贵州省遵义市2024-2025学年高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析）

贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期10月联考数学学情检测试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册11.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知向量，.若，则（）A B. C. D.14.将函数的图像向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数的图像，则（）A. B. C. D.5.若对任意的，函数满足，则（）A.6 B.4 C.2 D.06.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.7.七巧板是一种古老中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（）A. B. C. D.8.如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为深入贯彻落实全国旅游发展大会精神，文化和旅游部启动“致敬新时代”红色故事宣讲活动.某中学积极响应，举行了一场“红色故事”讲解大赛，全校共60名学生参赛，比赛结束后，将这60名学生的大赛成绩（单位：分）进行整理，按50,60，60,70，，，90,100分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（）A.B.估计样本的70%分位数为81.5分C.若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为76.5分D.若按照分层随机抽样的方法从大赛成绩在与90,100内的学生中共抽取7人，则90,100内被抽取到的学生人数为310.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.BC.的图象与轴的交点坐标为D.函数的图象关于直线对称11.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的值可能为（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数，则的实部与虚部之积为________.13.已知单位向量，满足，且，则正数的值为________.14.已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.16.，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.（1）求，两人各自闯关成功的概率；（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.17.已知函数的图像经过点.（1）求值；（2）试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若，，求的取值范围.18.在锐角中，内角对边分别为，且.（1）证明.（2）若点在边上，且，求的取值范围.19.若，是函数ℎx在内的两个零点，则定义ℎx的型零点旋转函数为，且.将函数在内所有的零点从小到大排列后，记第个零点为，集合.（1）请用列举法写出.（2）设函数是的1型零点旋转函数，函数，，.（i）讨论φx（ii）若φx有两个零点，，证明.贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期10月联考数学学情检测试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册11.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先根据复数的运算求出，再根据共轭复数的定义即可求出.【详解】解：，，故．故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集的定义求解，【详解】因为，所以.故选：A．3.已知向量，.若，则（）A. B. C. D.1【正确答案】D【分析】由平行向量的坐标运算求解即可.【详解】若，则，解得.故选：D.4.将函数的图像向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由三角函数的平移变换求解即可.【详解】因为的最小正周期为，所以个最小正周期为，所以.故选：A.5.若对任意的，函数满足，则（）A.6 B.4 C.2 D.0【正确答案】D【分析】用赋值法即可求解.【详解】令，则由，可得，所以为常数函数，令，可得，故.故选：D6.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由圆台的体积公式求解即可.【详解】设圆台的上、下底面半径为，母线长为，高为h，所以，因此圆台的高为，该圆台的体积为.故选：B.7.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据古典概型求解即可.【详解】如下图，将七块三角形编号如下，所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为：，，，，，共有种，将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为，则编号的面积为，则编号的面积为，编号的面积为，任取两块板面积相等的基本事件为.从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.故选：C.8.如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由两角和与差的正弦、余弦公式结合正弦定理、余弦定理求解即可.【详解】由题意可知，，所以在中，因，，由正弦定理可得：，则，解得：，在中，所以，所以在，由余弦定理可得：，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为深入贯彻落实全国旅游发展大会精神，文化和旅游部启动“致敬新时代”红色故事宣讲活动.某中学积极响应，举行了一场“红色故事”讲解大赛，全校共60名学生参赛，比赛结束后，将这60名学生的大赛成绩（单位：分）进行整理，按50,60，60,70，，，90,100分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（）A.B.估计样本的70%分位数为81.5分C.若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为76.5分D.若按照分层随机抽样的方法从大赛成绩在与90,100内的学生中共抽取7人，则90,100内被抽取到的学生人数为3【正确答案】ACD【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答.【详解】对于A，由图知，解得，故A正确；对于B，成绩在内对应的频率为，成绩在内对应的频率为，因此第70百分位数位于区间内，，所以估计样本数据的第70百分位数约为，故B错误；对于C，平均数约为，故C正确；对于D，在与90,100学生的人数之比为，则应选取成绩在90,100内的学生人数为，故D正确.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的图象与轴的交点坐标为D.函数的图象关于直线对称【正确答案】AD【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出，判断A；利用特殊值可求出，进而求出的图象与轴的交点坐标，判断BC；判断的图象关于点对称，即可判断D.【详解】由图可知，的最小正周期，则，A正确；由图象可知时，函数无意义，故，由，得，即，则，即的图象与轴的交点坐标为，B，C错误；由于，则的图象关于点对称，可得函数的图象关于直线对称.故选：AD11.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的值可能为（）A. B. C. D.【正确答案】ABD【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.【详解】由，解得.设，则.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数，则的实部与虚部之积为________.【正确答案】【分析】运用复数乘法进行化简计算，再根据实部虚部概念计算即可.【详解】，则虚部为−2，实部为，乘积为.故答案为.13.已知单位向量，满足，且，则正数的值为________.【正确答案】【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案.【详解】因为，是单位向量，且，所以，所以，所以，解得：或.则正数的值为.故答案为.14.已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________.【正确答案】①.4②.【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解.【详解】在中，，.根据正弦定理（为外接圆半径），这里，，所以，解得.因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径.因为、、三点所在平面经过球心，当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径，所以点到平面的距离的最大值为.则球的表面积为.故；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面.（2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面.【小问1详解】连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点，又为的中点，则有，平面，平面，所以平面.【小问2详解】，分别为，的中点，则有，平面，平面，则有平面，，分别为，的中点，有，又，则有，平面，平面，则有平面，平面，，所以平面平面.16.，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.（1）求，两人各自闯关成功的概率；（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.【正确答案】（1），两人各自闯关成功的概率都是.（2）【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得，两人各自闯关成功的概率；（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．【小问1详解】记三人各自闯关成功分别为事件，三人闯关成功与否得相互独立，且满足，解得，，所以，两人各自闯关成功的概率都是.【小问2详解】设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，则，所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.17.已知函数的图像经过点.（1）求的值；（2）试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若，，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）奇函数，理由见解析（3）【分析】（1）把图像上的点代入函数解析式即可求的值；（2）由函数奇偶性的定义判断并证明；（3）由函数单调性解不等式，取最值解决恒成立问题.小问1详解】函数的图像经过点，有，即，解得.【小问2详解】为奇函数，理由如下：由（1）得，函数定义域为R，，所以为奇函数.【小问3详解】函数和在R上都增函数，所以在R上单调递增，由，则有，所以，恒成立，则有，所以的取值范围为.18.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）证明.（2）若点在边上，且，求的取值范围.【正确答案】（1）证明见解析（2）.【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.【小问1详解】证明：因