1990-2017考研数学二历年真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

|l-cosVx

(1)若函数/(幻=，―点—"在x=0连续，则

[b,x<0

(A)ab=—(B)ab=一"-(C)ab=0(D)ab=2

22

(2)设二阶可到函数/(x)满足/⑴=/(-1)=1,/(0)=-1且/〃(幻>0,则

(A)f(x)cbc>0

(B)

(C)^f(x)dx>^f(x)dx

(D)[,/(x)^<['f(x)dx

(3)设数列｛怎｝收敛，则

(A)当limsinxtl=0时，limxn=0

ft-HOn—>oo

(B)当lim%(x〃+=O时，则limx“=0

n—>aoYrr—>oo

(C)当lim(^4-x2)=0,lim=0

n-»oon〃一>oo

(D)当lim(3“+sinx”)=0时，limx,=0

n-►℃n—>oof

(4)微分方程y〃-4y'+8y=/、(l+cos2x)的特解可设为)/=

(A)Ae2v+e2v(Bcos2x+Csin2x)

(B)Ax^2v4-e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2r+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

(D)Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)

(5)设f(x)具有一阶偏导数，且在任意的(xy),都有吗，丫)>0,吗，则

oxdy

(A)/(0,0)>/(l,l)

(B)/(O,O)</(1,1)

(C)/(O,1)>/(1,O)

(D)/(O,1)</(1,O)

(6)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处,图中，实线表示甲的速度曲线口=匕(。(单位:m/s)

虚线表示乙的速度曲线丫=为。)，三块阴影部分面积的数值依次为1020,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为单位:s),

则

(A)/o=10(B)15<r0<20(04=25(D)r0>25

/s)

1。_20

051015202530«s)

000

(7)设4为三阶矩阵，2=(4,%，%)为可逆矩阵，使得「一”尸=010则4%,%,%)=

002

(A)。］+%

(B)%+2a

©%+%

(D)a1+2a2

200210100

(8)已知矩阵4=021B=020C=020,则

001001000

(A)A与C相似，B与C相似

(B)A与C相似，B与C不相似

(C)A与C不相似，B与C相似

(D)A与C不相似，B与C不相似

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.

(9)曲线y=x(l+arcsin2x)的斜渐近线方程为

(10)设函数p=y(x)由参数方程I'='+e确定，则翌L0_________

卜=sintdx2g

/、尸ln(l+x),

(11)J[。-(-1--+--H-)dx=

(12)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且“(x，P)=y，dx+x(1+y)4,f(0,0)=0,则f(x,y)=

33)£叼；『二------------------

’41-2](P

(14)设矩阵力=12a的一个特征向量为1，则a=

31-12

/\7

三、解答题：15~23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

f-teldt

求lim包——=——

(16)(本题满分10分)

d2y

设函数f(〃/)具有2阶连续性偏导数，y=/e),cosx),求曳

)dxo'd/

4=0x=0

(17)(本题满分10分)

k(k\

#limV—7In1+—

n)

(18)(本题满分10分)

已知函数双外由方程必3x+3y-2=酶定，求双劝的极值

(19)(本题满分10分)

/(%)在[0』上具有2阶导数，/(1)>0,lim^^<0,证明

;^Ox

(1)方程/(幻=0在区间(0,1)至少存在一个根

(2)方程/(为+/〃(％)+[/'(x)『=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

(20)(本题满分11分)

已知平面区域〃={(x,y)卜2+y2<2y},计算二重积分JJ(x+1)'dxdy

D

(21)(本题满分11分)

设y(x)是区间(0,31)内的可导函数，且y⑴=0,点尸是曲线L:y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与〉

轴相交于点(0,匕)，法线与X轴相交于点(Xp,O),若Xp=Yp

,求L上点的坐标(x,y)满足的方程。

(22)(本题满分11分)

三阶行列式A二(%,%，%)有3个不同的特征值，且%=%+2%

(1)证明r(A)=2

(2)如果夕=%+%+%求方程组小=人的通解

(23)(本题满分11分)

设fa,/,&)=2x：-考+*+2x内一8玉七+2X2X,在正交变换x=Qy下的标准型为4V；+4)］求〃的值及

一个正交矩阵Q.

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.

有一1.当xfO'时，以上3个无穷小量按照从低阶

(1)设q=x(cos«-1),a2=Vxln(l+\/x),%=双

到高阶拓排序是

(A)4，%，%.(B)。2，。3,4

(C)出，4，。3・(D)03M2,4

2(x-l),x<1,人

(2)已知函数则/(外的一个原函数是

Inx,x>1,

m、(I)?,X<\.e、Q.J(X-1)2,x<1.

(A)F(x)=(B)F(x)=

x(lnx-l),x>\.[x(lnx+l)-l,x>1.

…(x-1)2,x<l.~、(I))X<1.

(C)F(x)=<(D)Fix)=\

x(lnx+l)+l,x>\.[x(lnx-l)+l,x>1.

(3)反常积分①7K小，②公的敛散性为

(A)①收敛，②收敛.(B)①收敛，②发散.

(C)①收敛，②收敛.(D)①收敛，②发散.

(4)设函数/(处在(-2+8)内连续，求导函数的图形如图所示，则

(A)函数/(%)有2个极值点，曲线y=/(x)有2个拐点.

(B)函数/(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点.

(C)函数/(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点.

(D)函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点.

(5)设函数工(幻"=1,2)具有二阶连续导数，且£(Xo)〈O(i=L2),若两条曲线

丁=工(项7=1,2)在点(%,为)处具有公切线>?=8*)，且在该点处曲线丁二/。)的曲率大于曲线丁二&(幻的曲率，

则在与的某个领域内，有

(A)fl(x)<f2(x)<g(x)

(B)f2(x)<fi(x)<g(x)

(C)f^x)<g(x)<f2(x)

(D)^(x)<^(x)</(x)

(6)已知函数f(x,y)=/—,贝ij

(A)f「f；=。

(B)£+f；=0

©f：-f'y=f

(D)f>fy=f

(7)设4,B是可逆矩阵，且A与3相似，则下列结论错误的是

(A)“与"相似

(B)川与57相似

(C)A+A，与3+B7■相似

(D)A+A」与5+8”相似

(8)设二次型/(%,孙曰)=0。；+。+专)+2卬：2+2/4+2的正、负惯性指数分别为1,2,则

(A)a>\

(B)。<一2

(C)-2<a<l

(D)〃=1与〃=—2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

(9)曲线y=+arctan(l+x2)的斜渐近线方程为____________.

1+x2

I।c

(10)极限lim-y(sin-+2sin—++/zsin-)=

n-0nnnn

(11)以y=V一，和)，=/为特解的一阶非齐次线性微分方程为

(12)已知函数/(x)在(-OO,+OQ)上连续，且f(x)=*+l)2+2Jo'/a)df,则当〃之2时，/(n)(0)=.

(13)已知动点P在曲线y=V上运动，记坐标原点与点p间的距离为/.若点「的横坐标时间的变化率为常数%，贝J

当点P运动到点(1,1)时，/对时间的变化率是

a0

(14)设矩阵-11等价，则。=

-11

解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

(16)(本题满分10分)

设函数f(x)=J'|?-x2pZ(x〉0),求f'(x)并求/(x)的最小值.

(17)(本题满分10分)

已知函数z=z(x,y)由方程(炉+y2”+]nz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x,y)

的极值.

(18)(本题满分10分)

22

设。是由直线y=l,y=x,y=—x围成的有界区域，计算二重积分ff'dxdy.

厂+旷

(19)(本题满分10分)

已知必(无)二炉，)，2。)=〃(幻6、是二阶微分方程(2x-l)y”-(2x+l)y'+2y=0的解，若鼠—l)=e,w(0)=-l,求

〃(幻，并写出该微分方程的通解。

(20)(本题满分II分)

设。是由曲线y=Ji=7(0KXK1)与|"=c°s］。工，工巳］围成的平面区域，求。绕1轴旋转一周所得旋转体的体

y=sin\k2)

积和表面枳。

(21)(本题满分11分)

已知/(%)在［0,—］上连续，在(0,—)内是函数c°s＞的一个原函数y(o)=0。

222工一3乃

(I)求/(x)在区间［0,网］上的平均值；

(II)证明/(x)在区间(0,羊37r)内存在唯一零点。

(22)(本题满分11分)

'111-4、’0、

设矩阵A=10aP=1，且方程组=£无解。

/+11a+\j

(I)求。的值；

(II)求方程组ArAx=Arp的通解。

(23)(本题满分II分)

9-1r

已知矩阵4=、。2-3。。0,

(I)求A"

(II)设3阶矩阵B=(%,%,%)满足记*°°=(4,尸2，&)，将4，人,四分别表示为名,%。3的线性组

合。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

⑴下列反常积分中收敛的是O

+CO［+CO］+COy+00

(A)J^j—dx(B)J----dx(C)J-j—dx(D)J--^dx

(2)函数f(N)=|im(l+也一)，在(-oo,中功内()

(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点

⑶设函数/")={'7'(a>0,^>0),若/(x)在x=0处连续，则()

0,x<0

(A)a-p>\(B)0<a-/?<l(C)a-/7>2(D)0<a-/?<2

(4)设函数f(x)在(-8,内)连续，其二阶导函数/〃(x)的图形如右图所示，则曲线y=/(x)的拐点个数为()

(A)0(B)l(C)2(D)3

(5).设函数f(u,v)满足〃x+y,2)=f-y2,则警与g依次是()

xduw=iovu=i

V=1V»1

(A)-,0(B)0,-(C)--,0(D)0

2222

(6).设D是第一象限中曲线2母=1,4个=1与直线y=x,y=JHx围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，贝J

ff/(^y)dxdy=()

网1

d0[s'n^/(rcos0,rsin0)dr2J

(A)4(B)pd0^/(rcosO.rsxnO)dr

4-sin20

n1

(C)]7曲『呼。/"cos。,rsin6)dr(D)pdOj/(rcos0,rsin0)dr

42sin284J2sin26

4111(1、

(7).设矩阵A=12a,b=6/，若集合£1={1,2},则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件为()

[14a2)1句

(A)任Q(B)。任C,dcO(C)acC,d£C(D)

(8)设二次型/a，X2，X3)在正交变换x=上y下的标准形为2M2+£-y,其中P=e，e2，e3),若。=(%-6,/)，贝J

/(X，W，电)在正交变换x=£y下的标准形为()

(A):2y；-货+及(B)2律+$-£(C)2才一£一$(D)2犬+竟+$

二、填空题：9〜14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在为踏纸指定位置上.

(9)设。x=勿arc+ta/nt，则富

(10)函数在x=0处的n阶导数/⑺(0)=

(11)设函数f(x)连续，奴x)=「%。)力，若°(1)=1,0⑴=5,则门1)=

(12)设函数y=y(x)是微分方程y'+y-2)=0的解，且在x=0处丁(幻取值3,则y(x)=

(13)若函数z=z(x,y)由方程-+2""+盯z=l确定，则龙|(oo)=

(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2/，B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵，则行列式忸卜

三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答朗纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(本题满分10分)

设函数/(x)=x+aln(l+x)+bxsinx,=kx2,若/(力与g(x)在x->0是等价无穷小,求。,数)的值。

16、(本题满分10分)

设A>0,D是由曲线段丁一45m万(04%4胃)及直线丁一。,工一］所形成的平面区域，V,,匕分别表示D绕X粕

与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若匕=匕，求A的值。

17、(本题满分10分)

已知函数/(x,y)满足艮(匕y)=2(y+1)F,£(x,0)=(x+l)e\/(0,y)=+2y,求f(x,y)的极值。

18、(本题满分10分)

计算二重积分“x(x+y以My,其中O={(x,y)\x2+y<2,y>x2}o

D

19、(本题满分10分)

已知函数/(%)=£71+7^+£yfi+tdt,求了(©零点的个数。

20、(本题满分11分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始

温度为120℃的物体在20°。恒温介质中冷却.30min后该物体温度降至30°。，若要使物体的温度继续降至21°C,

还需冷却多长时间？

21、(本题满分11分)

已知函数/(x)在区间［〃,+8)上具有2阶导数，f(a)=>0,设b>曲线y=/(x)在点(4/S))处的切线与

X轴的交点是(工,()),证明：a<xQ<bo

22、（本题满分II分）

710、

设矩阵A=1a—1,且川=0,（1）求a的值；（2）若矩阵X满足X-XA?-AX+AX42=Z，其中Z为3阶单

、01a,

位矩阵，求X。

23、（本题满分11分）

'02-3、勺-20、

设矩阵A=-13-3,相似于矩阵8=0匕0,

J一2a)«3"

（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P,使尸7A尸为对角矩阵。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一,选择题:1118小/每小题4先共32分.下列绿黑能出的四个进项中,只有项符合81

目要求帆球格所选项前的字母蝇誉眄指定位置上

(1)当X-。♦时，若山”(l+2»，U-cosi)G均是比了高阶的无方小，则a的取值范圉是()

(O(1.1)®)(ol)

CA)(2,+oo)(B)(1,2)

(2)下列曲线有渐近线的是()

(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx

(0y=x+sin—①)y=x2+sin2x

X

(3)设函数八力具有2阶导致，虱”=/(0)(1-力十/(1”，则在区间［。』上

(A)当20时,/(/Ng")⑻当穴x)NO时,/(z)<g«

©当八R之0时,/W>g(x)0))-一⑸NO时,/(x)<g(x)

x=/+7..,

(4)曲线4,上对应于：=1的点处的曲率半径是()

y=P+4/+l

⑻M⑻M

w—⑼—(010^/10CD)5^0

50100

(5)设函效/(力=arctan天，若/映联<:

(A)l⑻?

3叫叫

a?

(6)设函数〃。y)衽有界闭区域D上连续，在。的内部具有2阶连续偏导致.目藕足吗h。

砌

(A)〃a，y)的最大值和最小值都衽管的边界上取得

CB)叭x,y)的最大值和最小值都在D的内邰上取得

(C)以(x,y)峋最大值在£)的内抓取乐最小值衽D的边界上取得

(D)口(兀y)的最小值在Q的内新取得，最大值在。的边界上取冉

0a8。

〃00$

(7)行列式，=

0cd0

c00d

(A)(ad-bc^(B)-(ad-bc^

(C)-PdD)方储-不『

(8)设％,%,%均为3维向量，则对任意常数匕L向量组％+兀％,%+/%线性无关是向量组

%,七,%线性无荚的C)

(A)必要率充分条件(B)充分非必要条件

(0充分必要条件0»既非充分也业必要条件

二、填制；小国绿小题先共分,用将答案写在部嫌指定位■上,

»L14424••♦

((9)「-2----------dx=_________.

5x+2x+5

(10)设/V)是周期为4的可导奇函数,日1f(垃=26一1),xwR2],则/⑺=__________.

7

(11)设2=2。了)是由方程/*+9+/+z=i确定的函数，则应(£)=__________'

(12)曲线入的极坐标方程是「=/则乙花点/收)=§彳：处的切缀的直角坐标方程是

*

(13)一梗长为1蚓细棒也干x她的区间[0,1)匕若其线密度"(x)=-x，2x+l,则该细棒的质心

2

坐标了=__________・

（14）设二次型/（4/髀々）=42-％+2斗々+/马的负惯性指数是1，则。的取值范困

三、15-Z3小黑共M分.请榭峰写在管图恸S定位■上斛葡8写出文字说明、证

明过程或演算步藤.

（15）（本题满分10分）

「户?-1Tdi

求极限lim

—

x2ln[1+工

（16）（本题满分10分）

已知函数了=>卜）满足微分方程，+/y'=l-y'，且y（2）=0,求y（K）峋极大值与极小

值.

（17）（本题满分10分）

xsin{/rJx2+y2}

设平面区域£>=｛（石/）忤/+〃44,☆0,）之0）,计算JJ——U----------{dxdy.

o犬+y

（18）（本题满分10分）设函数f（u）具有2阶连续导致,z=f⑹cosy）满足

Q^2diz,

宓2+寺2=(4z+e*cosy)/,若/(°)=°J(0)=0・求/(u)的表达式.

（⑼体题满分10分）松函数/（力，式力随区间[ab]上岸续,目/（力单调增加，OWg（力41,

证明：

（I）0<gQ）di<x-a,xe[afb],

CIDJ：Q°Va）d同：/（x）gC.

（20）（本锢满分11分）设函数/也）=丁'，*40,1],定义函数列

1+XI」

力值）=/&）/6）=/（43）,.../6）=/6_1a））,...，记应是曲线7=4位）,直线1：=1

3

及x轴所圉成平面的形的面积.求极限hm心”

・T9

⑵)体题濡分11分)已知函数/(、尸)满足史・2(尸+1)・旦/卬加(=》《二*2yy

如

求曲线/(xj)・0所圉成的的形疑蜃线y-1旋转所成的艇转体的体积

1-234

(22)(本题4分11分)设A=0111.后为3阶跑位矩阵.

J20d

<1)求方程组Ar・O的一个基础解枭;

(II)求潇足四■石的所有定阵B.

11...ro…o1

ii.io…o2

(23)(本题庸分11分)证明n阶矩障...与.相似

•••••■

•••••■

J1...L、0…0"/

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

1.设cosx_1=xsina(x),|a(x)|<：,当x.0时，a(x)()

(A)比x高阶的无穷小(B)比x低阶的无穷小

(C)与x同阶但不等价无穷小(D)与x等价无穷小

(2、

2.已知y=/(x)是由方程cos(孙)一Iny+x=1确定，贝！)lim〃/--1()

W—KC

(A)2(B)1(C)-1(D)-2

sinX.XGTO,7T)ex

3.设/*)=〈2,xeg2/以外=*(9则(>

(A)/二乃为尸(X)的跳跃间断点.(B)x=乃为/")的可去间断点.

(C)/")在工=乃连续但不可导.(D)产(工)在尤=乃可导.

—!-v3<x<e

(x-l尸2

4.设函数/(X)=<,且反常积分收敛，则()

-----；—,x>e

,xlnx

(A)a<-2(B)a>2(C)-2<a<0(D)0<a<2

5.设函数z=2/⑹，其中/可微，则土当+告=()

xyoxdy

22

(A)2yf(xy)(B)-2yf\xy)(C)-f(xy)(D)--f(xy)

xx

6.设2是圆域。={5,训/+丁2《]}的第攵象限的部分，记4=口(》一幻必功，则()

(A)/]>0(B)Z2>0(C)/3>0(D)/4>0

7.设A,B,C均为〃阶矩阵，若AB=C,且B可逆，贝！1

(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.

(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.

(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.

(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.

a1](200、

8.矩阵aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是

UJI。00,

(A)a=0,/?=2(B)。=0,〃为任意常数

(C)。=2/=0(D)a=2,匕为任意常数

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

..f_ln(l+x)V

9.hm2-------=_______.

x)

10.设函数—d力，则)，=/*)的反函数1=广(丁)在y=0处的导数不|广。二

11.设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3e[--<0<-\t为参数,则L所围成的平面图形的面积为____________

I66；

x=arctant

12.曲线上,_7对应于t=1处的法线方程为______________.

y=In+r

13.已知弘=/'-此2],%="-我2、%=一位2、是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足

y(0)=0,y(0)=1方程的解为.

14.设A=(他)是三阶非零矩阵，网为其行列式，&.为元素与的代数余子式，且满足&+传=0(3=1,2,3),则

H=-------------.

三、解答题

15.（本题满分10分）

当冗-0时，1-COSXCOS2%COS3X与ax"是等价无穷小，求常数

16.（本题满分10分）

设D是由由线丁二五，直线x=〃3>0）及工轴所转成的平面图形，匕，匕分别是D绕入轴和），轴旋转一周所形成

的立体的体积，若10匕=匕，求a的值.

17.（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线工=3y,y=3x,x+y=8所围成，求^^dxdy.

D

18.（本题满分10分）

设奇函数/（乃在上具有二阶导数，且=证明：

（1）存在穴（0,1）,使得尸（3=1；

<2）存在”（-u）,使得广⑺+r（〃）=i.

19.（本题满分10分）

求曲线1一孙+V=1（x>0,y>0）上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.

20.（本题满分11）

设函数/W=lnx+-

X

⑴求/（X）的最小值；

⑵设数列kJ满足M匕+」一<1,证明极限limx”存在，并求此极限.

21.（本题满分11）

设曲线L的方程为y=-x2--lnx（l<x<e）.

42

（1）求L的弧长.

（2）设D是由曲线L,直线x=l,x=e及4轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标.

22.本题满分11分）

设4=]；,B=（b，问当〃，。为何值时，存在矩阵3使得AC—C4=B,并求出所有矩阵C.

23（本题满分11分）

卜”1V

设二次型/（%[,X2，X3）=2（qX]+〃2%2+〃3工3）2+（4尤1+。212+/工3）2.记二=%，4=82•

(1)证明二次型/对应的矩阵为2aar+印\

<2)若//?正交且为单位向量，证明了在正交变换下的标准形为2城+£.

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1・8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字

母填在答题纸指定位置上.

2

(1)曲线'=二「三的渐近线条数()

-1

(A)0(B)l(C)2(D)3

⑵设函数/'(x)=(e、-1)(/'—2)(泮—〃)，其中〃为正整数，则八0)=()

(A)(B)(一1)“(〃-1)!(C)(一1)"-7!(D)(―1)”〃！

(3)设4>0(〃=1,2,3),Sn=al+a2+a3++an,则数列｛£,｝有界是数列｛q｝收敛的

()

(A)充分必要条件(B)充分非必要条件

(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要

(4)设Ik=J：Jsinxdx,(A:=1,2,3),则有

()

(A)Z,<72<Z3(B)/3<Z2</,(C)/2</3<Z1(D)Z2</,</3

(5)设函数f(x,y)为可微函数，且对任意的都有笑2>0,空必<0,则使不等式成立的一个

dxdy

充分条件是

()

c

(A)xi>x2iyi<y2(B)()①)用<W，M>%

(6)设区域。由曲线丁=$足工,工=±工,y=l围成，则JJ(x5y-l)dAdy=

2D

()

(A)乃(B)2(C)-2(D)-乃

"1j。］(15

⑺设叫=0,a?=1，%=-1a4=1，其中q,C2，G，C4为任意常数，则下列向量组线性相关的为

()

(A)apa2,a3(B)四，％，%(C)a,,a3,a4(D)a2,a3,a4

100、

(8)设4为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵,且K”=010.若「二(四,%，%)，0=(«i+%，%，％)则。“从。

<0°2>

()

’100、」00、<200、1200、

(A)020(B)010(C)OIO(D)020

1。01,

2ob1°。2,W。2,

二、填空题：9“4小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答恩纸指定位置上.

(9)设y=j(x)是由方程f-y+i=e、-所确定的隐函数，则$1

一•I1111

(10)hmn\---+—_r+---+—_r=

mg\1+/?2+〃~n~+n)

、几rfi113z2az

(11)设z=/lnx+一，其中函数/(“)可微，则方左+yN=—

\y)ox°y

(12)微分方程)疝+卜一3y2)dy=0满足条件计1=1的解为y=

曲线)，=_^+%(％<0)上曲率为日的点的坐标是

(13)

(14)设A为3阶矩阵，|A|=3,4为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则忸41=,

三、解答题：15・23小题，共94分.请将解答写在等题缎指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

14-V1

已知函数〃x)=上上一二记〃=lim/(x),

sinxx

⑴求。的值；

⑴)若/―0时，/(x)-。与/是同阶无穷小，求常数左的值.

(16)(本题满分10分)

.一十F2

求函数/(x,y)=xe2的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L:y=hu的切线彻点为4又L与x轴交于8点，区域。由L与直线45围成,求区域。的面积及

。绕x轴旋转一周所得旋转体的体枳.

(18)(本题满分10分)

计算二重积分Jj职lb,其中区域。为曲线，•=1+cos6(04eW乃)与极轴围成.

D

(19)(本题满分10分)

已知函数/(x)满足方程/〃(x)+/'。)-2/(*)=0及/**)+/(*)=复\

(I)求f(x)的表达式；

di)求曲线丁二/(/)£/(一/辿的拐点.

(20)(本题满分10分)

■1+X/

证明xln——-+cosx>1+—,(-1<x<l).

\-x2

(21)(本题满分10分)

⑴证明方程炉+%1+=的整数)，在区间内有且仅有一个实根;

1Z/

(II)记⑴中的实根为乙，证明limx“存在，并求此极限.

(22)(本题满分11分)

’14。0、

01rz0-i

设4=，P=

001a0

00"

(I)计算行列式|A|：

(II)当实数。为何值时，方程组Ar=£有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11分)

’101、

己知A=：；：，二次型/&，9，毛)=/(47卜的秩为2,

(I)求实数。的值；

(Ji)求正交变换x=Qy将/化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

(A)选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将

所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1)已知当x-0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与c?是等价无穷小，则()

(A)=l,c=4