矩阵论(方保镕、周继东、李医民)习题1-3章

习题1.1

1.解：除了由一个零向量构成的集合网可以构成线性空间外，

没有两个和有限（〃?）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（ka

有无限多个，AEp数域）.

2.解：（1）是；（2）不是，因为没有负向量；（3）不是，因为存在两

向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；（4）是；（5）不是，

因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.

3.解：⑴不是，因为当ZWQ或R时，数乘心不封闭；（2）有

理域上是；实数域上不是，因为当k£R时，数乘攵a不封闭.（3）是；

（4）是；（5）是；（6）不是，因为加法与数乘均不封闭.

4.解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘

以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条

公理.

5.解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或

因无零向量）.

6.解：（1）设A的实系数多项式/（A）的全体为

{f（A）=a0I+qA+…册wR,冽正整数}

显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.

(2)与(3)也都是线性空间.

7.解：是线性空间.不难验证sinf,sin2/,sinm是线性无关

的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所

以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶(Fourier)系数知

1广2万

c;=——Irsinitdt.

兀J。

8.解：⑴不是，因为公理2)不成立：设r=l,s=2,a=(3,4),

则(r+s)o(3,4)=(9,4),而r“3,4)㊉so(3,4)=(3,4)©(6,4)=(9,8),

所以(r+s)oa=Aroa©soa.

(2)不是，因为公理1)不成立：设a=(l,2),0=(3,4),

则a㊉B=(l,2)㊉(3,4)=(1,2),3ea=(3,4)㊉(1,2)=(3,4),

所以a㊉㊉a.

(3)不是，因为公理2j不成立：设r=l,s=2,a=(3,4),

贝I(r+s)。a=3。(3,4)=(27,36)而

roa©soa=lo(3,4)e2o(3,4)=(3,4)©(I2,16)=(15,20),

于是(r+s)oa1*。口啰5。€1.

(4)是.

9.证若a,/?wV,则

2(a+4)=2a+24=(1++(1+1)£=(\a+la)+(1尸+I/7)

=(a+a)+(/?+/)=a+(a+/?)+/

另一方面2(。+⑶=(1+贴+⑶=(la+l⑶+1Q+0

=(a+/?)+(a+P)=a+(〃+a)+/

因此，a+(a+〃)+〃=a+(尸+。)+/，

从而有

(―a)+a+(a+/7)+/7+(—/7)=(—a)+a+(/7+a)+尸+(—尸)

于是得a-vp=p+a.

10.解：先求齐次方程组的基础解系

&,=（3,37,0）r,&2=（-370,4）1

即为解空间V的一组基.所以，dimV=2.

11.解：考察齐次式占（/+X）+左2,-1）+左3（X+l）=0

即（%+A2）/+（匕一心+&3口+&=0，

得线性方程组

'4+&=0

'k1—h+k,=0

由于系数行列式不等于零，那么只有匕=&=&=0时，上述齐次式

才对vx成立，所以x2+x,x2-x,X+1线性无关，且任二次多项式

aP+/ufc都可惟一地用它们来表示（因为相应的非齐次方程组有惟一

解），故为基.

2

令2/+7x+3=化+k2）x+（匕-22+&）x+&

3,（3,-1,3）.

得k、=3,k2=々=即坐标为

12.解:⑴因为（尸"2应,"）=（%%，%,%）。,

故C=(a\,a-D'(B\,5、B3邛4)

00(T>-1"2056、’2056、

0100I3361336

00I0-1121-I12

I3J11

。00L1101013

⑵显然，向量。在基下的坐标为X=（0，《2-'S），

设4在基6］，夕2,23,夕4下的坐标为y=（7,%,%，/）',则

’2056、-1、

1336

Y=C]

-1I21

O

41U

--

93-19

14-

-323

-9一

217O272

O=BX

--

313<3

71-

^326

一9-

2727y

（3）如果X=Y,则有X=3X,即得齐次方程组（［-8）X=0,求

其非零解为

X=k(—1,-1,-1,Iy,k£R,即为所求.

13.解：(1)对左=12…/=攵/+1,…,〃令%=(%)”其中

4,=1,其余的%=0,则优,｝为上三角矩阵空间的一组基，维数为

3"（〃+］）.

（2）R+中任意非零元素都可作R+的基，力〃?R+=1.

（3）I,A,屁为所述线性空间的一组基，其维数为3.

14.解：(1)由已知关系式求得

4%+8%+%-2a4

ft2=-2at-4a2+%

用=%+2a2

凡=%+2a3

于是，由基(I)到基(II)的过渡矩阵为

4-2I0

C=8-421

1002

-2100

(2)a在基(II)下的坐标为(2,・1,1,1)T,再由坐标变换

公式计算a在基(I)下的坐标为

C(2,-1,1,1)7二(11,23,4,-5)。

(3)不难计算得c/勿(1•/—C)=0,所以1是。的特征值.不妨

取过渡矩阵C的对应于特征值1的一个特征向量为7,则有C7/

=1•刀,那么4=(4，Z?2,四,"羊。，再由坐标变换公式知，a在基

(I)下的坐标为f=C〃=〃，即存在非零使得4在基(I)

和基(II)下有相同的坐标.

15.解：不难看出，由简单基Eu,E12,&I,£2改变为基(I)

和基(II)的过渡矩阵分别为

20-2111-1-f

2-12-1

-1I10

122201i1

则有(Bi,B2,B3,84)=(Eu,E12,E21,E22)C2

=(4,A2,A3,A4)C~'C2

故由基（I）改变到基（II）的过渡矩阵为

-01-11-

-1100

C=C.-'C,

0001

1-11-1

16.解：（1）由简单基1,改变到基（I）和基（II）的过

渡矩阵为

1111101

I110111

G=I111I0

1110

故由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为

1-100

-1001

C=C-'C=

2001

1101

（2）设九）ep风在基（I）和基（II）下的坐标分别为

a=，夕=（7，小，%，2）'，则有a=cp且a=p,即有

（/-C）/9=0,该齐次方程组的通解为/nAQOJoXZe艮于是，在基

（I）和基（II）下有相同坐标的全体多项式为

/W=(g|(4g2(%),g)(4S4(6)夕=依3(x)

=k+kx+kx2

17.解：⑴设感"的子集合为L,对任意awL,有

a=(q,生，•••，。〃)，=0,

1=1

对任意a=（%,%，…，4）,尸二（伉也，…，么）有

a+夕=(4+仇，…、4,+b)Z(《+〃)=Zq+Z2=0

i=lr=lJ=1

又ka=(ka],…,ka)2攵4=0《=0,所以a+/wL,kaeL,

r=lr=l

因此L是丫的子空间.

(2)对任意a,尸eL,a=(apa2,...,an),£=/也，...,—)，有

£《=l,/=1

1=1/=l

故a+0=(q+bx,...,an+b”),Z(q+息)=£%+工乩=2

1=1J=l1=1

于是可知a+fUL,因此L不是V的子空间.

18.解：Spa〃(a；,a；,a；)的基为a；,a；,a；的一个最大无关组,

a；,a；,a；在基四,%,%下的坐标依次为

(1,23尸，(2,3,2)『，(4,13,Q)T

该列向量组的一个最大无关组为(1,・2,3)、(2,3,2)。因此，%,生,生

的一个最大无关组为叩a；,即Spa〃(a；，区卬；)的^一个基为&i，a；.

19.解：(1)因为0““”£匕，所以V/非空.设4,3叱，则有”=%，

BP=PB.又因为(A+B)P=AP+BP=弘+PB=P(A+B)f(kA)P=k(AP)

=k(PA)=P(kA)(jteR),所以4+Be%,MeV,,故V\是/T”的

子空间.

(2)取A=1°1,B=f°。],贝"从而Awh,Be%,

0Oj|_01_

10/、

但A+B=I,det(A+0,所以A+8至X,故V1不是子空间.

2040

又A?=A,从而Ae匕，2A=，RA)?=r2A,所以2A至匕，

0000

故L也不是子空间.

20.证：因为

(2,-I,3,3)=(-1)(1,1,0,0)+3(1,0,1,1),

(0,1,-1,-1)=(1,1,0,0)+(-1)(1,0,0,1)

即生成的子空间有相同的基，所以它们生成的子空间相同.

21.解：(1)设人=X,"W匕，则由AP=R1可得齐次方程组

-3x3=0

3x)+x2-3X4=0

一占=0

3/=0

求得基础解系为(1,-3,0,0)T,(1,0,0,1)T,从而巳的基为

Fl-31flO-

L[Oo卜&=[oif

dimV]=2.

⑵%的矩阵一般形式A=KA+匕4=%+&-3K(k1&wR).

・0k.、■

22.证：若Vi的维数为（），则％与W都是零空间，当然相等；

若V/的维数是m/0,由于匕口匕，故匕的任一组基eq,…,J都是

上的线性无关组.又因W与％的维数相同，故这个线性无关组也是

丫2的一组基，即V/与丫2有相同的基，因此V产

23.解：设VClW,则有

《一〃2+外一。4=°，q+/+%+%=0

由此相加或相减可得q+4=0，%+4=0，从而q=-ay,a2=-a4,

故得a=(q,a2，-q-a2)=al(1,0,-1,0)+t/2(0,L0,-l).

但(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)线性无关，即为所求的基.

24.解：(1)设A=(%L，8=(4)-eV,则即+%=0,

3+32=0,因为A+B=[%+%)2K2，(如+仇|)+(。22+〃22)=0，kA=(k%)2x2,

(我4)+k％)=0,所以A+BeV,MeV,又所以V是R?x2的

子空间.

(2)在V中取A=1：,4=°口，A,=[°它们线性无

1()J0

关.因为+%2=。即。22=-即，于是4=〃]必+%24+。214,因此,V

的一组基为A/,A2,4,从而山〃2仁3.

25.解:(1)dimSpa〃{a”%,氐血上3,

dimSpan{al,%}=2,dimSpan{^}，人}=2

故交的维数为2+2-3=l,交的一组基为(-5,2,3,4)T,和的维数

为3,{即%，/}为一组基.

(2)dimSpan\a},a2,,/72}=4,

dimSpan\ax,%,%}=3,dimSpan{px,/?2}=2

故交的维数为1,基为A；和的维数为4,{%,4,出，色}为一组基.

26.证：(1)设6作匕，且。=夕二次",=力)汽

1=1i=!f=li=l

则a+B=为伉+y,k=力a+X>.

1=1f=l

ka=£kr©=工kg(%是数)

f=l1=1

即a+4与鼠z在两组基下的坐标也是相同的，所以。+尸£匕，kawh,

故VI是子空间.

(2)因V中每个向量在两组基下的坐标相同，所以基向量

g(i=l,2,•••,〃)在6,4…,。”下的坐标为(0,•,,,0.1,0,0)它也

应为“在与,如…,％下的坐标,于是有

6=]£,=4(/=1,2,•••,//).

27.证：设

X={A=(q)以21%=a^aiieR},

匕=加=(%)2』%=-bj血eR}

容易脸证％与心都是V的子空间.对任意CeV有

。=加+。，)+"一。，)

且，(C—cDe%,工(c—cDeV^,所以丫=匕+匕.

因为。=(4,太2eV>n匕=。£匕且。£匕

=%=%且册=一储

=>%=0(/,j=1,2)

即0=0,所以匕0匕={0},则丫=乂㊉匕.

28.证：由齐次线性方程组的理论可推知力是〃-1维的，且有

基因=(-1,1,0,•••.0),a2=(-1,0,1,0,…，0),•••,an_1=

（-1,0,…，0,I）.又X]=七=…二乙，即

X]-x2=0

x=0

<2*

,^-1-^=0

此方程组系数矩阵的秩为〃-1,故解空间V2的维数为1,令无尸1,

便得丫2的一组基尸=（1,I,…，1）；又以,£为行的n

阶行列式

-110­••00

-101­••00

=（一1）”“，〃工（）

-100…01

111...11

故囚,出，…，%.1，夕为]P"的一组基，且不=匕㊉匕.

29.证:设V是〃维线性空间，不电…，〃为基,则L&）都是一维

子空间（Z=l,2,­­•,〃），且有如）+七&）+……,e“）=V.

又因马，…4是基，零向量。表示式惟一，故这个和是直和，即

L（eJ㊉爪）㊉…㊉虫）=V.

习题1.2

1.解：因为对K?的任一向量(和士)，按对应规则6都有R?中

惟一确定的向量与之对■应，所以6是良2的一个变换.

(1)关于％轴的对称变换；

(2)关于)，轴的对称变换；

(3)关于原点的对称变换；

(4)到工轴的投影变换；

(5)到)，轴的投影变换.

2.解：⑴不是.因为6(+A2a2)=上臼+42a2+夕

*k[6(。1)+226(%)=左13+Q)+k2g2+0

=%必+22%+(占+&2)P

(2)不是.因为

网(kg、k2a2)=。*k、*2^(%)+七Z(%)=(%+一)广

(3)不是.因为取x=(l,0,0),Awl时，

6(kx)=(一,0,0)H%6(x)=1(1,0,0)=(-0,0)

(4)是.因为设x=(%-)，尸(加)’2，月)

6(kiX^k2y)=ki(2xi-x29x2+x3,xl')+k2(2yl-y2,y2+y3,yl)

二卜6(X)+k2加(y)

(5)是.因为a(一工(x)+42O)=匕工(x+l)+%2加X+1)

二k、必也(x))+k?或(j2U))

(6)是.因为(x)+k2f2(x))=k,/,(x0)+k2f2(x0)

=%6G(R))+&26(人⑴)

⑺不是.因为设x=a­)，产(加力一)

6(klx+k2y)=(cos伏I』+&y),sin(匕0+%2.)，°)

羊仁3(X)+七3(y)

=k[(cosx,,sinx2,0)+k2(cosy,siny2,0)

=(占cosx(+k2cos>'),kxsinx2+Ar,siny2,0).

3.解：W(a+£)=SA,[(%,+y2,x2+y2)]=(x2+y2-x,-j,)

=(x2，f)+(y2f)=6A。)+61(8)

"、(ka)=6,(k(x),x2))=(to-kxA)=l(.r2,-x()=k64a)

所以6।是线性变换.同理可证62也是线性变换.

(川+凡)(。)二(6产凡)收,4)〕

二6』区,12)]+以[3，工2)1

x

=(X2f)+(X|-2)=(2+%，F-X2)

2(^)=6I[62(。)]=6』(占，-/)]=(-/，-»)

626l(a)=^2[^,(^)12[(x2,-%,)]=(X2,X.).

4.证：(1)因6(A+A)=C(A+M—(4+B)C

=(CA-AC)+(CB-BC)=6(A)+6(B)

6(M)=C(M)-(M)C=k(CA-AC)=〃6(A)

故6是线性变换.

(2)6(A)8+A6(8)=(C4-AC)B+A(CB-BC)

=CAB-ABC=^(AB)

5.解：令\a。叫c(a,Ac)eR3即可.

cc

6.证：设/(x)ep。，则

(孔凡.凡凡)(/励

2g))]—=2幻)]

二61[取幻]一飙,L/W]

=/M+vfW-vW=/W

故加।「a?是恒等变换.

7.证：设aeV?,则＜7=々品+欠2,2，由于

62(4)+62(62)=62(4+4)=6+4

a2®)-62(«2)=62®一4)(一4

e

所以，飙？®)/，2(^2)=2于是

风(a)或a|(/)+36|(&2)=匕4+3；

=L62(%)+h62(4)=62")

故,=^2.

8.解：(1)因为打在my平面上，其投影不变，故有

6(i)=i,网U)=j,

又左垂直My平面，则a(左)=0,得

”100、

(加⑺，6。)，爪(k))=(i,j,k)010

-000」

10(T

所求矩阵为A=()1().

-(J0R

(2)因为

{a'\=i=\a+Ofl+0/,

或(/?)=j=Oc+\fl+07,,

(/)—iIj=\ai\plOy,

ior

所以，所求矩阵为A=011.

goo-

(3)由a的定义知,6(i)=6((1,0,0))=(2,0,1)

^(j)=((0,1,0))=(-1,1,0)

a(5^((0,0,1))=(0,1,0)

“2-10、

有(*⑺，6(7),飙出)=(，・，/M)o11

」0。-

父-10、

所求矩阵为A=0\\

400，

(4)据题设：0(/«))=/")则

a,a,al

r0(％J=(ecosbt)=aecosbt-besinbt=ax}-bx2

Aa,

勿(2)=(esinbt)=ax-,+bxx

Aal

勿(3)=(tecosbt)=x)+ax3-bx4

勿(•％)=(je"sinbt)=x2+ax4+bxy

勿(xs)=(gJe'"cosbt)=x3+ax5-bx6

l勿(/)=(；»sinZ;/)=x4+axb+bx5

于是

(勿(阳)，0*2)，勿("，勿(匕)，勿：与)，0(％6))

(x1,x2,x3,x4,x5,x6)D

所求矩阵为

rab100()、

-ba0100

()0a/71()

D=

00-ba01

0000ah

0000-ba

001

9.解：(I)(g,4,，)=(，,04)010=(et,e2,e3)C

-100

由3%2%

所求矩阵为B=C-'AC=a23a22a2i

、a\3a\2a\\"

“100

(2)(q,攵G，0女0=(ep^2,ej)C

-001

413

[a2\..“23

所求矩阵为B=CAC=——a,2-T~

k-k

k%2〃33-

’100、

（3）（q+.,62，%）=（。，62，%）110=（e^e2,ey）C

、001-

所求次巨阵为B=ClAC

-4]1+。12012。13r

%1+。22一一。12。22一。12。23一。13

a3\+fl32%2〃33

10.解：由定义知（a（£]）=（2,0,1）=2邑+£3

“（。2）=（1，1，。）=c\1c2

、6（£3）=81，°）=f2

2-1o-

所以，所求矩阵为01I.

100

11.解：因为

r6（£]）=（2,1）=2£；+£；

<8（£2）=（3，1）=3*

I加（邑）=（-1，1）=一£；+名

所以，所求矩阵为

23-「

101,

J1（p

12.解：（7,%，〃3）=（£I，G，£3）1（）1

」-1L

”-iioyi

（j,/）=（7,小，小）ioi=（%,%，小）。

、i—ii一

-i0'1-1

8-C」AO11

1J

-11-2、

-12-1

-201-

13.解:（1）（小，/,小）二（6,的勺）C,

过渡矩阵为

C=（"2，e3）“（7,〃2，〃3）

（2）（6（勺）,6（0）,6（03））=（〃1力2，〃3）=（"2,63）C

故6在基匕｝下的矩阵就是C.

（3）（6（7）,飙（%）,6（%））=（小,小,小）=（，，/，4）C

二（6（修），6（0）,6（0））。二（7，%,小）C

故"在基版｝下的矩阵仍为c.

14.解:

(1)由于

'64昂)=:°=aEn+cE2i

加1(^12)=:=aEi2+cE22

J()c

*(%)=［卜昂+〃/

a()

I61(%)=¥=bE+dE

。nn

故6।在该基下的矩阵为

b0

00b

A=

cd0

00d

0

0

类似地，可得62在该基下的矩阵为4=

由于6尸616,,所以在该基下的矩阵为

a~acabbe

abadb~bd

&=A&=

acc2adcd

becdbdd2

同理，可得64在该基下的矩阵为

a02b0

0ao2b

4=

2c0a0

02co

(2)由于由简单基E〃，EK,Enf及2改变为给定基目，E2fE3,

£4的过渡矩阵为

1000

0011

001-1

0100

于是，64在给定基下的矩阵为

■a02b-2b

0a2c2c

B=C-1AC=

Acba0

-cb0a

15.解：（1）将题给关系式写成矩阵形式为

-1211Fl01

(6⑷，6伍),6亿))213=(£[,%%)110

_324j[oiI

即

-ir-r-1

Flc1121

6亿，G，q)=g,q，J”10213=(Gq，£3)"

1J[324

01

由于6(a，£3)="%,%)c,所以有

6(q,q，C3)=8(q,%,)(

二=(q,c2ycy)BC

故6在基(II)下的矩阵

--321'

A=8C=-553

6-5-2

，3)°=(£|,/,£3)41°

(2)因为6(j)=6(£],£2,i

[I3]

=k],e2,6)04()=g,%,与)5

[()」W

所以6山）在基（I）下的坐标为（3,5,9）.

16.解：(1)取〃值]的简单基1,不，xI2,3则有

-201

6((％6)=(1，/)&=，猫x2)o11

101

从简单基改变到基力，f2f力和g/,g2,g3的过渡阵分别为

101110

G=（）12C2=-101

225012

故有

6(1,x,炉)C=^f(/),/2,fjc-'c2

=(i,x,/)4°G匕=(©，处，KJCWAG'G

即6在基（II）下的矩阵

12-2

A=CTAC「G=IT2

o1-i

Igz，g3H2]

(2)因为f(x)=(Lx,2=(g],

3

所以

--2

(fM)=6(©，&2，g3)g.3)八3

0

4

=(©，82，&3)-5=-l-X+X2.

3

17.证：设6在给定基下的矩阵为4=（%）,并设C为从旧基到

新基的过渡矩阵，由于6在任一组基下的矩阵相同，则有A=C-dC,

即AC=CAf根据“A与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A必

为数量矩阵（A=H,k常数）.

18.解：由基小,外，〃3到基G，£?q的过渡矩阵为

I1_1

22

2

C=

-326

\_

0-

3

103-5

故%在基｛邑｝下的矩阵为8=C'B,C=-464.那么，6+0,

6

86-4

80，的X,必（8+%）在基匕｝下的矩阵分别为

1015-110612

A+B=-1()244AB=-22217

66

-462-1206

1329一75%-

1,5-46

--226+=1142-

6181114

14«27812036

34-•1-

19.证：设有可逆方阵P与Q,使6=尸四尸，D=Q-'CQ则

B〕_「O］「A0、P

0HP'oAPoo

C'CQJLOcjLOeJ

-O

-P01［4O］「PO

一OQ」LocjLO0

AOBO

即与相似.

-OJOD

20.证：设立〃次A=q,rankB=r2,则A,B的行向量的极大无关

组中分别含有不G个行向量，设分别为四,和河,…，Q2，则4的每

个行向量均可由四,…,知线性表示，B的每个行向量均可由4,…，瓦2线

性表示.又可A+B的每个行向量是A与8的相应行向量的和，故A+B

的每个行向量均可由即….a”，拓…,盘线性表示•因此A+3的行向量

组的极大无关组中所含向量的个数不超过八十「2，即

rank（A+B）<rankA+rankB.

21.证：iS.rankA=r,/?=（/?,,用”），则

A8=A仍，凤，…，&）=（4四，A四，…，做”）=0,

所以的=夕，"2=。，…，.这就说明B的列向量

外，…，凡都是以A为系数矩阵的齐次方程组的解.由于

rankA=r,所以解空间的维数为〃-r,从而知第…，我的极大无关

组