2024-2025学年高中数学课时分层作业16抛物线的几何性质二含解析新人教B版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(十六)抛物线的几何性质(二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2B.eq\r(2)C．4D．2eq\r(2)C[设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝eq\f(2,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(2,1＋cosθ)，则|AF|·|BF|＝eq\f(2,1－cosθ)×eq\f(2,1＋cosθ)＝eq\f(4,sin2θ)≥4.]2．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝eq\f(3,2)y B．x2＝6yC．x2＝－3y D．x2＝3yD[设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2))消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]3．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为eq\f(3,2)，则|AB|的最大值为()A．1B．2C．3D．4D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.]4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋eq\f(1,2)＝0的距离等于()A.eq\f(7,4)B．2C.eq\f(9,4)D．4C[易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，∴|AB|为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4.∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(7,4).∴AB中点到直线x＋eq\f(1,2)＝0的距离为eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).]5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq\r(3)，则抛物线的方程为()A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3xC．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6xA[设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3)，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝eq\r(3).将y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x＝±1，将点(1，eq\r(3))，(－1，eq\r(3))分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝eq\f(3,2)或m＝－eq\f(3,2).故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.]二、填空题6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝______.－eq\f(1,4)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y＝ax2，))得ax2－x－1＝0.令Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq\f(1,4).]7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．6[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.]8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．y＝x[∵焦点F为(1,0)，∴抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，两式相减得yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)＝4(x2－x1)．整理得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(4,y2＋y1)，由于kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，而AB中点为(2,2)，所以y2＋y1＝4，于是kAB＝eq\f(4,4)＝1，因此直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.]三、解答题9．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的值；(2)求证：eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))是一个定值．[解](1)由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，∴eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))是一个定值．10．已知平面内一动点P(x，y)(x≥0)到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△AOB面积的最小值.[解](1)∵平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x＝－1的距离，∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝4x(x≥0)．∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，过点F的直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x，可得y2－4my－4＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2∴S△AOB＝eq\f(1,2)|y1－y2|＝eq\f(1,2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(16m2＋16)，∴当m＝0时，△AOB的面积最小，最小值为2.[实力提升练]1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,2)C．1D．2D[由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1(图略)，则|MM1|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2).|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6，∴2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.]2．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)C[因为A，B关于直线x＋y＝0对称，所以可设AB：y＝x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋3，,y＝x＋m))得x2＋x＋m－3＝0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，设线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(1,2)，y0＝x0＋m＝－eq\f(1,2)＋m.又因为M在直线x＋y＝0上，所以－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋m＝0，即m＝1，所以方程①可化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2，y1＝2，y2＝－1，所以|AB|＝eq\r(－2－12＋－1－22)＝3eq\r(2).]3．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是________．2[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝[－4k＋2]2－4×k2×4＞0，,x1＋x2＝\f(4k＋2,k2)＝2×2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞－1，,k＝－1或k＝2，))即k＝2.]4．已知斜率为eq\f(1,2)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．(2，＋∞)[设直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(2p,y1)＋eq\f(2p,y2)＝eq\f(2py1＋y2,y1y2)＝eq\f(2p,b)＞2.]5．(2024·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝eq\f(1,2)x＋1或y＝－eq\f(1,2)x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝2x))得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝eq\f(2,k)，y1y2＝－4.直线BM