湖南省衡阳市2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省衡阳市2025届高三上学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x−3≤x≤2，B=xx=2n+1,n∈Z，则A.−3,−1,1,3 B.−3,−1,1 C.−1,1 D.12.已知复数z=4+3i3−4i，则|z|=(

)A.2 B.3 C.53.已知非零向量a，b满足(a−b)⋅(a−3b)=0，且|A.垂直 B.共线 C.夹角为π3 D.夹角为4.已知函数f(x)=x+4a,x≥0−x2+ax+a2,x<0A.[0,4] B.(0,4) C.(0,4] D.[0,4)5.设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球(A.3 B.4 C.5 D.67.已知数列an满足an+1=aA.若an>0，则an所有项恒大于等于2

B.若a1=1，则an是单调递增数列

C.若an是常数列，则8.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，P(−1,p)，Q(1,q)，其中p>0，q>0，∠AOQ=∠POQ，则当△OPQ面积最小时，pq=(

)A.5+12 B.3+12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设样本空间Ω=1,2,3,4含有等可能的样本点，且A=1,2，B=1,3，C=1,4A.PAB=PAPB B.PA|C10.斜率为2的直线l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A(x1,y1A.x2a2−y2b2=0是双曲线两条渐近线所构成的“X”形图象的方程

B.P也是线段CD的中点

C.若l过双曲线的焦点，则直线OP的斜率是−b11.已知f(x)的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：①f(xy)=f(x)+f(y)；②f(x+y)≥min③当f(x)≠f(y)时，f(x+y)=minf(x),f(y)下列说法正确的是(

)A.若f(x)>r，f(y)>r，则f(x−y)>r

B.f(x)=0恰有两个整数解

C.若x+y+z=0，xyz≠0，则f(x)，f(y)，f(z)中至少有两个相等

D.若f(2)=1，则f(240)=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosα+π2=3cos13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有

种.14.在平面直角坐标系xOy中，射线l1:y=x(x≥0)，l2:y=0(x≥0)，半圆C：y=1−(x−4)2.现从点A(1,0)向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线l1、l2时会发生镜面反射.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA−sin(1)求▵ABC的外接圆半径；(2)若▵ABC为锐角三角形，求▵ABC周长的取值范围．16.(本小题12分)如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别在线段(1)若λ=μ=12，证明：(2)若λμ=12，点P，Q分别在直线DD1，MN上，且PQ⊥DD117.(本小题12分)箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均为14，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.(a)第一次抽取的卡片上写的数字是4；(b)设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第n−1次抽取的卡片上写的数字.例如，当记录的数字依次为3，2，2，4时，这个操作在第4次结束．(1)若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；(2)求操作在第n次结束的概率．18.(本小题12分)已知函数f(x)=ea+2(1)设直线x=4与曲线y=f(x)交于点P，求P点纵坐标的最小值；(2)a取遍全体正实数时，曲线y=f(x)在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数g(x)，求g(x)的解析式；(3)证明：当x≥1时，对任意正实数a，f(x)≥2lnx+2.(19.(本小题12分)在直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(−23,1)，短半轴长为5.过点S(0,5)作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M(1)求C的标准方程；(2)证明1k(3)设点R(0,1)，证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得∠MQR=∠NQR恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标．

参考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.C

9.ABD

10.ABD

11.AC

12.313.2

14.−1515.【小问1详解】由asinA−sin故a2+b2由余弦定理得cos由于C∈0,π，所以C=sinC=32，根据所以▵ABC的外接圆半径为3【小问2详解】由(1)知，C=π3，B+A=2π由正弦定理有csin所以b+a==2因为▵ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<2π所以B+π6∈所以3<b+a<2，则所以▵ABC周长的取值范围为1+

16.【小问1详解】连接B1C，AC，当λ=μ=12，则M是AB所以MN//AC，因为AC⊂面ABCD，D1D⊥面ABCD，所以所以D1

【小问2详解】以D点为原点，DA，DC，DD1方向为x，y，A(1,0,0)，B11,1,1，C10,1,1，AB1=0,1,1，C1所以M1,λ,λ，Nμ,1,1−μ，所以MN又DD1=0,0,1，设直线则由n⋅D取n=1−λ,1−μ,0，又所以PQ=由0≤λ≤10≤12λ易知y=λ+12λ−1在1所以y∈2−1,

17.【小问1详解】由题意可得若操作进行了4次仍未结束，则前四次抽取的卡片数字可能为：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15种情况．【小问2详解】设操作在第n次结束的概率为Pn，操作在第n次未结束的概率为Q则当n=1时，P1=14，Q1接下来我们讨论操作进行了n次，但是并没有结束的情形，抽取的数字结构如下所示：3,⋯,3,2,⋯,2,1,⋯,1分别设序列中的3，2，1的个数为x，y，z，可知x+y+z=nx≥0,y≥0,z≥0利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下：令X=x+1，Y=y+1，Z=z+1，即X+Y+Z=n+3X≥1,Y≥1,Z≥1一共有Cn+2各情形概率均为14n，所以有当n≥2时，Pn经检验，其对n=1依然成立，所以Pn

18.【小问1详解】x=4时，fx令ℎa=5所以P点纵坐标的最小值为30【小问2详解】fx=令ℎa则ℎ′a①当2⋅x−1x+1≤1，即0<x≤3时，ℎ′a≥0ℎa②当2⋅x−1x+1>1，即x>3ℎa在0,ln2⋅ℎa综上所述，gx【小问3详解】由第(2)问可知fx≥gx①若x∈1,3，构造u′因为x≥1，所以u′x≥0在1,3上恒成立，ux在1,3即3x−②若x∈因为x≥3，所以2构造tx=2令φx=2x−2x−而φ3=3tx在3,+∞单调递增，t因为3<e54gx=2而fx≥gx，即证f

19.【小问1详解】由已知得−232a2【小问2详解】将椭圆向右平移23个单位，再向下平移1个单位得即x2运用齐次化方法，构造AB平移后的直线A′B′，设lA′B′:mx+ny=1，则lA′B′过点2x2整理得6n+3y显然k1和k2是∴k1+∴1【小