2022-2023学年人教版数学八年级下册全册教学设计

人教版2022—2023学年度第二学期

教

学

设

计

学校XX中学

班级八（X）

学科名称数学

任课教师XX.

16.1二次根式

第1课时二次极式的视念

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范

围.

【过程与方法】

经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括

能力.

【情感态度与价值观】

经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的

快乐，并提高应用意识.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的概念，二次根式有意义的条件.

【教学难点】

求二次根式中字母的取值范围.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

（5min阅读】

阅读教材P2〜P3的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.一个正数有西个平方根：0的平方根为5在实数范围内，负数逡有平方根.因此,

在实数范围内开平方时，被开方数只能是管数或0.

2.一般地，我们把形如或320）的式子叫做二次根式，称为二次根号.

3.下列式子中，不是二次根式的是（B）

A.B.

C.归+3D.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例I】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?

vn，4(-7)2,相,

、3—x(xW3),M%20),yj(a~I)2,

yj(a—b)2(ab>0).

【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2,

二是看被开方数是不是非负数.

【解答】因为SL4(-7)2,A/1—1=A/2O,――MXW3),[5一1)2,7(a—b，(ab20)

中的根指数都是2,且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.狗的根指数不是2,

N—x(x20),yj—A2—5的被开方数都小于0,所以不是二次根式.

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是

否具备以下条件：(])带二次根号；(2)被开方数是非负数.

【例2】当x,4而+士在实数范围内有意义.

【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他

条件？

【分析】要使[不+出在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x+320和分

母x+l#0,解得“2—3且xW-l.

【答案】？一3且工工一1

【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考

虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次标的底数不为

零.

活动2巩固练习(学生独学)

1.下列式子中，是二次根式的是(A)

A.一巾B.折

C.y[xD.x

2.使式子4一(x—5)2有意义的未知数汁有(B)

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

3.当x是多少时，在实数范围内有意义？

2x+320,|x2一,,

解：依题意，得《解得<2

限#。,Lr^O.

・•・当/一方且#0时，"零+/在实数范围内没有意义.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】若实数犬、y满足y>y［x-2+A）6—3x4-3,求仅一3|一...丁产的值.

【互动探索】要求|y—3|一后方的值，需确定出x、y的取值范围.根据式子）>不与

+、6—3x+3,可以确定出x、y的取值范围.

【解答】由题意，得x-220且6—3工20,

解得K=2,则y>3.

故卜一3|—yl（x—y'）z=y—3—y+2=2—3=—1.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式有意义的条件求出x的值，从而确定

y的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

_卜［概念

一次根式］有意义的条件——被开方数是非负数

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时二次根式的性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解5320）是一个非负数、（如）2=。320）和而=。（。20）,并利用它们进行计算和化

简；了解代数式的概念.

【过程与方法】

在明确（3）2=〃（。20）和亚=〃（。20）的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组

合作交流，培养学生的合作意识.

【情感态度与价值观】

通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的性质.

【教学难点】

运用二次根式的性质进行有关计算.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P3〜P4的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.(1)当4>0时，W表示4的算术平方根，因此也沙

(2)当。=0时，也表示。的算术平方根，因此W三0.

概括：一般地，或320)是一个非负数.

2.教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空：

(1)(所)2=4：(巾)2=2；

2=;

(A/53诋2=。.

(2)一般地，(或)2=e(°20).

3.教材P4“探究”，填空：

(1积=2；A/0.012=0.01；

(2)一般地，y[c?=a(a^O).

教师点拨：二次根式的三个性质：⑴g(a20)是一个非负数；(2)(3)2=〃320)；(3八/

=々(々>0).

4.用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

47

%-

5.计算："0196X22500=21；3

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例I】计算：

(1)(<13)2；(2)(2小E

(3标：(4)J(-5)2.

【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的

被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？

【解答】（1）G/T3）2=1.5.⑵（2小）2=22X（小）2=4X5=20.（3^^=（"）=4.

（4）^（-5）2=A/P=5.

【互动总结】（学生总结，老师点评）一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.当

___fa（a20）;

二次根式的被开方数是一个完全平方数时，亚=同=<

【例2】化简下列二次根式.

（1，8438〃》0,620）；

QH（—36）XI69X（-9）.

【互动探索】（引发学生思考）根据开方的定义化简.注意：二次枝式的结果是最简二次

根式.

【解答】（1）\ISa3b=yl22（r2ab=yj（2a）2-yj2ab=2周2ab.

QH（一36）X169X（-9）=，36XI69X9=6X13X3=234.

【互动总结】（学生总结，老仲点评）（1）若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；

（2）将二次根式尽量化简，使被开方数（式）中不含能开得尽方的因数（式），即化为最简二次根

式.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列各式正确的是（D）

A.^（-4）X（-9）=^/TZ4X7T9

9

-X

4

D.弋4又9=不文也

2.计算：

⑴（拘2；⑵一（由产；

（3h/64；（4）^a2+2a+1.

解：（1）9.（2）-3.（3）8.

（4N°2+2a+1=、（。+l）2=|a+1|.当—1时,原式=a+l；当a<一1时，原式=—

3.已知

实数。、b在数轴上的位置如图所示，化简：砺而+2后7百一|〃一夙

।।।।Q।।।勺।।।।

-5-4-3-2-1012345

解：从数轴上力的位置关系，可知一2VaV-l」VbV2,且故a+lVO,b

-l>0,a-b<o,原式=|“+1|+2|。一1|一|4一例=一（4+1）+2S一1）+3—6）=6—3.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3]已知a、b、c是AABC的三边长，化简版Ti工T了一版不二^+双二^77^.

【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b+c>af〃+a>c.枝据二次根式的性质得

出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可.

【解答】，：a、b、。是△A8C的三边长，：.h+c>a,h+a>ct，原式=|a+力+d-|b

+c-a|+|c一a|=a+力+c-S+c-a）+（b+。—c）=a+b+c-C+G+0+。-c=3a+b

—c.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等

关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

0(。廿0)

(W)2=a(a20)

二次根式的性质<

。320)

y[(?=\a\=

a(a<0)

练习设计

请完成本课时对应训练!

16.2二次根式的乘除

第1课时二次报式的乘法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

理解/•班=/^320,力20）,y[ab=y[ci-\[b（a^O,6N0）,并利用它们进行计算和化

【过程与方法】

经历“探索一发现——猜想一验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的

相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创

新，感受数学的严谨性.

二、重难点目标

【教学重点】

二次根式的乘法运算法则.

【教学难点】

运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P6〜P7的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

I.教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

（lh/4X^/9=6,[4X9=0；

（2）716X^25=20,^/16X25=20：

（3h/25XA/36=30,^25X36=30.

规律：一般地，二次根式的乘法法则是W•班=标（。20,力20）.

2.把6•福=4不反过来，就得到利用它可以进行二次根式的化简.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】计算:

（1胞义小;

（3师义亚:

【互动探索】（引发学4思考）利用二比根式的乘法运算法则选行计笄.

【解答】（1N5X小=仃.

(2

(3的X亚=^9X27=、9以3=973.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被

开方数必须是非负数.

【例2】化简:

(1)9XV16；(2)716X81；(3)81X100；

(4)yl4a2b3；(5h/54.

【互动探索】（引发学生思考）利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注

意什么？

【解答】（1>\/9X16=V9XVI6=3X4=12.

（2W16X81=V^X痴=4X9=36.

（3）^/81X100=^/81xVi00=9X10=90.

（4）yJ4a2b3=2-a-^b2-h=2ab\[b.

（5丽=啊女=迎父乖=34.

【互动总结】（学生总结，老师点评）积的算术平方根是二次根式爽法法则的逆用，注意

被开方数必须是非负数.

活动2巩固练习（学生独学）

1.等式*\/工+1—1成立的条件是（A）

A.B.x^-l

C.-KWlD.或xW—1

2.计算：

解:(1)6.⑵入画.(3)18.

3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1H(-4/(-9)=产5><干5；

(2^gx叵=4X避X叵=4X港

解：(1)不正确.

改正：y/(-4)X(-9)=y/4X9=yf36=6.

【例3】比较大小：

⑴3小与5小；（2）—4币5与一5，n.

【互动探索】由于根号外的因数不为1,可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开

方数的大小.

【解答】（1）34=小乂小=、屋,

55=恒乂小=如

因为〈市5,所以3小＜5、且

（2）-4VT3=-V16XVT3=-V208,

-5^/71=-＞/25x^TT=-V？75.

因为4丽v45万，所以一4丽＞一，赤，所以一小币＞一5471.

【互动总结】（学生总结，老师点评）要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式

的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

I二次根式的乘法法制

练习设计

请完成本课时对应训练!

第2课时二次板式的除法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

20,/»0）和飞，=*。2力＞0）及利用它仅进行运算;

2.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的亿成最简二次根式.

【过程与方法】

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果

是否满足最简二次根式的要求.

【情感态度与价值观】

在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣.

二、重难点目标

【教学重点】

最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则.

【教学难点】

二次根式商的算术平方根的运用.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P8〜P10的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

（一）二次根式的除法

1.教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?

规律：一般地，二次根式的除法法则是於0）.

把*=、1反过来，就得至入自=强〃20

2.，力＞0）,利用它可以进行二次根式的化

简.

（二）最简二次根式

1.观察教材P8〜P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比加2啦，噂，呼等,

可以发现这些式子有如下两个特点：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做我简二次根式.

2.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为堇®二次根式，并且分母中不含二次

根式.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】计算:

【互动探索】（引发学生思考）利用二次根式的除法运算法则进行计算.

【解答】（1）原式=

（2）原式=

(3)原式=\13吊=\116=5=2.

⑷原式=[^=m=2也.

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被

开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式.

【例2】化简:

【互动探索】（引发学生思考）利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将

二次根式进行化简.

小—小

【解答】（1）原式=

*\/648

V64p_8Z>

（2）原式=相2-3a

小—小X小—灰

（3）原式=

书一小X邓一5,

啦X(6+1)甘二2+也

（4）原式=

(啦—1)(&+1)

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的

性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式.

C.y[2D.孚

2.如果、&）＞0）是二次根式，那么化为最简二次根式是（C）

A.¥（）＞0）B.y[xy（y＞0）

C.理（＞＞0）D.以上都不对

y

3.化简：

-J481—2乖一小

⑴⑹Q师；（3）^zp（4本+小.

解：(1)4.(2)嚅.(34+1.(4)11-2^30.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】已知寸三=^^,且％为偶数，求（1+幻X2-5x4-4,,_

的值♦

【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式一确定x的取值范围一化简所求式子

9一工20,xW9,

【解答】由题意，得即

X—6>0,A>6,

・・・6<xW9.

二”为偶数，，x=8,

原式=（i器;卜a+*）耒条a+X）（L4）.

・••当x=8时，原式=，不历=6.

【互动总结】（学生总结，老师点评）根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方

数是非负数，分母中被开方数是正数.

环节3课堂小结，当堂达标

＜最简二次根式

1分母有理化一

练习设计

请完成本课时对应训练!

16.3二次根式的加减

第1课时二次板式的加减

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算.

【过程与方法】

在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根

式的计算和化简.

【情感态度与价值观】

鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性.

二、重难点目标

【教学重点】

会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.

【教学难点】

运用二次根式的加减运算解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P12〜P13的内容，完成下面练习.

(3min反馈】

1.一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成量里二次根式，再将被开方数相

同的二次根式进行金道一

2.计算下列各式.

⑴班+3限；(2)2^8一3m+；

(3而+2巾+y/9X7；(4)36一2小+隹

解：(1)原式=(2+3)也=5，1

(2)原式=(2—3+5/=4m=8啦.

(3)原式=巾+2币+3币=(1+2+3M=附.

(4)原式=(3—2/+也=#+巾.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1】计算：

⑵3陋+病一乖+小;

(4)(加一2加尸+(2小一1)(2小+1).

【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算

时要注意哪些问题？

【解答】（1诉+弋；+匹=3噂+芋+2噌=押.

（2）3巾+4-巾+巾=3/+45一2巾+巾=巾+5祗

（3制2啦-新E-*2祈-啦+乎-芈=浜-沁

（4）（V6-2"V2）2+（2V3-J）（2V3+1）=6-4712+8+（12-1）=25-8^3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简

二次根式，再合并同类二次根式.计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序.

［例2】已知/一小一2+78一3+2=0,求：♦+y+7的值.

【互动探索】（引发学生思考）根据算术平方根的非负性，可得〃=小+2,b=小一2,

然后再代入求值即可.

【解答】由题意，得.4_小_2=0,-小+2=0,解得。=书+2,b=由一2,

7"十62+7=4+4+4/+5+4-4小+7=5.

【互动总结】（学生总结，老师点评）此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术

平方根具有非负性.

活动2巩固练习（学生独学）

1.计算3加一也的值是（D）

A.2B.3

C.y/2D.2&

2.若最简二次根式43。-8Vdi7-2以可以合并,则〃=5

3.计算：（1）3强一可1+3配；

（2）（强+回）+（历一小）.

解：（1）=15巾.（2）6小十点.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】已知4/+/一4x-6y+10=0,

【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（右一1）2+（），-3）2=0,

即可求出x、y的值.再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同

类二次根式，最后代入求值.

【解答】・・・4f+32-4x-6)，+10=4f-4x+l+y2-6y+9=(2r-l)2+()，-3)2=0,Ax

=2x\[x+'\[xy-x\[x+5,\{xy

=x\[x-^-(r\fxy.

当y=3时，

原式叭l^=*+3#.

【互动总结】（学生总结，老师点评）化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入

求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被

开方数相同的二次根式进行合并.

练习设计

请完成本课时对应训练！

第2课时二次板式的混合运算

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用.

【过程与方法】

复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算.

【情感态度与价值观】

理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性.

二、重难点目标

【教学重点】

熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力.

【教学难点】

正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P14的内容，完成下面练习.

（3min反馈】

1.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方,再乘除,最后也

减，有括号的先算括号里面的.

2.在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然也凡

3.计算:

（3）780-^45；（4）（2#一娘F

解：（1）3.（2?^.（3）A/5.（4）22-4^10.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

（3班一（小+2）45.

【互动探索】（引发学生思考）如何进行二次根式的混合运算？

81512

-XX-=-X9XV29

【解答】（1）原式=］X9X332-

445

（2）原式=（6小一^^+4小＞2小+j=3^X273+3=^+3=5,

（3）原式=啦一^^=啦一1一半.

【互动总结】（学生总结，老师点评）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一

样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

【例2】计算:

⑴（血+于一班）（啦—小+#）；

（2）（也一4+2啦（小一也）（、5+啦）；

【互动探索】（引发学生思考川）利用平方差公式进行计算即可；（2）先利用完全平方公式

和平方差公式进行计算即可；（3）利用乘法分配律进行计算即可.

【解答】⑴原式=［啦+（小一加川啦一（小一班）］=（血＞一（小一班）2=2-（9-2栋）

=2-94-6^2=-7+6V2.

（2）原式=2—26+1+2市乂（3—2）=2—2市+1+2陋=3.

(3)原式=(加一乎一!\尼)X(—2#)=一|\内X(一2%)=8.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式渔合运算的关键是熟记

常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用.

活动2巩固练习(学生独学)

1.下列计算：①(也)2=2；②叱-2>=2；③(-2小户=12：④(R+小)(啦一小)

=—1.其中正确的有(D)

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.如果(2+6)2=。+2(小b为有理数)，则a=6,b=4.

3.计算：

⑴(加+乖)X小；

⑵(4玳一3gH2啦；

⑶(小+6)(3-而；

(4)(也+币)(也一巾).

解：(1)3^24-2^6.(2)2小一，(3)13-3^5.(4)3.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】先化简，再求值：-F+J+一=，其中y=W.

x+yyxx+y2/2

【互动探索】化简式子一代入％、y的值进行计算

【解套】1_冲।Mx+y)।F_孙+《+-+),2_a+y>_

'解口」x+.y十y十x(x+y)-.ry(x+y)十孙(x+y)+盯(x+y)-xy[x+y)~x)^x+y)~

x+y

xy,

当i‘尸’?1时,%+y=3，书=1,所以原式=#.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以

根据式子特点，整体代入进行计算.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用.

练习设计

请完成本课时对应训练！

17.1勾股定理

第1课时勾股定理及其证明

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.了解勾股定理的发现过程.

2.掌握勾股定理的内容.

3.会用面积法证明勾股定理.

【过程与方法】

经历观察一猜想一归纳一验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、

归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.

【情感态度与价值观】

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决

问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.

二、重难点目标

【教学重点】

勾股定理的探究及证明.

【教学难点】

掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P22〜P24的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么小+从

=?.

2.(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为I,请分别算出图中正方形A、B、

。、A'、8,、C的面积.

解：A的面积=4：B的面积=9;C的面积=52-4X]X(2X3)=13;所以A+8=CA'

=9:B'=25;C'=82-4X1X(5X3)=34:所以A'+B'=C'.所以直角三角形的两直

角边的平方和等于斜边的平方.

(2)阅读、理解教材P23〜P24“赵爽弦图”证明勾股定理.

解：朱实黄实=(。一方尸；正方形的面积=4朱实+黄实=(a—份2+步活义4=°2

+从-2H?+2ab=/+〃.又正方形的面积=/,所以/+/=/,即直角三角形两直角边的

平方和等于第三边的平方.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例I】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为。、b,斜边长为。

再作三个边长分别为小氏c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形.

证明：cr-\-b2=c1.

ba

【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方膨的边艮花是“十伉因此它们的

面积相等.我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.

【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是。+儿・•.它们的面积相等.又•・•左边的

正方形面积可表示为/+b2+；aBX4,右边的正方形面积可表示为c2+%bX4,

222

^abX4=cr+^abX4f/.a+b=c.

【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等

关系，从而脸证勾股定理.

【例2】已知在RtZXABC口，ZC=90°,。、8为两直角边，c为斜边.

(1)若。=3,b=4,则》=____,c=；

(2)若。=6,6=8,则,c=；

(3)若c=41,a=9,贝ijb=___；

(4)若c=17,b=8,贝ija=___.

【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解.

【分析】(1)？=«2+/?2=32+42=25,c=5.(2)c^=a2+/?2=62+82=100,则c=10.(3)

因为/=/+〃，所以6=。/一4=#412-92=40.(4)因为c2=«2+Z>2,所以a=ylc2—b2=

'172—82=15.

【答案】⑴255(2)10010(3)40(4)15

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的

两条直角边长分别是4、b,斜边长为C,那么“2+62=//+序=心的常用变形［=#/一〃2,

a=y［?-P.

活动2巩固练习(学生独学)

1.在△ABC中，NC=90。.若a=5,人=12,则c=\3；若c=41,a=9,则6=义.

2.等腰△A6C的腰长A5=10cm,底BC为16cm,则底边上的高为6cm,面积为48cn?.

3.已知在△ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

(1)若a=l,b=2,求c；

(2)若a=15,c=17,求b.

解：(1)根据勾股定理，得/=/+"=12+22=5.・.・C>0,・・・c=小.

(2)根据勾股定理，得从=。2—〃2=172—152=64.,・力>(),，b=8.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】在△ABC中，A8=20,AC=I5,AO为BC边上的高，且AD=12,求aABC

的周长.

［互动探索】应考虑高4。在△ABC内和△A8C外的两种情形.

【解答】当高4。在△ABC内部时，如图1.在RtZVIB。中，由勾股定理，得8小=人序

-AZ)2=202-122=162,・•・BD=16.在Rt△ACO中，由勾股定理，得CZ^uACZ-AZ^u15?

一122=81,:・CD=9.：,BC=BD+CD=25,，△ABC的周长为25+20+15=60.

当高A。在△ABC外部时，如图2.同理可得，40=16,CD=9.：.BC=BD-CD=1,：.

△ABC的周长为7+20+15=42.

综上所述，△ABC的周长为42或60.

【互动总结】(学生总结，老卯点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉

钝角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高A。在△ABC内的情形，忽视高A。在△A8C

外的情形.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为。、h,斜边长为c,那么/+〃=上

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时勾股定理的应用

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题.

【过程与方法】

经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件.

【情感态度与价值观】

培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情.

二、重难点目标

【教学重点】

勾股定理的简单应用.

【教学难点】

运用勾股定理建立直角三角形模型解决有关问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P25的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

I.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.在AABC中，NC=90。.若BC=6,AB=10,则4C=&

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，已知在△A8C中，NAC8=90。，AB=5cm,8c=3cm,CD_LA8于点

D,求8的长.

RDA

【互动探索】（引发学生思考）观察图形：“多直角三角形嵌套”困形一已知边长，求高

。£＞一利用等面积法求解.

【解答】:△48C是直角三角形，N4c8=90。，4B=5cm,BC=3cm,

・•・由勾股定理，得AC=7AK-BC2=4cm.

又VS^ABC=^ABCD=^ACBC,

ACBC4X312

：，CD=叶=亨5）.

AB

【互动总结】（学生总结，老师点评）由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边

的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用.

【例2】如图，侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公

路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m,

你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？

A

【互动探索】（引发学生思考）要求敌方汽车的速度，需要算出BC的长.在RlZiABC中

利用勾股定理即可求得BC.

【解答】由勾股定理，得A序=BC2+Ad,即5002=8。2+40（）2,所以8C=300m.

故敌方汽车10s行驶了300m,

所以它1h行驶的距离为300X6X60=108000（m）,

即敌方汽车的速度为108km/h.

【互动总结】（学生总结，老师点评）用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形

模型，再代入数据求解.

活动2巩固练习（学生独学）

1.等腰三角形的腰长为13cn底边长为10cm,则它的面积为（D）

A.30cm2B.130cm2

C.120cm2D.60cm2

2.直角三角形两直角边长分别为5cm、12cm,则斜边上的高为等m.

3.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点。偏离欲到达地点5200

m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为多少？

解：根据图中数据，运用勾股定理，得48=d4C2-8c2=N5202-2002=480(m).

即该河流的宽度为480m.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】如图1,长方体的高为3cm,底面是正方形，边长为2cm,现有绳子从。出

发，沿长方体表面到达"点，问绳子最短是多少厘米？

【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内，有两种情况，分别计算并比较，得

到的最短距离即为所求.

【解答】如图2,由题易知，DD'=3cm,B'D'=2X2=4(cm).在RtZ\O。'B'

中，由勾股定理，得B'A=DD2+B'D'2=32+42=25；

如图3,由题易知，B'C=2cm,C£>=2+3=5(cm).在RlZXOC'Bf中，由勾

股定理，得8'^=8'C2+。'£>2=22+52=29.

因为29>25,

所以第一种情况绳子最短，最短为5cm.

【互动总结】(学生总结，老卯点评)此类题可通过侧面展开图，将要求解的问题放在直

角三角形中，问题便迎刃而解..

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

勾股定理的简单运用：（1）由直角三角形的任意两边的长度，可以应用勾股定理求出第

三边的长度.（2）用勾股定理解决实际问题的关键是建立直角三角形模型，再代入数据求解.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时利用勾股定理表示无理教

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

进一步熟悉勾股定理的运用，掌握用勾股定理表示无理数的方法.

【过程与方法】

通过探究用勾股定理表示无理数的过程，锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨

论交流能力和空间想象能力.

【情感态度与价值观】

让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，体会数形结合思想的运用.

二、重难点目标

【教学重点】

探究用勾股定理表示无理数的方法.

【教学难点】

会用勾股定理表示无理数.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5min阅读】阅读教材P26〜P27的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.教材P27,利用勾股定理在数轴上画出表示，T,小,小，…的点.

3.回的线段是直角边为正整数工的直角三角形的斜边.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图所示，数轴上点A所表示的数为4,则。的值是（)

-3-2-10U23

A.小+1B.一小+1

C.小-1D.y（5

【互动探索】（引发学生思考）先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距

离公式即可求出A点的坐标.

【分析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,・,・斜边长为"港=小，・・・一1到A

的距离是小,那么点A所表示的数为小一1.故选C.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答

此题时要汴意，确定点4的位置，再根据A的位置来确定〃的值.

活动2巩固练习（学生独学）

1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：

首先画出数轴，设原点为点O,在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A,然后过点A作

AB±OAf且48=3.以点。为圆心，。8为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P,则点P的

位置在数轴上（C）

''、、、、*

-2-10IA?45

A.1和2之间B.2和3之间

C.3和4之间D.4和5之间

2.如图，。尸=1,过P作P尸」0P且尸Pi=l,根据勾股定理，得0尸产也；再过

Pl作P|P2_LOP1且P/2=l，得0P2=小；又过尸2作p2P3_LOP2且PzP3=L得0尸3=2；….

依此继续，得0。2018=痴再，。尸〃=gTT（〃为自然数，且〃>0）.

3.利用如图4X4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数季

和一季.

解：面积为8平方单位的正方形的边长为黄，,是直角边长为