①先确定G