2024-2025学年福建省厦门市高二上册第一次月考数学学情检测试卷（含解析）

2024-2025学年福建省厦门市高二上学期第一次月考数学学情检测试卷本试卷共4页.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.3.已知直线与垂直，则实数a值是（）A0或3 B.3 C.0或 D.4.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（）A. B.C. D.5.已知圆，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（）A. B. C. D.46.已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（）A B. C. D.7.已知圆关于直线对称，则的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.48.已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（）A. B. C.6 D.4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（）A.C的离心率为 B.C.最大值为 D.使为直角的点P有4个10.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（）A.的取值范围为B.四边形面积的最小值为C.存在点使D.直线过定点11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（）A.曲线的图象由两个圆构成B.的最大值为C.的取值范围为D.直线与曲线有且仅有3个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______．13.已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为__________.14.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________.四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．16.已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）.（1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值.17.已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.（1）求点B的坐标；（2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围.18.在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切．（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；（3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．19.已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线（1）若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程；（2）当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由；（3）是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程.2024-2025学年福建省厦门市高二上学期第一次月考数学学情检测试卷本试卷共4页.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角.【详解】依题意，直线经过点，则直线的斜率为,故直线的倾斜角为.故选：D.2.一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，且，故，所以椭圆的标准方程为.故选：B3.已知直线与垂直，则实数a的值是（）A.0或3 B.3 C.0或 D.【正确答案】D【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值【详解】直线与直线互相垂直，，即，解得或不满足直线，舍去)故选：D.4.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，直线过圆内定点，斜率可正可负可为0，ABD选项都有可能，C选项不可能.故选：C.5.已知圆，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（）A. B. C. D.4【正确答案】A【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，由关于直线的对称点在入射光线上，由两点求斜率公式求解.【详解】解：由，得，圆心为，由已知，反射光线经过，故点关于直线的对称点在入射光线上.且光源，入射光线的斜率.故选.本题考查圆的切线方程，考查直线、点关于直线的对称问题，属于基础题.6.已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用，计算可得结论.详解】由圆，可得圆心，半径，又A−2,0，所以，所以，因为，所以.故选：A.7.已知圆关于直线对称，则的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【正确答案】D【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，即，则因为，且，所以，所以，当且仅当即等号成立，则的最小值是4.故选：D.8.已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（）A. B. C.6 D.4【正确答案】D【分析】求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，，，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解．【详解】圆关于直线对称的曲线N点关于直线的对称点在圆上，则有，故当M，P，三点共线时，距离和最小．从而转化成求M，两点距离的最小值．而，故选：D本题主要考查两圆上点的距离最值问题．由于一个动点在直线上，两圆在直线的一侧，因此把其中一圆关于直线对称，由对称圆来求解最小值．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（）A.C的离心率为 B.C.的最大值为 D.使为直角的点P有4个【正确答案】BCD【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为，，，故A错误；由椭圆定义可知，故B正确；由椭圆的性质知，故C正确；易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确.故选：BCD10.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（）A.的取值范围为B.四边形面积的最小值为C.存在点使D.直线过定点【正确答案】ABD【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.【详解】圆心到直线的距离为，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；对于D，设，则，，以PC为直径的圆的圆心为，半径为，所以以PC为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以PC为直径的圆的公共弦，联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；故选：ABD11.已知曲线，点为曲线上任意一点，则（）A.曲线的图象由两个圆构成B.的最大值为C.的取值范围为D.直线与曲线有且仅有3个交点【正确答案】AC【分析】根据题意，化简方程为，结合圆的标准方程，可判定A正确；由表示点到原点距离的平方，可判定B错误；设过点且与圆相切的直线方程为，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线与圆均相切，可判定D错误．【详解】对于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确；对于B中，由表示点到原点距离的平方，最大值为，所以B错误；对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为，点到直线的距离，则直线与圆相切，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，又由表示是点到点的斜率，故的取值范围为，所以C正确；对于D中，由C项可知直线与圆均相切，所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误．故选：AC．方法点睛：有关与圆有关的最值问题的求解策略：1、借助几何性质与圆的有关最值问题，根据代数式的几何意义，结合数形结合思想求解：①形如：形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；②形如：形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；③形如：的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题；2、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；3、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______．【正确答案】①②.【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角.【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为，设直线的倾斜角为，可得，可得则直线的倾斜角的大小为.故；.13.已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为__________.【正确答案】【分析】设是椭圆的右焦点，分析可知为平行四边形，根据椭圆定义可得，利用余弦定理运算求解.【详解】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知：，则为平行四边形，则，即，因为，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为.14.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________.【正确答案】【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可．【详解】由题意可知，动直线，经过定点，动直线即，经过定点，时，动直线和动直线的斜率之积为，时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，，．设，则，，由且，可得，，，，，，故答案为.关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围.四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得，，即可和椭圆方程；（2）把直线与椭圆方程进行联立，结合弦长公式求解即可.【小问1详解】由题意可设C:x则，即，且，可得，所以椭圆方程为.【小问2详解】设，将直线与椭圆联立，得，解得或所以弦长.16.已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）.（1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解；（2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证.【小问1详解】根据题意，，，设，则，由于，所以，则，得，将其代入，得，故点的轨迹方程为；【小问2详解】设，则，直线方程是，代入，得，直线方程是，代入，得，所以，即为定值．方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。（2）相关点法：若轨迹点Px,y与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。（3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。（4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。（5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法，17.已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.（1）求点B的坐标；（2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段AB的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标；（2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可.【小问1详解】设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有线段AB的中点在直线上，即①，又直线直线，且直线的斜率为，则①，联立①①式子解得，故点B的坐标【小问2详解】设，由，则，故，化简得，所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径.又因直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，则，解得故的取值范围为.18.在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切．（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；（3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）（3）存在，且【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程.（2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值.（3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标.【小问1详解】由于，，则线段与轴平行，且与圆相切.所以圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为.【小问2详解】由于，所以，由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为，所以.【小问3详解】直线的方程为，假设存在符合题意的点，设，则①，由于的任意性，不妨设或，带入①得，，解得或（舍去），所以（负根舍去），将带入①得，整理得，则在圆上.所以，这样的点是存在的，坐标为，此时.关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断.19.已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的