新高考数学一轮复习讲义：函数概念与基本初等函数

新高考数学一轮复习讲义：函数概念与基本初等函数

§2.1函数的概念及其表示

【考试要求】

1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

【知识梳理】

1.函数的概念

一般地，设儿4是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系H使对于集合力中的任意

一个数x在集合夕中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：力一方为从集合A到集

合5的一个函数，记作y=f(x),A.

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y=F(x),力中，x口」做自变量，x的取值范围:叫做函数的定义域;与A■的值

相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x£4｝叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这

种函数称为分段函数.

(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数

的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

【微思考】

1.直线x=a(a是常数)与函数y=F(x)的图象有多少个交点？

提示0个或1个.

2.函数定义中，非空数集4夕与函数的定义域、值域有什么关系？

提示函数的定义域即为集合小值域为集合8的子集.

【基础自测】

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(D若n=R,3=｛x\x>0］,ftx^y=\x\,其对应是从力到〃的函数.(X)

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(X)

(3)尸3+，2—x是一个函数.(X)

(4)函数/=〃>)的图象可以是一条封闭的曲线.(X)

题组二教材改编

2.函数/'(另二*7二1+七的定义域为

X4

答案［0,2)U(2,4-00)

2-1^0,

解析依题意

x—2K0

解得x20且刀片2,

・•・原函数的定义域为［0,2)U(2,+oo).

［2\xWl,

3.已知函数/'(力=则f(2)=________,

fx—1,x>l,

答案2

解析A2)=f(l)=2l=2.

4.函数FCr)=x-,在区间⑵4］上的值域为.

X

公上「-

口案|_35'T15

解析F(x)=x-1在区间⑵4］上单调递增，

X

又A2)=-,

f(4)=竽，

「315-

故f(x)的值域为佟-.

题组三易错自纠

5.下列图形中可以表示以，仁｛xIOWxWl｝为定义域，N=｛y［0Wj<l｝为值域的函数的图象

是()

答案c

解析A选项中的值域不满足,B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数

的定义可知选项C正确.

6.已知f(y[x)=*+、「一1,则f(x)=

答案*十彳一1,x'O

解析令t=y[x,则t^O,x=t2,

•••r&Ql+LlgO),

f[x)=x+x—1,0.

第1课时函数的概念及其表示

题型一函数的概念

1.下列各曲线表示的尸与彳之间的关系中，y不是x的函数的是（）

答案C

2.(多选)下列各组函数相等的是()

A.f(x)=JV-2x-1,g(s)=s-2s—\

^-1

B.f(x)=x-1,g(x)=.

IX1

x,x20,

c.f[x}=y[7,g(x)='

一x,KO

D.f（x）=yj—xtg（公=£=x

答案AC

3.已知集合A{xOW启4},0=bdOWj<2},下列从尸到0的各对应关系F不是函数的

是.（填序号）

1।2

①£尸尸产@f：x-y=-x\®fzx—尸淳；④fx-^y=y[x.

Jo

答案③

解析③中，ft.¥-*y=1x,x£[0,4]时，y=|xe0,翡。，故不满足函数的定义.

思维升华（1）函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中

有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而〃中有可能存在与/

中元素不对应的元素.

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.

题型二求函数的解析式

例1求下列函数的解析式：

(1)已知/'(1—sinx)=cos2^r,求/'(x)的解析式；

⑵已知F(叶+系++求/U)的解析式；

(3)已知F5)是一次函数且3F(x+D—2F(x—l)=2x+17,求f(x)的解析式;

(4)已知F(x)满足2f(x)+〃一力=3右求Ax)的解析式.

解(1)(换元法)设l—sinx=bEW[0,2],

2

则sinx=l—tfW(l-sinx)=COSAT=1—sinxf

.,./(t)=l-(i-t)2=2t-t2,te[0,2].

即f(x)=2x—M,xW[0,2].

⑵(配凑法)•・"(，+号=*++=(*+52—2,

.\ra)=/-2,(—8,-2]U[2,+8).

(3)(待定系数法),・"(x)是一次函数，

可设f(x)=ax+Z?(a#O),

/.3[a(x+1)+8]—2[a(x—1)+b]=2x+17.

即ax+(5a+A)=2x+17,

a=2,a=2t

解得

5a+6=17,b=l.

・•・〃/)的解析式是fix)=2x+7.

(4)(方程组法)・・・2F(x)+f(—x)=3x,①

，将x用一x替换，得2f(—x)+f(x)=-3必②

由①@解得/U)=3x

思维升华函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件*晨力)=网力，可将ax)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替

代点⑼，便得”力的表达式.

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(3)换元法：己知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(4)方程思想：已知关于F(力与f(号或M-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另

外一个等式组成方程组，通过解方程组求出Ax).

跟踪训练1(1)若F则f(*)=.

答案一1(万/0且xWD

X—\

\

X1

解析fix)=-=---且xW1).

1x—\

1—

X

(2)已知y=f(>)是二次函数，若方程f(x)=O有两个相等实根，且/(>)=2>+2,则人>)

答案/4-2x4-1

解析设f(x)=a/+8x+c(aW0),

则F(x)=2ax+b,

；・2ax+Z?=2x+2,则a=l,b=2.

=V+2x+c,又f5)=0,即V+2x+c=0有两个相等实根.

:.d=4—4c=0,则c=l.故f*(力=4+2*+1.

(3)已知F(x)满足F(x)—2f0)=2后则f(x)=.

出金2x4

答案一1■一五

解析Vf(x)—2f(：)=2必①

以工代替①中的x,得F£)—2〃力=2,②

XX

4

①+②X2得一3F(x)=2才+-,

X

・f()=_目__£

••八刈33/

题型三分段函数

命题点1求分段函数的函数值

cosnx,xW1>则f(号+F(一胃的值为()

例2己知f(x)=

fx-1+1,x>lt

3

八

3-2-

命题点2分段函数与方程、不等式问题

[2\x>C,

例3(1)已知函数/Xx)=.…若F(a)+f(D=0,则实数a的值等于()

[x+1,W0.

A.—3B.—1C.1D.3

答案A

解析V/-(l)=21=2,・•・/•(&)+2=0,・・・f®=—2,

当aWO时，F(a)=a+l=-2,；・a=-3,

当a>0时，f(a)=2fl=-2,方程尢解,

综上有a=-3.

10g2X,心1,

⑵已知函数F(x)=(1则不等式〃x)这1的解集为()

XI>

1-/

A.(—8,2]B.(-OO,0]U(1,2]

C.[0,2]D.(—8,0]U[l,2]

答案D

解析•・•当时，log2启1,；・1W启2.

当水1时，—W1,解得xWO,

・・・f(x)Wl的解集为(-8,OJUL1,2J.

思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路

①求函数值：当出现/、(〃&))的形式时，应从内到外依次求值.

②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,

切记要代入检验.

(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.

2

才+—3

跟踪训练2(1)设/'(x)=Jx'"'则/'(/*(-1))=,FJ)的最小值

.4+1,K1.

是________.

答案02也一3

解析vr(-i)=2,

2

AAA-D)=/(2)=2+--3=0,

2

当时，F(x)=x+:—322/—3,

当且仅当才=/时取等号，f(x).=2镜一3,

当水1时，f(x)=9+121,x=Q时取等号，

：•/>(A)min=1>

综上有f(x)的最小值为2位一3.

fx+1,xWO,(j\

⑵设函数5则满足f(*)+F*—扑1的”的取值范围是________.

(2\x>0,\2/

答案«，+8)

解析当X*时，2*+201恒成立，・・・*,

当时，2r+x—1>1，

即2"+x>1•恒成立，

乙

当xWO时，x+1+x—解得一宗xWO,

综上有X的取值范围是（一［,+8）

课时精练

【基础保分练】

1.下列所给图象是函数图象的个数为（）

答案B

解析图象①关于x轴对称，*>0时，每一个x对应2个必图象②中刖对应2个M所以

®®均不是函数图象；图象③④是函数图象.

（2r+,,xWO,

2.已知函数F（x）=,।、八则f"（8））等于（）

1—log2x,x>0,

11

A.-1B.--C-D.2

乙乙

答案c

解析vr(8)=1-log28=1-3=-2,

/.AA8))-/(-2)-2-2+,-1.

3.设函数Fx,则的表达式为（）

l+x.,.B.当D

X—1

1—x2x/、

C京(B—1)

答案C

解析令则k1，

•**At)=]+-

即f（x）一D.

4.如图，△力如是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形如〃是四分之一圆的扇形，

点〃在线段加上，PQLAB,且用交力。或交弧必于点0,设加三双仅水2）,图中阴影部分

表示的平面图形力々（或APQD）的面积为y,则函数y=f（x）的大致图象是（）

答案A

解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：（D当时，y随x的增大而增大,

而且增加的速度越来越快.（2）当1<水2时，y随4的增大而增大，而且增加的速度越来越

慢.分析四个选项中的图象，只有选项A符合条件.

[2r,启0,1

5.（多选）设函数f（x）=「.、八则使〃向=9的a的值为（）

Ilog2x|,x>0,乙

A.—1B.1C.D.

答案ACD

解析由题意知，若aWO,则解得a=-1；

11-1

若a〉0,则|log2al=5，解得a=2?或a=22.

即a=巾或&=乎.故选ACD.

6.（多选）具有性质：f（力的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函

数满足“倒负”变换的函数的是（）

11—X

A.y=x—B.y=lnT^一

X1+X

.x,0<KL

—0,x=l,

C.y=QxD.f(x)=<

—,x>1

IX

答案AD

解析对于A,f(x)=x一±f(3=1-x=—f(x),满足题意：

XX

对于B,F(x)=lnA：，则F(；)=ln31r—F(x),不满足；

i--

对于C,fa=e"=ex~1,—f(x)=-ev丰fg,不满足;

rii

o<-<i,

XX

对于D,f自=<0,；=1，

x

则f(3=一1(*)满足“倒负”变换，故选AD,

7.已知F(J)=lgx,则〃2)=.

答案jig2

£

解析令f=2,则X=23

.e./(2)=lg2^=1lg2.

(x+bKI,

8.已知函数f(x)=Jf।若FCrt—l))=3,则方=

[2-1,Gl,

答案3

解析・・"(-1)=6—1,

・・・W=3,

当b-1^1即42时，

21—1=3,解得6=3,

当。-1<1即从2时，。-1+6=3,解得。=2(舍)，

综上有6=3.

—殳—2*+1X0

9.已知函数f(x)=L、八’’则满足〃血>1的实数a的取值范围是

答案(一2,0)U(0,+8)

解析因为/Xa)”,

仿20,

解得a〉0,

ZZ1♦

p<0,

2

@|-a-2a+l>E解得一2〈水0.

由①②知一2<水0或a>0.

10.已知函数/(*)满足fd+：f(一力=2x(xW0),则F(—2)=

79

答案-

2-4

解析令x=2,可得F(习+义人一2)=4,①

令广一去可得F(—2)—2fQ)=-l,②

联立①②解得/*(—2)=：,f

3x4-5,启0,

11.已知函数/'(x)的解析式为f(x)=x+5,0<xCl,

.—2x4-8,x>\.

(1)求f0，f(十)，「(一1)的值；

(2)画出这个函数的图象；

(3)求f(x)的最大值.

3

解⑴・・・5>i,

:.ff|j=-2x|+8=5.

・.yi,

“用」+5=3

)nn

V-l<0,・・・f(-l)=-3+5=2.

(2)这个函数的图象如图.

在函数f(x)=3x+5的图象上截取xWO的部分，

在函数f(x)=x+5的图象上截取0＜启1的部分，

在函数F(力=-2＞十8的图象上截取x＞\的部分.

图中实线组成的图形就是函数fCr)的图象.

(3)由函数图象可知，当x=l时，f(x)取最大值6.

12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫

做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离门m)与汽车的车速x(km/h)满足下列

关系：尸痣+加叶〃(%〃是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车

的车速x(km/h)的关系图.

(1)求出y关于x的函数解析式；

(2)如果要求刹车距离不超过25.2m,求行驶的最大速度.

解(1)由题意及函数图象，

「40।

TTT+40/W+/7=8.4,

乙UU

得＜

602

TTT+60/»+/?=18.6,

、乙UU

解得〃=0,

/x

所以y=200+l00^^0^,

(2)令前+砺W25.2,

得一72WxW70.

・"20,・・・0WxW70.

故行驶的最大速度是70km/h.

【技能提分练】

[2-\启0,

13.设函数f(x)=、八则满足f(x+l)〈F(2x)的x的取值范围是—

1,x>0,

答案(一8,0)

解析画出〃X)的图象如图所示，

解得水0,故X的取值范围是(一8,0).

fj/4-x,*20,

14.已知函数Ax)=°/八若则实数a的取值范围为

[―3x,K0,

答案(一8,-2)U(2,+8)

解析当a=0时，显然不成立.

当a>0时，不等式f(a)—f[-a)]>0等价于a—2a>0,解得a>2.

当水0时，不等式a[f(a)—f(-a)]>0等价于一才一2水0,解得水一2.

综上所述，实数a的取值范围为(-8,-2)U(2,+8).

【拓展冲刺练】

2x+a,-1<XO,

15.设/(约是定义在R上的函数，且/(*+2)=/八力，f[x)=其

be\OWxWl,

中a,6为正实数，e为自然对数的底数，若f©=/•©,则2的取值范围为.

答案(平e,+8)

解析因为f(x+2)=隹F(x),

C)=2e”fe+2

2

所以啦(a-D=2eZ?,

所以a=^eb+l,

因为b为正实数，

所以今=亚华旦=啦。+呆(镜e,+8),

故慨的取值范围为(、「e,+8).

16.已知函数f(x)

(1)求/'(2)与fe)，f⑶与f

(2)由(1)中求得的结果，你能发现〃才)与fg)有什么关系？证明你的发现;

(3)求F(2)+f◎+F(3)+Ft)+…+F(2021)+/,(端)的值.

¥1

解⑴由《)=讦7n—7Tp

所以"2)=1一玛=(f®=1T^=5-

4+1

/、i9mii

A3)=l-3，+1=­,f句=1-7^=而

9+1

(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f0=1.

1

f(4)+f©=1，…，A2021)+//)=L

・・・f(2)+f©+f(3)+f@+…+F(202D+F(2^21)=2020.

第2课时函数的定义域与值域

题型一函数的定义域

1.函数/'(*)=珀(41一/+^7/定义域为()

A.(0,4)B.[0,2)U(2,4]

C.(0,2)U(2,4)D.(—8,o)U(4,+°°)

答案C

解析要使函数有意义,

4x—#>0,

则

A-2W0,

解得0<水4且>W2.

2.函数尸乂二U产的定义域为()

A.(-1,3]B.(-1,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]

答案B

—x'+2x+320,

解析要使函数有意义，x需满足，*+1>0，

解得一1<水0或0<xW3,

所以函数的定义域为(-1,0)U(0,3］.

3.若函数f(x)的定义域为［0,8］,则函数4(>)='恁的定义域为

答案［0,3)

0W2A<8,

解析依题意有

8-2*>0,

解得0WK3,

，g(x)的定义域为［0,3).

思维升华(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数

解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.

(2)求抽象函数的定义域的策略

①若已知函数F(x)的定义域为[a8,则复合函数F(g(x))的定义域由不等式少

求出；

②若已知函数F(gJ))的定义域为[a,⑸，则Ax)的定义域为g(x)在*£[4句上的值域.

(3)求函数定义域应注意的问题

①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；

②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应

该用并集符号“U”连接.

题型二函数的值域

例1求下列函数的值域：

(l)y=/—2x+3,[0,3)；

2x±]_

（2）y=x-3；

（3）y=2x—M＞一1；

⑷尸近门+行*

解（1）（配方法）y=V—2x+3=[x—1产+2,

由xR[0,3),

再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).

9V-I-19V—3+7

⑵（分离常数法"==1=2卜一，

.7

显然_

XJQ#0,y^2.

故函数的值域为（一8,2）U（2,4-00）.

⑶（换元法）设1,则x=1+1,.且£20,

，y=2（d+1）—£=2（+墨

由，20,再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值域为华，+8）

（4）函数的定义域为",+8）,

,.•尸5+1与7=5-1在［1,+8）上均为增函数，

，7='*+1+5*—1在［1,+8）上为单调递增函数，

・••当*=1时，ynin=y/2,即函数的值域为［小,+8）.

思维升华求函数值域的一般方法

（D分离常数法；（2）配方法；（3）不等式法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）数形结合法；（7）导

数法.

跟踪训练1求下列函数的值域：

2'—1

（Dy=］:

乙­I1

(2)y=log[x+g,[1,2)：

(^±2(x>l).

3)7=x—\

9r—12

解(1)方法一片不工7=1-RT，

乙I14I1

V2x>0,.\2'+1>1,

22

A0<2T+T<2,，，，-1<1-27+T<1,

・•.函数的值域为(-1,1).

2X—1v-\-1

方法二由y=亍百得2'=1丁

又・・・2'〉0,

即(y+l)(y-l)<0,

即—.

・・・函数的值域为(-1,1).

(2)函数y=log]x+J在[1,2)上单调递减，

—乙

2

113

当x=l时，y=-t当x=2时，y=-14-T=-p

永国

・•・函数的值域为(一*I.

(3)令£=x—1,・•・£>(),x=t+l,

f+l2-t+1+2F+2+2,2,

----------------------)

22啦+1,

当且仅当即£=/时取等号，

・•・函数的值域为［2、「+1,+8).

题型三定义域与值域的应用

例2⑴若函数f(x)=q+abx+。的定义域为{x|1WXW2},则a+b的值为________..

y

答案一另

解析函数Ax)的定义域是不等式aV+abx+b2O的解集.不等式/+,"+620的解集

为{X|1WA<2},

(水0，3

所以J解得J2

1X2=-,16=-3,

【a

39

所以a-\-b=~~-3=­T.

(2)已知函数y=7文+ax—1+2a的值域为［0,+8),求&的取值范围.

解令t=g{x)=x-\-ax—1+2a,要使函数y=5的值域为［0,+«■»),则说明［0,+

8)£{y|y=g(x)},即函数对应的一元二次方程的判别式420,即立一4(2&—1)20,即才

-8&+420,解得a>4+2镉或aW4-24，

的取值范围是{a|a24+2，5或庐4一2小}.

思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合

函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解.

跟踪训练2(1)若函数r(*)=ln(a*-l)在(2,+8)上有意义，则实数a的取值范围为

答案a+8)

解析要使函数F(x)=ln(ax-1)有意义，则ax—1>0,

即a>-l〉O在(2,+8)上恒成立,

a>0,

2a~120,

解得a*.

(2)已知函数/*(*)=)(*-1)2+1的定义域与值域都是[1，⑸(垃1)，则实数b=

答案3

解析f(x)=^(x-1)2+1,xG[1,ZJ且少1,

则f(l)=l,F(b)=J(b—1尸+1,

•・・F(x)在[1,二上为增函数,

・•・函数/U)的值域为1，：b-\2+1.

由已知得J(6-1)2+1=8,

解得b=3或6=1(舍).

课时精练

E基础保分练

1.函数/(X)=Jlog：(x-1)+1的定义域为()

A.(—8,3]B.(1,+°°)

C.(1,3]D.[3,+8)

答案C

解析依题意log|(x—1)+120,

2

gpiog,(x-l)>-l,

2

•4x—1W2,

解得1<XW3.

2.下列函数中，定义域与值域相同的是()

A.y=ylx—1B.y=lnx

答案D

x+1,2

解析y=---7=1+---7,

X—1X—1

函数的定义域为{x|xKl},值域为3m，故选D.

3.函数F（x）=log“（加r+D的定义域为（-8,2）,则/〃的值为（）

A.—2B.—~C.JD.2

答案B

解析依题意的+1>0的解集为（一8,2）,

成0,1

则m=--

2/7rFl=O,2

4.函数y—\+x—y[T—2M值域为()

A.(_8,号B.1-8,青

C-(?+8)+8)

答案B

22

解析设R1-2X=3则£20,所以■—£=)(-——2t+3)=—)(£+

1）2+2,因为£20,所以•所以函数尸l+x—4iF的值域为（―8,故选B.

]—2a3d]

5.已知函数r（M=\'的值域为R,则实数a的取值范围是（）

Inx,栏1

A.（—8,—1]B.（—1,C.-1,0D.（0,3

答案C

解析时，f（x）=lnx,ln1=0,

又rJ）的值域为R,

故当水1时，F（x）的值域包含（一8,0）.

1一2给0,

故

1—2a+3a20,

解得一1w水;.

6.（多选）下列函数中值域为R的有（）

A.ra)=3x-lB.fW=lg(7-2)

xy04启2,

C.f(x)~D.Ax)—A3-1

2x,x>2

答案ABD

解析A项，f(x)=3x—l为增函数，函数的值域为R,满足条件；

B项，由9一2〉0得^或水一近，

此时F(x)=lg(V-2)的值域为R,满足条件；

\xy0W/W2,

C项，f(x)=<当x>2时，f(x)=2x>4,

[2x,x>2,

当0〈后2时，f(x)=/£[0,4],所以F(x)20,

即函数的值域为[0,+8),不满足条件；

D项，力(力=f-1是增函数，

函数的值域为R,满足条件.

7.(多选)已知函数y=f(x)的定义域是R,值域为则值域也为[-1,2]的函数是

()

A.y=2f(x)4-1B.y=/(2x+1)

C.y=—f(x)4-1D.y=\f(x)\

答案BC

解析y=f(x),xGR,f(x)的值域为[—1,2],

对于A,用力・・・2/U)+l£[T,5L故A不满足；

对于B,当x£R时，2x4-1eR,

・・・F(2x+l)£[-l,2],故B满足；

对于C,vra)e[-i,2],A-Ax)e[-2,1],

・・・一/(力+1£[-1,2],故C满足；

对于D,ra)e[-l,2],A|ra)|e[0,2],

故D不满足.

8.(多选)若函数y=V—4x—4的定义域为[0,加，值域为[—8,—4],则实数勿的值可能

为()

A.2B.3C.4D.5

答案ABC

解析函数y=x—\x—\的对称轴方程为x=2,

当0<mW2时，函数在[0,就上单调递减，

当*=0时，取最大值一4,

当彳=勿时，有最小值痛一4k4=-8,解得勿=2.

则当卬>2时，最小值为一8,

而f(0)=—4,由对称性可知，2<mW4.

・•・实数m的值可能为2,3,4.

9.函数/Xx)=ln(l+O+dl—T的定义域为—

答案@1]

解析要使函数F(x)有意义，

(1

H■一>0,(水一1或x〉0,

x

则<一八=(导0,=0<xWl.

「0lx

・・・F(x)的定义域为(0,1].

10.函数尸1。w3(9+4彳+5)的值域为—

答案(一8,0]

解析令£=/+4¥+5=(X+2)2+1,1,

而y=logD.3£在[1,+8)上单调递减,

，产《logo.31=0,

故原函数的值域为(-8,0].

2-5,A<2,

11.函数f(x)—的值域为

3sinx,x>2

答案(一5,3]

解析当启2时，f(x)=2、-5单调递增，

则一5<f(x)W—1；

当才〉2时,sin[—1,1],・・・f(x)=3sin*£[—3,3].

故f(x)的值域是(一5,3].

12.函数7=、二,的定义域为R,则〃的取值范围是

答案[0,12)

解析依题意kx—4x+3W0恒成立，

①当〃=0时3W0恒成立，・••〃=：)满足条件，

②当总0时4<0即*一12K0,A0<Ar<12,

综上有0WK12.

E技能提升练

13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名

字命名的“高斯函数”为：设x£R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=Ld称为高斯函

2'+3

数.例如：=-3,[3.1]=3,已知函数/•(¥)=一■,则函数尸"(x)]的值域为

()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2)

答案D

“l。，、2*+32'+1+2…2

解析F(X)=^Y=2，+]—I+FTT

V24>0,Al+24>l,0<T7q-j-<l,

乙I1

29

贝I」0<衣工7<2,1<1+懑匚7<3,即KAx)<3.

乙I1乙IL

当l<F(x)<2时，[F(x)]=l,

当2<F(x)<3时，[f(x)]=2.

综上，函数尸[「(*)]的值域为{1,2}.

14.已知函数/'(x)=log2*,g(x)=2x+a,若存在汨，麴£2,使得/'(汨)=g(42),则

a的取值范围是_______.

答案[-5,0]

解析依题意，(x)的值域与式彳)的值域有交集，

2时，ra)e[-i,i],

乙

xE.2时，g(x)£[a+l,a+4],

a+1W—1,a+1W1,

故或

a+42-la+42L

解得一5WaW0.

E拓展冲刺练

15.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函

数”，例如函数y=V,x£[l,2]与函数y=V,*£[—2,—1]即为"同值函数"，给出下

面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()

A.尸[打([*]表示不超过>的最大整数，例如[0.1]=0)

B.y=x+*\/x+l

C.y=--log3X

X

D.尸x+S

答案AD

解析根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.

因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.

对于选项A,y=[x],定义域为R,在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函

数值，故A可以构造“同值函数”；

对于选项B,尸x+4币为定义在[-1,+8)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函

数”；

对于选项C,7=1一log3*为定义在(0,+8)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函

X

数”；

对于选项D,，=x+士，不是定义域上的单调函数,

AIJL

有不同的自变量对应同一函数值，

故D可以构造“同值函数”.

所以能够被用来构造“同值函数”的是A,D.

16.已知函数f(x)=2+log3*,x£[l,9],则函数尸"(必了+/⑴的值域为

答案[6,13]

解析F(x)的定义域为[1,9],

“一<9,

即1W启3,

：.\[1W*W9

故人="。)]2+〃0的定义域为[1,3],

Vy="(*)『+Af)=(24-log3Ar)J+2+log3X2=(log3X)'+61og3x+6.

令£=log3MtG[0,1],

"=干+6什6=(什3)2—3,回0,1],

£=0时，y=6,£=1时，y=13,

故6<j<13.

§2.2函数的基本性质

【考试要求】

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.了解函数奇偶性的含义.

3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义.

Q知识梳理

i.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/.(动的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃

上的任意两个自变量的值汨，X2

定义当水彳2时，都有F(X1)<f(X2),当汨<盟时，都有F(xi)》/(才2),那

那么就说函数F(x)在区间。上是么就说函数F(x)在区间。上是减

增函数函数

y=/ix)

1回产

图象描述

-Op~-x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(彳)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严

格的)单调性，区回2叫做y=F(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提一般地，设函数/=**)的定义域为1,如果存在实数"满足

(1)对于任意的才£/,都有

(1)对于任意的都有f(x)部

条件f(x)WM；

(2)存在加£/,使得〃照)=时

(2)存在用£/,使得代幻=加

结论时为最大值必为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，如果对于函数〃彳)的定义域内任

偶函数意一个x,都有f(—x)=f(x),那么函数关于y轴对称

Ax)就叫做偶函数

奇函数一般地，如果对于函数八》的定义域内任关于原点对称

意一个M都有f(—x)=-F(x),那么函

数/'(才)就叫做奇函数

4.周期性

(1)周期函数：对于函数尸/'(M，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值

时，都有f(x+7)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，非零常数7为这个函数的周

期.

(2)最小正周期：如果在周期函数/'(*)的所有周期中存在一个地小的正数，那么这个最小正

数就叫做/'(>)的最小正周期.

【思考】

1.函数y=f(x)满足Vx］，汨力尼，J--------->0«0),能否判断f(x)在区间〃

X\—X2

上的单调性？

提示能，''_"〉O(〈O)0f(x)在〃上单调递增(单调递减).

XLX2

2.奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？

提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在美于原点对称的区间上

具有相反的单调性.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(D函数尸1的单调递减区间是(-8,0)U(0,+oo).(X)

X

⑵若函数F5)为奇函数，则f(0)=0.(X)

(3)若尸F(x)在区间〃上单调递增，则函数尸〃F(*)(伙0),尸土一在区间〃上单调递

减.(X)

(4)若函数-(*)满足/(4一*)=/(*),则〃*)的图象关于>=2对称.(V)

题组二教材改编

2.下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是(