广西河池市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷【含答案解析】

2024-2025学年广西河池市高二上学期期末教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.故选：C.2.已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（）A.33 B.34 C.35 D.36【答案】B【解析】【分析】根据斐波那契数列的递推公式即可得解.【详解】解：显然是斐波那契数列，所以，则，故选：B.3.已知向量，，若与共线，则实数x的值为（）A.6 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据向量共线定理即可求得.【详解】解：由题设，有，，则，可得故选：.4.已知数列满足，，则（）A.31 B.45 C.57 D.63【答案】C【解析】【分析】利用数列的递推公式，分别求得前五项，可得答案.【详解】因为，且，所以，，，，.故选：C.5.在等差数列中，，等比数列满足，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，再由等比数列的性质有即可求解.【详解】由等差数列下标和性质知，，则由等比数列下标和性质可知，故选：A.6.直线与直线垂直，则a的值为（）A.3 B.2 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根据垂直直线的计算公式，可得答案.【详解】由于两条直线垂直，所以，解得故选：D.7.若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案.【详解】由于空间向量，，则向量在向量上的投影向量为.故选：B8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率.【详解】由题意知延长

则必过点

，，设，则，，由双曲线的定义可得，，由可得，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得解得：，则，故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线与圆相交于两点，则（）A.圆心的坐标为 B.圆的半径为C.圆心到直线的距离为 D.【答案】BC【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，即可直接得到圆心和半径，判断选项AB，利用点到直线的距离公式和弦长公式即可直接判断选项CD.【详解】对于AB，圆：的圆心为，半径，故A错误，B正确；对于C，点到直线：的距离，C正确；对于D，，D错误.故选：BC10.数列满足，，则下列说法正确的是（）A.数列递减数列 B.数列是等差数列C.数列是等比数列 D.【答案】AC【解析】【分析】将式子两边同时取倒数，得到，再构造数列为等比数列，即可判断正确，再根据等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式，即可判断正确，错误.【详解】，根据递推公式可得，，数列是首项为2，公比为2等比数列，故正确；，即，随着增大减小，故正确，，故数列不是等差数列，即错误；，故错误故选：.11.抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点其中在轴上方，且，若将三角形沿折起来，使其与三角形垂直，则（）A.B.直线的方程为C.翻折后，异面直线所成角的余弦值为D.翻折后，三棱锥的体积为【答案】ACD【解析】【分析】根据准线方程即可求解即可判断A，根据焦半径公式可得，即可根据点斜式求解直线方程求解B，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解C，利用体积公式求解D.【详解】准线方程为，所以，即，且抛物线C的方程为，选项A正确;设，，，所以，易求，直线过、，故直线的方程，即，选项B错误;联立与求得翻折后，如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，选项C正确;三棱锥的体积为，D选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】将圆和圆作差即可得两圆公共弦所在直线的方程.【详解】圆：和圆，两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意；故答案为：.13.数列的前项和为，若，则__________.【答案】【解析】【详解】运用裂项相消法求解即可.因为，所以.故答案为：.14.人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为__________.【答案】【解析】【分析】解法一：由题意，进行仿射变换，将问题转化为在圆中处理，即可求解.解法二：设，，联立方程组求出，，求得直线AB方程，进而求得到直线AB的距离，进而可得四边形的面积为，计算可求最大值.【详解】解法一：令，，则椭圆变为直线方程变为，,则，，设的夹角为，所以四边形的面积，当且仅当时，等号成立，所以.解法二：设，，联立和消去y得，所以若，则，又，，所以直线AB方程：，点C，D到AB的距离分别为，，，，所以，而，故，当且仅当，即时等号成立，故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键在于利用斜率表示四边形的面积，再根据解析式，利用基本不等式求得面积的最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知三角形三顶点，，，求：（1）直线AB的一般式方程;（2）边上的高所在直线的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）两点式写出直线的方程，化为一般式即可；（2）根据垂直和直线AB的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可.【小问1详解】，，直线AB的方程为，化简得；【小问2详解】直线AB的斜率为，边上的高所在直线的斜率为，边上的高所在直线的方程为，即16.已知等差数列满足，，等比数列满足，（1）求数列，的通项公式;（2）设数列满足，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的基本量的运算求解即可；（2）根据等差、等比数列的求和公式及分组求和的方法得解.【小问1详解】设等差数列的公差为由，，可得，解得，则由，，故是首项为3，公比为3的等比数列，则【小问2详解】由（1）得，17.如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，，（1）试用向量，，表示向量（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，进而有，又因为代入即可；（2）由得，，在正四面体中有，，所以即可计算.【小问1详解】因为点D为BC的中点，所以，因为，所以，所以，，所以；【小问2详解】由得，，由正四面体OABC可知，，所以18.如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，E为棱上点，且.（1）求证:平面；（2）求平面与平面所成夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得；（2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】因平面，且,故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示).则.于是，,设平面的法向量为，则，令，可得；又，显然，，故得平面；【小问2详解】由（1）建系，则，设平面的法向量为，则，令，可得.设平面与平面所成夹角为，因，则.即平面与平面所成夹角的正弦值为19.如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线（1）求曲线C的方程;（2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、（i）求证：为定值;（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程.（2）（i）设，，，将、分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值；（ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程