2023年高考全国甲卷数学(文)真题（解析版）

第1页/共20页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M=C.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以ðUM={2,3,5}，故选：A.A.-1B.1C.1-iD.1+i【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.=1-i故选：C.第2页/共20页A.B.C.D.【答案】B【解析】而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.故选：B.4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C=6件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有CC=4，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.5.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6=10,a4a8=45，则S5=()A.25B.22C.20D.15【答案】C【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{an}的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{an}的公差，再根据前n项和公式的性质即可第3页/共20页解出.【详解】方法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，故选：C.从而=1，于是a3=a4-d=5-1=4，故选：C.6.执行下边的程序框图，则输出的B=()A.21B.34C.55D.89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出.【详解】当k=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=1+2=3，B=3+2=5，当k=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8，B=8+5=13，第4页/共20页当k=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34.故选：B.,FA.1B.2C.4【答案】B【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出.从而F2.PF2故选：B.故选：B.8.曲线y=在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.第5页/共20页【详解】设曲线在点处的切线方程为，所以所以k=y,|x=1=所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离-d2故选：D 10.在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=·6，A.1B.3C.2D.3第6页/共20页【答案】A【解析】【分析】证明AB丄平面PEC，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取AB中点E，连接PE,CE，如图，:△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，:PE丄AB,CE丄AB，又PE,CE平面PEC，PE∩CE=E，:AB丄平面PEC，故选：A11.已知函数2．记a=f,b=f,c=f，则【答案】A【解析】【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.由二次函数性质知第7页/共20页(6+2)2-42=8+4·-1<1-所以综上，又y=ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选：A.12.函数y=f(x)的图象由y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得f(x)=-sin2x，再作出的部分大致图像，考虑特殊点处的大小关系，从而精确图像，由此得解. 因为y=cos向左平移个单位所得函数为y=cos=cos=-sin2x，所以f=-sin2x，而显然过与两点，作出的部分大致图像如下，第8页/共20页大小关系，故选：C.13.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6=7S3，则{an}的公比为.【答案】【解析】【分析】先分析q≠1，再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比q.【详解】若q=1，当q≠1时，因为8S6=7S3，所以，即8.1q61q3，即8.1q3，即8.故答案为：14.若f2+ax+sin为偶函数，则a=.【答案】2【解析】第9页/共20页【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.且函数为偶函数，故答案为：2【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点A时，z有最大值，由可得故答案为：15球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 .【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R.第10页/共20页当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，max分别取侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的中点M,H,G,N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG=4当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达 到最小，即R的最小值为22.综上，故答案为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知.（1）求bc；【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.【小问1详解】第11页/共20页2【小问2详解】（1）证明：平面ACC1A1丄平面BB1C1C；【答案】（1）证明见解析.【解析】丄CC1，可证四棱锥的高为A1O,由三角形全等可证A1C=AC，得O为CC1中点，设A1C=AC=x，由勾股定理可求出x，再由勾股定理即可求A1O.【小问1详解】证明：因为A1C丄平面ABC，BC平面ABC,第12页/共20页AC,AC平面ACC1A1，A1C∩AC=C,所以BC丄平面ACC1A1，又因为BC平面BCC1B1,【小问2详解】如图，因为平面ACC1A1丄平面BCC1B1，平面ACC所以四棱锥A1BB1C1C的高为A1O.丄平面ABC，AC,BC平面ABC,又因为A1B=AB，BC为公共边，所以△ABC与△A1BC全等，所以A1C=AC.又因为A1C即x2所以四棱锥A1BB1C1C的高为1.19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配第13页/共20页到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组(ⅱ)根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635（2i）m=23.4；列联表见解析ii）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2i）根据中位数的定义即可求得m=23.4，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：第14页/共20页【小问2详解】（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以=23.4，故列联表为：合计对照组620试验组620合计202040由可得，K2==6.400>3.841，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)+sinx<0，求a的取值范围.在上单调递减【解析】【分析】（1）代入a=1后，再对f(x)求导，同时利用三角函数的平方关系化简f,(x)，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数g(x)=f(x)+sinx，从而得到g(x)<0，注意到g(0)=0，从而得到g,(0)≤0，进而得到a≤0，再分类讨论a=0与a<0两种情况即可得解；第15页/共20页法二：先化简并判断得sinx-恒成立，再分类讨论a=0，a<0与a>0三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得a>0时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为a=1，所以f，cosxcosx所以cos3xt22所以在上恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】法一：若g第16页/共20页所以a的取值范围为(-∞,0].法二：所以当a=0时，f+sinx=sinx-满足题意；注意到g(0)=0，所以g(x)>g(0)=0，即所以在上最靠近x=0处必存在零点，使得g,第17页/共20页此时g,(x)在(0,x1)上有g,(x)>0，所以g(x)在(0,x1)上单调递增，则在(0,x1)上有g(x)>g(0)=0，即f(x)+sinx>0，不满足题意；【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论a>0这种情况的关键是，注意到g,(0)>0，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近x=0处的一个区间，使得g,(x)>0，从而推得存在g(x)>g(0)=0，由此得解.21.已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px交于A,B两点，.（1）求p；（2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，且=0，求△MFN面积的最小值.（2）12-8【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p；（2）设直线MN：x=my+n，M,利用=0，找到m,n的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.【小问1详解】设A(xA,yA),B(xB,yB)，由=0可得，y2-4py+2p=0，所以yA+yB=4p,yAyB=2p，即2p2-p-6=0，因为p>0，解得：p=2.【小问2详解】因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n，M(x1,y1),N(x2,y2)，由n可得，y2-4my-4n=0，所以，y1+y2=4m,y1y2=-4n，Δ=16m2+16n>0→m2+n因为=0，所以+y1y2=0，第18页/共20页(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0，亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0，将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得，4m2=n2-6n+1，4(m2+n)=(n-1)2>0，设点F到直线MN的距离为d，所以d=【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m,n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域