数列-2025届高三二轮复习解答题高频考点过关含答案

2025届高三二轮复习解答题高频考点过关第2讲数列高频考点分析高频考点分析

真题速递真题速递1．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．2．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.

3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．

5．（2024·全国I卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．

6．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.

7．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．(1)求的通项公式及；(2)设数列满足，其中．（ⅰ）求证：当时，求证：；（ⅱ）求．

8．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．

实战演练一：等差数列的概念与性质实战演练一：等差数列的概念与性质【知识点解析】1.等差数列的定义：；；.2.等差数列的通项：.3.等差数列前项和.4.等差数列通项公式的性质（1）若，则.（2）若，则.（3）若、、为等差数列，则，为、的等差中项.（4）若为等差数列，则、、…依旧是等差数列.（5）当时，数列单调递增；当时，数列单调递减.5.等差数列前项和的性质（1）且；（2）且为等差数列；（3）等差数列的前项和是一个二次函数，当时，有最小值,当时，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，则当且仅当取最接近对称轴的正整数时，有最值；=2\*GB3②若未知和，则需找出的正负交界值；（4）、、依旧是一个等差数列.6.含有绝对值的求和方法：（1）找到的临界值；（2）若，；若，.【实战演练】1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为．(1)求出的通项公式；(2)求数列前项和最小时的取值．2．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知在等差数列中，，.(1)求数列通项公式；(2)设，求数列的前项和.

3．（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.

实战演练二：等比数列的概念与性质实战演练二：等比数列的概念与性质【知识点解析】1.等比数列的证明：(1)(2)(3).2.等比数列的通项公式：.3.等比数列的前项和公式：.4.等比数列通项公式的性质=1\*GB3①若，则.=2\*GB3②若，则.=3\*GB3③若、、为等比数列，则，为、的等比中项.=4\*GB3④若为等比数列，则、、…依旧是等比数列.=5\*GB3⑤当且时，数列单调递增；当且时，数列单调递减.5.等比数列前项和的性质=1\*GB3①、、依旧是一个等比数列【实战演练】1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.

2．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知等比数列的各项都是正数，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前50项之和.4．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列是由正数组成的等比数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．

实战演练三：数列通项公式的求解实战演练三：数列通项公式的求解【知识点解析】1.定义法：已知为等差数列或等比数列（1）等差数列的通项公式：.（2）等差数列的前项和公式：.（3）等比数列的通项公式：.（4）等比数列的前项和公式：.2.法（1）因为=1\*GB3①，=2\*GB3②所以（）.（2）注意事项=1\*GB3①.=2\*GB3②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式.=3\*GB3③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简.=4\*GB3④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索.=5\*GB3⑤代表数列的前项和.3.累加法：已知或（1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得.（2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得.（3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列.4.累乘法：已知或（1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得.（2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得.（3）如论是或，均需注意最后求和的项数.5.构造法（1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得.（2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和.（3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得.（4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列.（5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明.6.倒数法：已知(1)取倒数得(2)若，则数列是以为首项，为公差的等差数列.(3)若，则进行二次构造等比数列.【实战演练】考向一法求数列通项公式1．（24-25高二上·福建·期中·节选）已知数列的前项和，其中.(1)求数列的通项公式；2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·节选）已知数列的前项和为．(1)求出的通项公式；3．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习·节选）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；

4．（2024·四川自贡·三模·节选）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；5．（2024·江苏扬州·模拟预测·节选）已知各项均为正数的数列前项和为，且．(1)求数列的通项公式；6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测·节选）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有(1)求数列的通项公式；

考向二累加法求数列通项公式1．（2024·广东·二模·节选）数列满足，．(1)求数列的通项公式；2．（23-24高三上·广西百色·阶段练习·节选）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式；

3．（23-24高三上·山东青岛·开学考试·节选）已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列.(1)求的通项公式：4．（22-23高三下·河南濮阳·开学考试·节选）在数列中，，．(1)设，求数列的通项公式；

考向三累乘法求数列通项公式1．（24-25高三上·山东日照·开学考试·节选）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；2．（24-25高三上·山东德州·期中·节选）在数列中，，其前n项和为，且（且）.(1)求的通项公式；

3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中·节选）已知在数列中，，前项和.(1)求、；(2)求数列的通项公式；4．（23-24高三上·广东·阶段练习·节选）已知数列，的前项和分别为，，且满足，，．(1)求数列的通项公式；

考向四构造法求数列通项公式1．（24-25高三上·甘肃白银·期末·节选）已知数列满足，且.2．（24-25高三上·重庆·阶段练习·节选）数列的前项和为，满足且首项.(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

3．（24-25高三上·重庆·阶段练习·节选）已知数列的前项和为，且.(1)若，求；(2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围.4．（24-25高三上·河北·期中·节选）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；

5．（24-25高三上·河北·阶段练习·节选）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；6．（24-25高三上·四川泸州·开学考试·节选）已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；

7．（23-24高三下·河北张家口·开学考试·节选）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；8．（24-25高三上·宁夏中卫·阶段练习·节选）已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．

考向五倒数法求数列通项公式1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）已知数列的首项，且满足，求．2．（23-24高二下·辽宁·期末·节选）已知数列满兄，，数列的前项和为，且．(1)求数列，的通项公式，

实战演练四：数列前实战演练四：数列前项和的求解【知识点解析】1.定义法：已知为等差数列或等比数列（1）等差数列的通项公式：.（2）等差数列的前项和公式：.（3）等比数列的通项公式：.（4）等比数列的前项和公式：.2.裂项相消法（1）裂项相消法：基本思想是将一个复杂的分数拆分成两个简单分数的差，从而简化求和过程.（2）裂项相消法的常见模型=1\*GB3①等差型：=2\*GB3②无理型：=3\*GB3③指数型：=4\*GB3④常见裂项：，.，.，.

3.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为.（1）=1\*GB3①（2）=2\*GB3②（3）=1\*GB3①-=2\*GB3②得（4）求和得（5）化简得最终答案.（6）,则，其中，.（不建议直接用）4.倒序相加法（1）.（2）.（3）上述两式相加，得（4）若数列在满足的情况下，则.（5）所以5.分组求和法：（1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为.（2）分别求与.（3）.

【实战演练】考向一裂项相消法求数列前项和1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求证：．2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列满足．(1)求的通项公式．(2)记，数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

3．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足.(1)求数列、的通项公式；(2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围.4．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和，求证：.

考向二错位相减法求数列前项和1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和；(3)若数列满足：，求．2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知正项数列前项积为，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.

3．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设为数列的前项和，已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.

考向三倒序相加法求数列前项和1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求和：．2．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求.

3．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.考向四分组（并项）求数列前项和1．（2025·江西·一模）已知数列满足.(1)若为递增数列，求的取值范围；(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.

2．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和为.3．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.4．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）已知正项等差数列满足：且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和.

实战演练五：奇偶数列问题实战演练五：奇偶数列问题【知识点解析】1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.思路一：分类讨论(1)(2)若为偶数，则(3)若为奇数，则思路二：并项求和(1)记(2)(3)若为偶数，则(4)若为奇数，则2.常见奇偶数列模型(1)若，则，相减得.当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列.当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列.(2)若，则，相除得.当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列.当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列.(3)若，则直接按奇偶分开讨论.

【实战演练】1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.2．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)设求数列的前20项和.

3．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前n项和为，若，(1)求(2)若，为数列的前n项和，求4．（24-25高三上·河南·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)设求数列的前项和.

实战演练六：数列插项问题实战演练六：数列插项问题【知识点解析】1.插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.2.常见插项问题（1）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，则，整理的.（2）在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，记这个等比数列的公比为，则，整理的.（3）在和之间插入个，组成新数列求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和.【实战演练】1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）已知数列，数列的前n项和为，且.(1)令，求数列的前n项和.(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求．4．（22-23高三上·河北唐山·期中）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个，构成新数列，求数列的前24项和.

实战演练七：数列最值问题实战演练七：数列最值问题【知识点解析】1.求最值的常见方法（1）二次函数法.（2）基本不等式法.（3）三角函数法.（4）函数单调性法.2.求数列单调性的方法：（1）作差法（与“0”比较大小）（2）作商法（与“1”比较大小）※虽然数列可近似视为函数（定义域为正整数），但是一般不会用导数讨论单调性，因为求导太复杂.【实战演练】1．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等差数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，求使取得最大值时的值．

2．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值．3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项为，且满足(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求．(3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值．4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，若是递增数列，求实数的范围.

实战演练八：数列新定义问题实战演练八：数列新定义问题【知识点解析】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.【实战演练】1．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知数列为个数的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质T．(1)当时，写出4个具有性质T的数列A；(2)若数列和均为等差数列，且，证明：对于所有的偶数项数列不具有性质T；(3)在所有由的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为，证明：对于任意．

2．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知正项数列满足：对任意的正整数n，都有，其中d为非零常数．(1)若，求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若且，从，，，…，（且）中任取两个数，记这两个数是无理数，且这两个无理数中间仅包含一个整数的概率为，若，求正整数的最小值．公式：（其中n为正整数）．

3．（24-25高三上·河北邢台·期末）若数列的首项，对任意的，都有（为常数，且），则称为有界变差数列，其中为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前项和为．(1)当时，证明：．(2)当中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求的最大值；(3)当中各项都取最大值时，，数列的前项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．

4．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．(1)若等比数列为“A数列”，求的公比q；(2)若数列为“A数列”，且，．①求证：；②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值．第2讲数列高频考点分析高频考点分析

真题速递真题速递1．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.（2）由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和.3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.5．（2024·全国I卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形，得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共组；②，共组.（如果，则忽略②）故数列是可分数列.（3）定义集合，.下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，则数列一定是可分数列：命题1：或；命题2：.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果，且.此时设，，.则由可知，即，故.此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共组；②，共组；③，共组.（如果某一部分的组数为，则忽略之）故此时数列是可分数列.第二种情况：如果，且.此时设，，.则由可知，即，故.由于，故，从而，这就意味着.此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共组；②，，共组；③全体，其中，共组；④，共组.（如果某一部分的组数为，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数：，，，.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列.至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列.然后我们来考虑这样的的个数.首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个；而如果，假设，则可设，，代入得.但这导致，矛盾，所以.设，，，则，即.所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个.所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个.这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于.而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个.所以数列是可分数列的概率一定满足.这就证明了结论.6．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，.（2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.这就得到，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.方法二：因为，，，则，由于，作差得，，利用合比性质知，因此是公比为的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）证明：.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.所以对任意的正整数，都有.而又有，，故利用前面已经证明的结论即得.这就表明的取值是与无关的定值，所以.方法二：由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.所以对任意的正整数，都有.这就得到，以及.两式相减，即得.移项得到.故.而，.所以和平行，这就得到，即.方法三：由于，作差得，变形得①，同理可得，由（2）知是公比为的等比数列，令则②，同时是公比为的等比数列，则③，将②③代入①，即，从而，即.7．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．(1)求的通项公式及；(2)设数列满足，其中．（ⅰ）求证：当时，求证：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①证明见详解；②【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，即，可得，整理得，解得或（舍去），所以.（2）（i）由（1）可知，且，当时，则，即可知，，可得，当且仅当时，等号成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，则；若，则，当时，，可知为等差数列，可得，所以，且，符合上式，综上所述：.8．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．【答案】(1)(2)不存在符合条件的，理由见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为数列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为，则，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的；解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，假设存在符合条件的，且，因为，即序列共有8项，由题意可知：，检验可知：当时，上式不成立，即假设不成立，所以不存在符合条件的.（3）解法一：我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得的各项都相等.则，所以.根据的定义，显然有，这里，.所以不断使用该式就得到，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，而，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.上面已经说明，这里，.从而由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.下面证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.解法二：由题意可知：中序列的顺序不影响的结果，且相对于序列也是无序的，（ⅰ）若，不妨设，则，①当，则，分别执行个序列、个序列，可得，为常数列，符合题意；②当中有且仅有三个数相等，不妨设，则，即，分别执行个序列、个序列可得，即，因为为偶数，即为偶数，可知的奇偶性相同，则，分别执行个序列，，，，可得，为常数列，符合题意；③若，则，即，分别执行个、个，可得，因为，可得，即转为①，可知符合题意；④当中有且仅有两个数相等，不妨设，则，即，分别执行个、个，可得，且，可得，因为为偶数，可知的奇偶性相同，则为偶数，且，即转为②，可知符合题意；⑤若，则，即，分别执行个、个，可得，且，可得，因为为偶数，则为偶数，且，即转为④，可知符合题意；综上所述：若，则存在序列，使得为常数列；（ⅱ）若存在序列，使得为常数列，因为对任意，均有成立，若为常数列，则，所以；综上所述：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”.

实战演练一：等差数列的概念与性质实战演练一：等差数列的概念与性质【知识点解析】1.等差数列的定义：；；.2.等差数列的通项：.3.等差数列前项和.4.等差数列通项公式的性质（1）若，则.（2）若，则.（3）若、、为等差数列，则，为、的等差中项.（4）若为等差数列，则、、…依旧是等差数列.（5）当时，数列单调递增；当时，数列单调递减.5.等差数列前项和的性质（1）且；（2）且为等差数列；（3）等差数列的前项和是一个二次函数，当时，有最小值,当时，有最大值；其中：=1\*GB3①若已知和，则当且仅当取最接近对称轴的正整数时，有最值；=2\*GB3②若未知和，则需找出的正负交界值；（4）、、依旧是一个等差数列.6.含有绝对值的求和方法：（1）找到的临界值；（2）若，；若，.【实战演练】1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为．(1)求出的通项公式；(2)求数列前项和最小时的取值．【答案】(1)(2)或【详解】（1）当时，，当时，,满足上式，所以.（2）因为，所以，因,则数列是以为首项，2为公差的等差数列，令，解得，所以当时，，当时，，所以当或时，数列前项和有最小值，最小值为.2．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知在等差数列中，，.(1)求数列通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公差为，由题意得，解得.所以，，即数列的通项公式为.（2）由（1）得，所以，所以，.3．（23-24高三上·贵州·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)8872【详解】（1）由则设的公差为则则所以数列的通项公式为.（2）由题可知，.4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）数列是以1为公差的等差数列，且，，，当时，；经检验，当时，满足上式.（2）由，则，而，所以，即的最小值为.

实战演练二：等比数列的概念与性质实战演练二：等比数列的概念与性质【知识点解析】1.等比数列的证明：(1)(2)(3).2.等比数列的通项公式：.3.等比数列的前项和公式：.4.等比数列通项公式的性质=1\*GB3①若，则.=2\*GB3②若，则.=3\*GB3③若、、为等比数列，则，为、的等比中项.=4\*GB3④若为等比数列，则、、…依旧是等比数列.=5\*GB3⑤当且时，数列单调递增；当且时，数列单调递减.5.等比数列前项和的性质=1\*GB3①、、依旧是一个等比数列【实战演练】1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【详解】（1）易知故求数列的通项公式分别为.（2）由（1）知：设数列的前项和为，数列的前项和为，则则数列的前n项和.2．（2025·海南·模拟预测）设数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，得.当时，，所以.所以是以4为首项，4为公比的等比数列，故.（2）由已知得，所以.3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知等比数列的各项都是正数，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前50项之和.【答案】(1)(2)1275【详解】（1）依题意，设公比为，由题意得，，解得或（舍去），，所以，（2）因为，所以，所以，所以数列是首项，公差等差数列.所以数列的前50项和为.4．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列是由正数组成的等比数列，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，∵是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以（2），所以

实战演练三：数列通项公式的求解实战演练三：数列通项公式的求解【知识点解析】1.定义法：已知为等差数列或等比数列（1）等差数列的通项公式：.（2）等差数列的前项和公式：.（3）等比数列的通项公式：.（4）等比数列的前项和公式：.2.法（1）因为=1\*GB3①，=2\*GB3②所以（）.（2）注意事项=1\*GB3①.=2\*GB3②因为当时，才有意义，所以需检验通项公式当时是否成立.若不成立，需写成分段数列的形式.=3\*GB3③不一定每次都能得到的具体表达式，有可能需要进一步化简.=4\*GB3④若题目求或出现二项式，需要将题目所给条件中的反向化为，对进行探索.=5\*GB3⑤代表数列的前项和.3.累加法：已知或（1）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得.（2）若已知，赋值从到，得到个式子，累加得.（3）可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列.4.累乘法：已知或（1）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得.（2）若已知，则赋值从到，得到个式子，累加得.（3）如论是或，均需注意最后求和的项数.5.构造法（1）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得.（2）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得和.（3）若已知，则构造数列为公比为的等比数列，则，解方程得.（4）若已知，则构造数列为公差为的等比数列.（5）若题干已给出构造目标，则根据定义法代入构造目标进行证明.6.倒数法：已知(1)取倒数得(2)若，则数列是以为首项，为公差的等差数列.(3)若，则进行二次构造等比数列.【实战演练】考向一法求数列通项公式1．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，则，当时，，满足上式，所以.2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为．(1)求出的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）当时，，当时，,满足上式，所以.3．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）数列是以1为公差的等差数列，且，，，当时，；经检验，当时，满足上式.4．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列为等差数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）数列满足①，当时，有②，①②可得：，即，变形可得，故数列是以为等差的等差数列；5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为①，所以②，③，由③得：，所以，②-①得：，整理得：，又因为各项均为正数，所以，所以是公差的等差数列，．6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；(2)【详解】（1）由，，两式相减得，即，因为，所以，即，故是首项为，公差为的等差数列，所以；考向二累加法求数列通项公式1．（2024·广东·二模）数列满足，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，所以，又因此是以为首项，1为公差的等差数列，设的前n项和为，则，又由，得，，当时，经检验也满足，∴．2．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）根据题意可得；当时，，又符合上式，所以；3．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列.(1)求的通项公式：【答案】(1)【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列，因为，，所以所以所以，，，……，所以所以所以因为适合上式，所以4．（22-23高三下·河南濮阳·开学考试）在数列中，，．(1)设，求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：因为，，且，所以，当时，当时，又时也符合上式，所以.考向三累乘法求数列通项公式1．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由题意知：当时，，；当时，满足；综上所述：.2．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.(1)求的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，代入，整理得，所以，以上个式子相乘得，.当时，，符合上式，所以.3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在数列中，，前项和.(1)求、；(2)求数列的通项公式；【答案】(1)，(2)【详解】（1）由及得，由及、得；（2）当时，，整理得，∴，验证，当时符合，∴当时，；4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知数列，的前项和分别为，，且满足，，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由已知，所以，当时，，两个等式相减得，整理可得，即，，，，，，等式左右分别相乘可得，因为，所以，考向四构造法求数列通项公式1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，则，且，则，可知数列是首项和公比均为2的等比数列，可得，所以.2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）数列的前项和为，满足且首项.(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；【答案】(1)证明见解析，【详解】（1）由已知可得时，，两式相减得，即，∴，当时，，∴，∵，∴，∴，故有，∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，故.3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且.(1)若，求；(2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，可得，若，则，可知是以首项为2，公比为3的等比数列，则，所以.（2）因为，当时，则；当时，则，两式相减可得，则，若数列是单调递增数列，则，解得，且，解得，综上所述：首项的取值范围为.4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）∵，∴当时，，两式相减得，，整理得，即，令得，，，，∴是以为首项，公比的等比数列.5．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；【详解】（1）数列中，由，得，而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，所以数列的通项公式是.6．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；【答案】(1)证明见详解；【详解】（1）由题设易知，因为，所以，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.7．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；【详解】（1）由已知，所以，又，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，即.8．（24-25高三上·宁夏中卫·阶段练习）已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以考向五倒数法求数列通项公式1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知数列的首项，且满足，求．【答案】【详解】由，，得，，所以，又故数列是首项、公比均为的等比数列，则，故．2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且．(1)求数列，的通项公式，【答案】(1)，【详解】（1），，数列是以为首项，为公差的等差数列，，；，当时，，即，当时，，所以，即，当时，，；

实战演练四：数列前实战演练四：数列前项和的求解【知识点解析】1.定义法：已知为等差数列或等比数列（1）等差数列的通项公式：.（2）等差数列的前项和公式：.（3）等比数列的通项公式：.（4）等比数列的前项和公式：.2.裂项相消法（1）裂项相消法：基本思想是将一个复杂的分数拆分成两个简单分数的差，从而简化求和过程.（2）裂项相消法的常见模型=1\*GB3①等差型：=2\*GB3②无理型：=3\*GB3③指数型：=4\*GB3④常见裂项：，.，.，.

3.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为.（1）=1\*GB3①（2）=2\*GB3②（3）=1\*GB3①-=2\*GB3②得（4）求和得（5）化简得最终答案.（6）,则，其中，.（不建议直接用）4.倒序相加法（1）.（2）.（3）上述两式相加，得（4）若数列在满足的情况下，则.（5）所以5.分组求和法：（1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为.（2）分别求与.（3）.

【实战演练】考向一裂项相消法求数列前项和1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由①，当时，解得，当时，②，①-②，得，数列是以首项为，公比为2的等比数列，．经验证符合上式，所以．（2）由（1）知，．则，故，所以，故．2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知数列满足．(1)求的通项公式．(2)记，数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）在①中，令得，，解得，当时，②，①②得，，故，当时，，满足要求，综上，的通项公式为.（2）由，则，则，假设存在实数，使得数列为等差数列，故当时，，只有当，即时，为常数，其他值均不合要求，故当时，是等差数列．3．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足.(1)求数列、的通项公式；(2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，，当时，满足上式，所以，，.因为，当时，，两式作差得，即，所以，，所以，当时，，，，，，上述等式全部相乘得，所以，，也满足，所以，对任意的，.（2）因为.所以，.由已知，即，解得，因此，实数的取值范围是.4．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，，当时，则有，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以.（2）由（1）可得，则，则，所以，所以.考向二错位相减法求数列前项和1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和；(3)若数列满足：，求．【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）设公差为，公比为，，，，解得或，，，故数列的通项公式为，，，，，解得，，故数列的通项公式为；（2）根据题意，，则，①，②①－②：，所以；（3）根据题意，，则．2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知正项数列前项积为，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2).【详解】（1），当时，，当时，，时适合上式，所以；（2），，，令①，②，①－②得，所以，所以.3．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设为数列的前项和，已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)，【详解】（1）因为，当时，，即，当时，，所以，化简得，又，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以.（2）因为，所以，，两式相减得，，所以，故，．4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)=【详解】（1）当时，.当时，由，得，则.因为，所以.（2）（方法一）由（1）可得.则，①则，②①，得，从而.（方法二）由（1）可得，令，则令，且，则，整理得，则，解得，故..考向三倒序相加法求数列前项和1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)求和：．【答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）由，有，又，故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，故，两式相减得，即，所以，因此的通项公式为．（2）设，则由（1）知，又，两式相加得：，因为，，，所以.2．（23-24高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，；当时，①，②，①－②得：，∴，当时，，∴.（2）∵，∴∴①，②，又∵∴①＋②得：∴.3．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前2024项和.【答案】(1)(2)1012【详解】（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，即，当时，，因为满足上式，所以；（2）因为，所以，因为，所以，所以①，又②，①+②，得，所以.考向四分组（并项）求数列前项和1．（2025·江西·一模）已知数列满足.(1)若为递增数列，求的取值范围；(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.【答案】(1)；(2)证明见解析，.【详解】（1）由题设，即，恒成立，而在上单调递减，则，所以；（2）由题设，则，又，所以是首项为，公比为2的等比数列，故，所以，则，所以.2．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和为.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，,当时，，又符合上式，所以；（2）由（1）知，所以.3．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，且，因为，，成等差数列，则，即，可得，解得或（舍去），所以的通项公式为.（2）由（1）可知：，则，所以.4．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）已知正项等差数列满足：且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和.【答案】(1)或(2)或【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列，得，则，又，即，解得或，当时，当时，所以数列的通项公式为或.（2）由题意得，当时，，则，所以数列的前项和；当时，，则，且，故是以2为首项，4为公比的等比数列，则，.故数列的前项和或.

实战演练五：奇偶数列问题实战演练五：奇偶数列问题【知识点解析】1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.思路一：分类讨论(1)(2)若为偶数，则(3)若为奇数，则思路二：并项求和(1)记(2)(3)若为偶数，则(4)若为奇数，则2.常见奇偶数列模型(1)若，则，相减得.当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列.当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列.(2)若，则，相除得.当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列.当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列.(3)若，则直接按奇偶分开讨论.

【实战演练】1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前100项和.【答案】(1)(2)200【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，得，解得，则所以的通项公式为.（2）由（1）得，所以.2．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)设求数列的前20项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为，①所以有.②②-①得.所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列.所以.又数列是等差数列，且.所以.所以.（2）因为设数列的前项和为，所以.故.3．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前n项和为，若，(1)求(2)若，为数列的前n项和，求【答案】(1)；(2)【详解】（1），当时，，当时，，，，，又，是以为首项，2为公比的等比数列，，，又时也满足上式，；（2），，，4．（24-25高三上·河南·期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)设求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.因为，所以，即，由，解得.由，所以是首项为1，公比为3的等比数列.所以.（2）当为奇数时，；当为偶数时，，所以.

实战演练六：数列插项问题实战演练六：数列插项问题【知识点解析】1.插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.2.常见插项问题（1）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，则，整理的.（2）在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，记这个等比数列的公比为，则，整理的.（3）在和之间插入个，组成新数列求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和.【实战演练】1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）已知数列，数列的前n项和为，且.(1)令，求数列的前n项和.(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）因为故数列为等差数列，公差为2，又，所以.所以数列的通项公式.因为①②①-②可得，当n=1时，，故是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式.因为所以化简得：.（2）由（1）知，.所以.所以.设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.则，所以，即.又因为m，k，p成等差数列，所以，所以，化简得，所以，又，所以与已知矛盾.所以在数列中不存在3项，，成等比数列.2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，所以，当时，，即，所以，当时，符合，所以；（2）依题意，，，，︙．所以，即，①则，②由①②可得，，所以．3．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，解得．因为，所以当时，，两式相减得，即．因为满足上式，所以．（2）由题意可得，，．4．（22-23高三上·河北唐山·期中）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个，构成新数列，求数列的前24项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，且是与的等比中项，所以，解得或（舍去），所以，，所以；（2）解：由题意可知，新数列为，，，，，，，，，，…按照此规律，假设第24项在与之间，则，解得当时，.

实战演练七：数列最值问题实战演练七：数列最值问题【知识点解析】1.求最值的常见方法（1）二次函数法.（2）基本不等式法.（3）三角函数法.（4）函数单调性法.2.求数列单调性的方法：（1）作差法（与“0”比较大小）（2）作商法（与“1”比较大小）※虽然数列可近似视为函数（定义域为正整数），但是一般不会用导数讨论单调性，因为求导太复杂.【实战演练】1．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等差数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，求使取得最大值时的值．【答案】(1)；(2)3.【详解】（1）解：因为为等差数列，且，，所以当时，则有，两式相减，得（为等差数列的公差），解得；当时，则有，即，，解得，所以；（2）由（1）知，所以，所以，当取得最大值时，则有，即，整理得，解得，所以又因为，解得，所以最大，且.所以当取得最大值时，.2．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值．【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，①，则②，①②可得，也满足上式，所以，③．因为数列的前项之积为，则当时，，代入③可得，所以，，则.（2），所以，，则，即，即单调递减，故的最大值为．3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项为，且满足(1)求证为等差数列，并求出数列的