2024-2025学年高中数学课时分层作业13三角形中的几何计算含解析北师大版必修5

PAGE1-课时分层作业(十三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，则△ABCA．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．直角三角形B[在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2A＝1，,sin2B＝1.))又A、B为△ABC的内角，∴A＝B＝45°.∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.]2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A．30° B．60°C．120° D．150°C[由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.]3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是()A．4eq\r(3) B．5C．5eq\r(2) D．6eq\r(2)C[∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2，∴c＝4eq\r(2).又b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝1＋32－2×1×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝25，∴b＝5，∴2R＝eq\f(b,sinB)＝5eq\r(2).]4．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则AC边上的高为()A．eq\f(3,2)eq\r(2) B．eq\f(3,2)eq\r(3)C．eq\f(3,2) D．3eq\r(3)B[由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝eq\f(1,2)，又A为三角形的内角，∴A＝eq\f(π,3)，∴h＝AB·sinA＝eq\f(3\r(3),2).]5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)C[由2S＝(a＋b)2－c2得2×eq\f(1,2)absinC＝a2＋b2－c2＋2ab，得absinC＝2abcosC＋2ab，sinC－2cosC＝2，∴sin2C＋4cos2C－4sinCcosC＝4，∴eq\f(tan2C－4tanC＋4,tan2C＋1)＝4，∴tanC＝－eq\f(4,3)或0(舍去)，故选C.]二、填空题6．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角Ceq\f(π,3)[∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝eq\f(1,2)，又C为△ABC的内角，∴C＝eq\f(π,3).]7．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．eq\f(\r(3),2)[∵D为BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×eq\f(1,2)×|AB||AD|·sin∠BAD＝2×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),2).]8．如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝________.eq\f(7\r(6),3)[cosA＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°，∴C＝60°.从而eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(7,sin60°)，∴BC＝eq\f(7sin45°,sin60°)＝eq\f(7\r(2),\r(3))＝eq\f(7\r(6),3).]三、解答题9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．[解]连接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosD＝62＋42－2×4×6cos60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(22＋42－28,2×2×4)＝－eq\f(1,2).又0°<B<180°，故B＝120°.所以四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC＝eq\f(1,2)AD·CDsinD＋eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×4×6sin60°＋eq\f(1,2)×2×4sin120°＝8eq\r(3).10．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3).(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的长．[解](1)因为∠D＝2∠B，cosB＝eq\f(\r(3),3)，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3)，因为∠D∈(0，π)，所以sinD＝eq\r(1－cos2D)＝eq\f(2\r(2),3).因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝eq\f(1,2)AD·CD·sinD＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2).(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2eq\r(3)，因为BC＝2eq\r(3)，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以eq\f(2\r(3),sinB)＝eq\f(AB,sinπ－2B)＝eq\f(AB,sin2B)＝eq\f(AB,2sinBcosB)＝eq\f(AB,\f(2\r(3),3)sinB)，所以AB＝4.[实力提升练]1．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为()A．2 B．3C．4 D．5C[设最大的边长为x，最小的边长为y.由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,xy＝11))，A＝60°，∴y≤a≤x，由余弦定理，得a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.]2．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(\r(3)＋\r(6),2) D．eq\f(\r(3)＋\r(39),4)B[设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即7＝c2＋4－2×2×c×cos60°，c2－2c－3＝0，即(c－3)(c＋1)＝0，又c＞0，∴c＝3.设BC边上的高等于h，由三角形面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)BC·h，知eq\f(1,2)×3×2×sin60°＝eq\f(1,2)×2×h，∴h＝eq\f(3\r(3),2).]3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝________.eq\f(\r(10),10)[易知，在△ECD中，ED＝eq\r(2)，EC＝eq\r(5)，CD＝1，由余弦定理得：cos∠CED＝eq\f(ED2＋EC2－CD2,2ED·EC)＝eq\f(3\r(10),10)，所以sin∠CED＝eq\f(\r(10),10).]4．如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．5eq\r(3)[连接BD，在△BCD中，BD＝eq\r(BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD)＝eq\r(22＋22－2×2×2cos120°)＝2eq\r(3).∵∠CBD＝eq\f(1,2)(180°－∠BCD)＝30°，∴∠ABD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·BD＋eq\f(1,2)BC·CDsin∠BCD＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＋eq\f(1,2)×2×2×sin120°＝5eq\r(3).]5．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．(1)求角A的大小；(2)求eq\r(3)cosC－sinB的取值范围．[解](1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c．即b2＋c2－a2＝bc．∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).又∵A为三角形内角，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵B＋C＝eq\f(2,3)π，∴C＝eq\f(2,3)π－B．∵△ABC为锐角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜B＜\f(π,2)，,0＜\f(2,3)π－B<\f(π,2).))∴eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).又∵eq\r(3)cosC－sinB＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－B))－sinB＝－eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－