《反对称矩阵在代数特征值反问题上的应用》2600字

反对称矩阵在代数特征值反问题上的应用综述在讨论问题之前先引进一些记号，同文,记为全体的阶实矩阵;为全体的阶正交矩阵;为的广义逆;为全体的对称正交矩阵;为阶的单位矩阵;为全体的阶实对称矩阵;为全体的阶实反对称矩阵,表示矩阵的Frobenius范数.由文给出如下4个定义:定义2.1如果，且，那么就是的对称正交反对称矩阵.记为阶对称正交反对称矩阵全体.定义2.2如果，且，那么就是的反对称正交对称矩阵.记为阶反对称正交对称矩阵全体.定义2.3如果，且，那么就是的对称正交对称矩阵.记为阶对称正交对称矩阵全体.定义2.4如果，且，那么就是的反对称正交反对称矩阵.记为阶反对称正交反对称矩阵全体.引理2.1矩阵方程可解的充要条件为且它的通解形式为为任意的矩阵.引理2.2对于给定的矩阵,,如果矩阵有一个奇异值分解,其中，，.不妨设,,那么存在矩阵,可以使得矩阵方程可解的充要条件为和.当矩阵和均满足方程可解的条件时，解的一般表达式为,其中.由此我们可以给出以下最佳逼近问题的解：设所求集合,对于给定的,求,使之满足.在满足凹凸集的条件的情况下，根据最佳逼近定理,是存在唯一的解,可以使得.此时,由可以知道,解的一般表达式是.引理2.3对于给定的矩阵,，如果矩阵有奇异值分解,，，.不妨设,,则存在矩阵，可以令矩阵方程有解的充要条件为且,当所给矩阵和均满足有解的条件下，解的一般表达式是,.由此我们可以给出以下最佳逼近问题的解：设所求集合,对于给定的,求,使之满足.在满足凹凸集的条件的情况下,根据最佳逼近定理,是存在唯一的解,可以使得.此时,由可以知道,解的一般表达式为.对下面矩阵特征特征值反问题以及其解的最佳逼近进行探究:首先,对于矩阵,根据相关性质我们给出的一个特征分解（谱分解）:,其中,记.所以,再设,,从而,,故,.后面如果没有特殊说明,矩阵所代表的意义不变.讨论以下几个谱约束问题:问题1.1已知,求,使得.问题1.2设为问题1.1所求的解的集合,,给定矩阵,求,使得.问题1.3已知,求,使得.问题2.1已知,求,使得.问题2.2设为问题2.1所求的解的集合,给定矩阵,求,使得.问题2.3已知,求,使得.定理2.1.1的充要条件是证明根据定义知所以充分必要条件都可得证.定理2.1.2的充要条件是存在矩阵,使得.证明必要性:由,那么所以.充分性：因为，由定理2.1.1得所以..所以有.再令,显然有,所以均为对称矩阵（），那么,定理得证.对于问题1.1中的矩阵和,设,作矩阵与的奇异值分解,分别为和，,，，，，，，，其中和分别为矩阵与奇异值后所对应的非零奇异值个数,和均为相适应的对称矩阵.定理2.1.3给定矩阵，问题1.1有解的充要条件是和，和,满足有解的情况下,它的一般表达式为.证明：由定理2.1.2知，是问题1.1的通解形式，那么设,则有.那么,此时作矩阵与的奇异值分解,分别为和，，，，，，，，，其中和分别为矩阵与奇异值后所对应的非零奇异值个数,和均为相适应的对称矩阵.根据引理2.2知,那么解存在的充分必要条件为和，和，其中，，和均为相适应的对称矩阵.所以问题1.1的解的一般表达式为.定理得证.问题1.2的解根据定理2.1.2知问题1.1的通解为,,均为相适应的对称矩阵.对于问题1.2中给定的矩阵,不妨设,又因为Frobenius范数的正交不变性，那么有.所以由上式我们可以推出:.因此必须满足和的条件.根据定理2.1.3,我们知道的在满足问题2.1的解时所对应的表达形式为.对应的解的表达形式为:.因此,有从而,当时,满足要求,又因为为对称实矩阵,不妨构造矩阵,显然,容易验证为对称实矩阵，且为满足条件的解,所以得出的逼近解:,进而的逼近解.同理得从而,当时,满足要求,又因为为对称实矩阵,不妨构造矩阵.显然,容易验证为对称实矩阵,且为满足条件的解,所以得出的逼近解:,进而的逼近解.所以问题1.2存在唯一的逼近解,其表达形式为.问题1.3的解：根据定理2.1.2，是问题1.3的通解形式，则把代入，可以得到此时，我们可以设，那么有另外设,则,那么.即.此时设与的奇异值分解分别为和，，，，，，，，，其中和分别为矩阵与奇异值后所对应的非零奇异值个数,和均为相适应的对称矩阵.再根据引理2.2,那么问题1.3的解存在的充分必要条件为且，且，其中，，所以问题1.3的解的一般表达式是.问题2.1的解定理2.2.1的充要条件是证明根据定义知所以充分必要条件都可得证.定理2.2.2的充要条件是存在矩阵,使得.证明必要性由,那么所以.充分性：因为，由定理2.2.1得所以..所以有.再令,显然有,所以均为反对称矩阵（），那么,定理得证.对于问题2.1中的和,记,与的奇异值分解分别为和，,，，，，，，，和均为相适应的反对称矩阵.定理2.2.3对于给定的，问题2.1有解的充要条件是且，且,它的一般表达式为.证明：由定理2.2.2知，是问题2.1的通解形式，那么又,则有.此时设与的奇异值分解分别为和，，，，，，，，，和均为相适应的反对称矩阵,由引理2.3可知,解存在的充分必要条件为且，且，其中，，和均为相适应的反对称矩阵,所以问题2.1的解的一般表达式为.定理得证.问题2.2的解根据定理2.2.2知问题2.1的通解为,矩阵和均为相适应的反对称矩阵.对于问题2.2中给定的矩阵,不妨设,又因为Frobenius范数的正交不变性,那么有.所以由上式我们可以推出:.因此必须满足和的条件.根据定理2.1.3,我们知道的在满足问题2.1的解时所对应的表达形式为.对应的解的表达形式为:.因此,有从而,当时,满足要求,又因为为反对称实矩阵,不妨构造矩阵,显然,容易验证为反对称实矩阵，且为满足条件的解,所以得出的逼近解:,进而的逼近解.同理得从而,当时,满足要求,又因为为反对称实矩阵,不妨构造矩阵.显然,容易验证为反对称实矩阵,且为满足条件的解,所以得出的逼近解:,进而的逼近解.所以问题2.2存在唯一的逼近解,其表达形式为.问题2.3的解：根据定理2.2.2，是问题2.3的通解形式，则把通解代入，可以得到此时，我们可以设，那么有另外设,则那么有.即.此时设与的奇异值分解分别为和，，，，，，，，,和均为相适应的反对称矩阵.再根据引理2.3知，那么问题2.3的解存在的充分必要条件为且，且，其中，，,.所以解的一般表达式是.小结以上给出了两类解在矩阵方程反问题有解的充要条件（利用广义逆）以及解的表达式构造,在确定解集合的情况下求谱