2024-2025学年高中数学习题课三数系的扩充与复数的引入北师大版选修2-2

PAGE1-习题课（三）数系的扩充与复数的引入1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i解析：选A由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.2．复数z满意(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：选Dz＝eq\f(1＋i2,－1＋i)＝eq\f(2i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2i－1－i,2)＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．假如复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则()A．|z|＝2 B．z的实部为1C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i解析：选C因为z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,2)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C.4．在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up7(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up7(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq\o(CA,\s\up7(→))对应的复数为()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4i解析：选D∵eq\o(AB,\s\up7(→))对应复数2＋i，eq\o(BC,\s\up7(→))对应复数1＋3i，∴eq\o(AC,\s\up7(→))对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴eq\o(CA,\s\up7(→))对应的复数是－3－4i.5．已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的实部为－3，则|z|＝()A.eq\r(10) B．2eq\r(3)C.eq\r(13) D．5解析：选D∵z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)的实部为－3，∴eq\f(1－a,2)＝－3，解得a＝7.∴z＝－3－4i，则|z|＝5.故选D.6．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0解析：选C设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z肯定为虚数，正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))则z2＝－b2<0，正确．7．复数z＝eq\f(3＋i,1＋2i)的共轭复数是________．解析：依题意得z＝eq\f(3＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．解析：复数a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i为纯虚数，则a－3＝0，即a＝3.答案：39．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝eq\f(z,2＋i)，且|ω|＝5eq\r(2)，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，则ω＝eq\f(ki,2＋i1＋3i).∵|ω|＝5eq\r(2)，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．答案：±(7－i)10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝eq\x\to(z)，求实数a，b的值．解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，∵eq\x\to(z)＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a＋2＝－1，))∴a＝－3，b＝4.11．已知z＝eq\f(x－i,1－i)(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－eq\f(3,2)，求ω·eq\x\to(ω).解：ω＝z(z＋i)＝eq\f(x－i,1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－i,1－i)＋i))＝eq\f(x－i,1－i)·eq\f(x＋1,1－i)＝eq\f(x＋1,2)＋eq\f(x2＋x,2)i.依据题意eq\f(x＋1,2)－eq\f(x2＋x,2)＝－eq\f(3,2)，得x2－1＝3.∵x>0，∴x＝2，∴ω＝eq\f(3,2)＋3i.∴ω·eq\x\to(ω)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋3i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－3i))＝eq\f(45,4).12．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解：设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x