2024-2025学年高中数学课下梯度提能二十平面向量数量积的坐标表示模夹角新人教A版必修4

PAGE1-课下梯度提能（二十）一、题组对点训练对点练一平面对量数量积的坐标运算1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．12．已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，则向量a在b方向上的投影为()A.eq\r(3)B．3C．－eq\r(3)D．－33．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝eq\r(3)，则b＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4)))D．(1，0)对点练二向量模的问题4．已知平面对量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4eq\r(2)B．2eq\r(5)C．8D．8eq\r(2)5．设平面对量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________对点练三向量的夹角与垂直问题6．设向量a＝(1，0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝eq\f(\r(2),2)C．a－b与b垂直D．a∥b7．以原点O和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．8．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.对点练四平面对量的数量积问题9．在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)10．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且eq\o(DC,\s\up8(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(DA,\s\up8(→))，则eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝________.二、综合过关训练A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．4D．－42．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)3．a，b为平面对量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于(A.eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C.eq\f(16,65)D．－eq\f(16,65)4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．7．已知O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案[学业水平达标练]1.解析：选Da·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.2.解析：选D向量a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－6,2)＝－3.选D.3.解析：选B法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝eq\r(3)x＋y＝eq\r(3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,\r(3)x＋y＝\r(3),y≠0，))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))即b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).故选B.法二：利用解除法．D中，y＝0，∴D不符合题意；C中，向量eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4)))不是单位向量，∴C不符合题意；A中，向量eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))使得a·b＝2，∴A不符合题意．故选B.4.解析：选D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝eq\r(82＋（－8）2)＝8eq\r(2).5.解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)6.解析：选C由题意知|a|＝eq\r(12＋02)＝1，|b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故a－b与b垂直．7.解：设点B坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．∵⊥，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0.又∵||＝||，∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，即10x＋4y＝29.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－5x－2y＝0，,10x＋4y＝29，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(7,2).))∴点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(3,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2))).＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，\f(3,2))).8.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2eq\r(5)，∴eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(5)，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2eq\r(5)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4.))故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)∴(a＋2b)·(2a－b)＝0即2a2＋3a·b－2b2＝∴2×5＋3a·b－2×eq\f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq\f(5,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.9.解析：选B以点C为坐标原点，分别以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，所以eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))·(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1.故选B.10.解析：依据题意得eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)\o(BA,\s\up8(→))＋\f(4,7)\o(BC,\s\up8(→))))·(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)))＝eq\f(3,7)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,7)×16＋eq\f(4,7)×4－eq\f(4,7)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,7)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(32,7)＝－eq\f(1,7)×4×2×cos120°－eq\f(32,7)＝－4.答案：－4二、综合过关训练1.解得m＝4.2.解析：选C设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP→·BP→最小，此时点P的坐标为(3，0)．3.解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(－5，12)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(16,65).4.解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)5.解析：依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝eq\f(3π,4)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))6.解析：因为a与b的夹角为锐角，所以0<eq\f(a·b,|a||b|)<1，即0<eq\f(3λ2＋4λ,\r(5λ2)×\r(9λ2＋4))<1，解得λ<－eq\f(4,3)或0<λ<eq\f(1,3)或λ>eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a