第5章专题03用待定系数法确定二次函数表达式同步学与练【含试卷答案】数学苏科版九年级下册

专题03用待定系数法确定二次函数表达式（1个知识点5种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．用待定系数法确定二次函数表达式【方法二】实例探索法题型1．根据文字信息，确定二次函数表达式题型2．根据图像信息确定二次函数的表达式题型3．根据对称轴或最高（低）点求二次函数表达式题型4．与二次函数相关的图形面积问题题型5．以二次函数为载体的探究性问题【方法三】仿真实战法考法．用待定系数法求二次函数表达式【方法四】成果评定法【学习目标】1．

能根据具体情况及已知条件，用待定系数法确定二次函数的表达式．2．

掌握二次函数表达式的几种常见形式：一般式、顶点式、交点式，并能灵活选用恰当的二次函数表达式解决相关问题．3．

能根据条件建立关于函数表达式中待定系数的方程（组），从中体会二次函数与方程（组）的内在联系，感悟数形结合思想．【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．用待定系数法确定二次函数表达式一．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．二．二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例】（2022秋•启东市校级月考）1．某二次函数的图像过点，且它的形状与抛物线形状相同，开口方向相反，求这个二次函数的解析式．【变式1】2．一个二次函数的图象经过三点．求这个二次函数的解析式．【变式2】3．一个二次函数的图象经过三点.求这个二次函数的解析式并写出图象的开口方向、对称轴和顶点.【方法二】实例探索法题型1．根据文字信息，确定二次函数表达式4．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2，请你写出一个符合条件的解析式：．5．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式．6．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式．7．如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是．8．已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）题型2．根据图像信息确定二次函数的表达式9．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（

）A． B． C． D．10．如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么的值是．11．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．题型3．根据对称轴或最高（低）点求二次函数表达式（2022•宜兴市一模）12．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=．13．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．14．已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图像经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．题型4．与二次函数相关的图形面积问题15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．

题型5．以二次函数为载体的探究性问题（2022秋•通州区校级月考）17．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)画出函数的图像，写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的函数表达式；（2）如图1，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形AOCM面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；【方法三】仿真实战法考法．用待定系数法求二次函数表达式（2021•无锡）19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数，为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C，则y关于x的函数表达式为．（2023•宁波）20．如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．（2022•牡丹江）21．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．（2023•绍兴）22．已知二次函数．(1)当时，①求该函数图象的顶点坐标．②当时，求的取值范围．(2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．（2022•黑龙江）23．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【方法四】成果评定法一、单选题（23·24九年级上·山西阳泉·阶段练习）24．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（

）A． B．C． D．（23·24九年级上·山西吕梁·期中）25．如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（

）

A．30 B．36 C．48 D．56（22·23九年级上·北京西城·期末）26．下表记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值，其中．x…13…y…m020nm…根据表中信息，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，则k的取值范围为（

）．A． B．C． D．（22·23九年级上·山东枣庄·期末）27．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点(

)A． B． C． D．（23·24九年级上·安徽滁州·阶段练习）28．二次函数的图象如图，且，则b等于（

）

A． B．1 C． D．（23·24九年级上·广东珠海·期中）29．若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（

）A． B． C． D．（22·23九年级上·陕西西安·期末）30．已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x…013…y…366…当时，y的取值范围是（

）A． B． C． D．（22·23九年级上·江苏盐城·阶段练习）31．是的二次函数，其对应值如下表：|…01234……40149…下列叙述不正确的是（

）A．该二次函数的图象的对称轴是直线B．C．当时，随的增大而增大D．图象与轴有两个公共点（2023·江苏泰州·中考真题）32．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（

）x124y421A． B．C． D．（22·23九年级上·安徽合肥·期中）33．在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题（2022·江苏南通·一模）34．已知二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表x﹣114y3﹣33当x＝2时，函数值为．（2023·江苏无锡·一模）35．请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：．（2023·江苏连云港·二模）36．已知函数满足下列两个条件：①时，y随x的增大而增大：②它的图像经过点．请写出一个符合上述条件的函数的表达式．（23·24九年级上·安徽合肥·阶段练习）37．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为．（2023·江苏扬州·二模）38．已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为．（23·24九年级上·浙江金华·阶段练习）39．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为．（23·24九年级上·安徽淮南·阶段练习）40．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为．

（23·24九年级上·河南洛阳·阶段练习）41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为．三、解答题（23·24九年级上·福建莆田·开学考试）42．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线．求抛物线的解析式．

（2023·陕西西安·模拟预测）43．如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式．(2)将抛物线向右平移，平移后所得的抛物线与轴交于点，，交轴于点，顶点为．若，求抛物线的表达式．（2023·广东深圳·三模）44．如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）45．已知二次函数图象的对称轴是．(1)求二次函数的解析式；(2)将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________；(3)若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值．（23·24九年级上·江苏苏州·阶段练习）46．如图，已知二次函数图像的顶点为原点，直线与抛物线分别交于两点，且．

(1)求二次函数的表达式；(2)已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于点，求的面积．（23·24九年级上·江苏苏州·阶段练习）47．如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题；(1)求抛物线的函数解析式；(2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）48．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B．

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值；(3)如果点和点在函数的图象上，且，，求的值．（23·24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）49．已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，

(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时E点坐标；(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．参考答案：1．【分析】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，根据已知条件可得到，然后解方程组即可．【详解】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，与抛物线形状相同，开口方向相反，又图像过点代入得：，解得：．二次函数的解析式为：．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．y＝4x2＋5x【分析】根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可．【详解】解：设这个二次函数的解析式为，分别把（0，0），（－1，－1），（1，9）代入，得解得a＝4，b＝5，c＝0，所以这个二次函数的解析式为y＝4x2＋5x．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．3．,图象开口向上，对称轴直线，顶点.【分析】首先根据待定系数法求解二次函数的解析式，再根据二次函数的系数确定抛物线的开口方向，对称轴，和公式法计算顶点坐标.【详解】设二次函数的解析式为.由已知，函数的图象经过三点，可得解这个方程组，得，，.所求二次函数的解析式为,图象开口向上，对称轴直线，顶点.【点睛】本题主要考查二次函数抛物线解析式的计算、抛物线的性质，这是考试的必考点，必须熟练掌握.4．（答案不唯一）．【分析】由题意，得到抛物线的顶点坐标为或，然后判断开口方向，即可得到抛物线的解析式．【详解】解：根据题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝4，顶点到x轴的距离为2，∴抛物线的顶点坐标为或，∴符合条件的解析式为：；（答案不唯一）故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握题意，正确得到抛物线的顶点坐标．5．y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）【分析】根据顶点在x轴上，开口方向向下，可以确定该函数的形式为y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可确定答案.【详解】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），写出一个满足该形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一.故答案为y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于熟记并灵活运用二次函数解析式——顶点式.6．．【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且a=1，h≥1，据此可得．【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，设函数的解析式为；该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同当x1时，y随x的增大而减小；所以取满足上述所有性质的二次函数可以是：，故答案为：，（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．7．①②【分析】由m≠0可得点A不在抛物线上，故可判断①；先根据B，C两点坐标求出函数关系式，再把D点坐标代入即可判断点D是否在函数图象上；将C、E两点坐标代入，能求出a，m则可判断出C、E均在函数图象上，否则，则不在函数图象上.【详解】由二次函数知其顶点坐标为（2，m），而m≠0，故（2，0）不在函数图象上，所以，点A不在函数图象上，即点A一定不在W上，故①正确；把C（-2，4），B（0，-2）代入得，，解得，，∴当x=4时，y=-2,所以，点D在函数的图象上，因此，点B，C，D可以同时在W上，故②正确；把C（-2，4），E（7，0）分别代入得，，解得，∴所以，点C，E可能同时在W上，故③错误.故答案为：①②.【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，运用待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.8．①③④【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，∴二次函数的解析式是，∴a=1＞0，故①正确；当时，y有最小值，故②错误；若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；综上，正确的结论是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．9．B【分析】根据题意，由函数图像的对称轴及与x轴的一个交点，则可以知道函数与x轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为，与x轴的一个交点为，则函数与x轴的另一个交点为，故设二次函数的表达式为，函数另外两点坐标，可得方程组，解得方程组得，所以二次函数表达式为．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．10．-1【分析】根据图示知，的图象经过（0，0），所以将点（0，0）代入方程，利用待定系数法即可求解．【详解】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点（0，0），∴0＝a+1，解得，a＝-1；故答案为：−1．【点睛】本题主要考查了二次函数的待定系数法，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解答问题．11．【分析】根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【详解】解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，∴点C的坐标为（5，4），∵抛物线过点A、C、D，，解得，故抛物线的解析式为．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．12．（x﹣1）2．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c=0即可．【详解】符合的表达式是y=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．13．y＝﹣（x+2）2+2．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【详解】解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，解得a＝﹣，所以这个函数的关系式为y＝﹣（x+2）2+2．【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式.14．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a的值即可．【详解】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a（2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a＝﹣2，抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣6．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，掌握利用定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．15．（1）；（2）S关于m的函数关系式为，S的最大值为4．【分析】（1）将将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，可求出a,b，即可确定解析式；（2）过点M作MN⊥AC于点N，可得，从而得到S关于m的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值，即可求解．【详解】解（1）将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）如图，过点M作MN⊥AC于点N，∵抛物线与y轴交于点B，当时，，∴，即OB=4，∵点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，∴，∴，，∴，∴，∴当时，S有最大值，最大值为，∴S关于m的函数关系式为，S的最大值为4．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键．16．（1）；（2）【分析】（1）由条件直接设出抛物线的顶点式，把C点的坐标代入解析式就可以求出值，从而求出解析式；（2）连接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐标，从而求出AB的值，由三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，4）代入中得：，，抛物线的解析式为：；（2）如图所示：

连接AC、BC，抛物线的解析式为，当时，则，，，，，，．【点睛】本题考查二次函数综合题，设计了抛物线的顶点式以及三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法和x轴交点的求法是解题的关键．17．（1）y=x2；（2）B的坐标为（-2，1）；（3）C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，见解析.【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值，从而得解；（2）根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；（3）根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，再分①点C在AB下面，②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标．【详解】解：（1））∵抛物线y=ax2经过点A（2，1），∴4a=1，解得a=，∴这个函数的解析式为y=x2；（2）∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）；（3）如图：∵点A（2，1），B（-2，1），∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2，假设存在点C，且点C到AB的距离为h，则S△ABC=•AB•h=×4h，∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，∴×4h=×2，解得h=，①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为，此时，解得，，则此时C的坐标为（，）或（，），②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为，此时，解得，，则此时C的坐标为（，）或（，），综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．【点睛】本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求二次函数解析式，关于y轴对称点的坐标特点，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（3）要注意分点C在AB的上面与下面两种情况讨论求解．18．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，F（-1，2）周长最小值；（3）存在，M（，）；【分析】(1)将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，计算即可；(2)根据轴对称的性质先找出C的对称点C1，然后连接BC即可找到F点，最后根据B、C1的坐标求得直线BC1的解析式，即可求得F的坐标；利用两点间的距离公式求出BC、BF、FC的长度相加即可；（3）根据即可求得解析式，根据解析式即可求得求出点M的坐标及的面积最大值；【详解】解:(1)将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得:,解得:所以抛物线的函数表达式:y=-x2-2x+3(2)存在；∵抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3，∴抛物线的对称轴x=-1,C(0,3)，∴C1(-2,3)，设直线BC1的解析式为：y=kx+b，∵B（1，0），∴解得，∴

直线BC1的解析式为：y=-x+1，把x=-1代入直线BC1的解析式y=-x+1，得y=2，∴F(-1,2)；∴∴（3）存在；过点M作MN⊥AO于点N设M（m，-m2-2m+3）则N（m，0）∴AN=m-（-3）=m+3，MN=-m2-2m+3，NO=0-m=-m∵∴∴当m=时，面积最大把m=代入-m2-2m+3中得：-m2-2m+3=∴M（，）【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式、勾股定理、轴对称的性质、平面图形的面积的计算，抛物线的顶点式的运用等多个知识点，难度比较大．19．【分析】过A作轴于D，过B作轴于E，连接、，设，，又，根据四边形是矩形，可得，即可解得．【详解】解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E，连接、，设，，又，∵四边形是矩形，∴与中点重合，，而，∴，消去x、y得：，解得：或，又∵，∴，即（舍去）或，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是根据四边形是矩形列出关于m，n，x，y的方程组．20．(1)，顶点坐标为；(2)【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．∴，解得：，∴抛物线为，∴顶点坐标为：；（2）当时，，∴解得：，，

如图，当时，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．21．(1)(2)【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】（1）解：将点代入得：，解得，则该抛物线的解析式为．（2）解：抛物线的顶点坐标为，当时，，即，为的中点，且，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．22．(1)①；②当时，(2)【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解；②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解；（2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解．【详解】（1）解：①当时，，∴顶点坐标为．②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，∴当时，有最大值7．又∴当时取得最小值，最小值；∴当时，．（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，∴抛物线的对称轴在轴的右侧，∴，∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，∴，又∵，∴，∵，∴，∴二次函数的表达式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．(1)(2)存在，，【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：．（2）解：存在．∵，∴，将代入得，，∴，又∵B（2，-3），∴BC//x轴，∴到线段的距离为1，，∴，∴，设，由题意可知点P在直线BC上方，则，整理得，，解得，或，∴，，∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24．B【分析】根据抛物线的形状，开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同，这个二次函数的解析式为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．25．B【分析】设抛物线的表达式为，把代入求出的值，再把代入即可求出的值．【详解】解：设抛物线的表达式为，把代入得：，解得：，，把代入，．故选：B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题关键．26．C【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，可得．【详解】解：由可得抛物线对称轴，又由以及对称轴可得，，则设抛物线交点式为，与对比可得，解得，二次函数表达式为，当时，；当时，；当时，，，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．27．C【分析】待定系数法求得解析式，然后当时求得函数值，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴解得，所以抛物线解析式为当时，，当时，∴该图象经过点，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，求得解析式是解题的关键．28．D【分析】根据，得到点，，然后代入解方程组即可解题．【详解】解：∵，∴点，，代入可得，解得，故选D．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，能写出点和点的坐标是解题的关键．29．A【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可；【详解】解：设二次函数的解析式为，将点代入得，解得，所以该二次函数的解析式为．故选：A；【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．30．B【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围．【详解】解：将点，，代入得，解得，，该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7，和时的函数值相等，则时，的取值范围是：，故选：B．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．31．D【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当时，求出的值，可以判断B，根据的值和对称轴确定随的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案．【详解】解：设二次函数为，则，解得：，二次函数的解析式为：，对称轴为：，故选项A正确，当时，，，故选项B正确，，图象开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，故选项C正确，，图象与轴有一个公共点，故选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．32．C【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．【详解】解：A、若直线过点，则，解得，所以，当时，，故不在直线上，故A不合题意；B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得，解得，符合题意；D、由C可知，不合题意．故选：C．【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．33．B【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题．【详解】设，则高为，设面积为S，的面积最大，，即，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，，，，的周长最小值为：．故选B．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键．34．-3【分析】根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式，再将x=2代入求y的值即可；【详解】解：由题意，把（-1，3）、（1，-3）、（4，3）、代入y＝a2+bx+c得，，解得：，∴此二次函数关系式为：，当x=2时，，故答案为：-3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及给出自变量的值求函数值，求出二次函数的解析式是解决问题的关键．35．【分析】已知对称轴，根据顶点坐标，开口方向，可写出满足条件的二次函数解析式．【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为，根据顶点式，得，设，，则函数的表达式为（本题答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的顶点坐标是解题的关键．36．（答案不唯一）【分析】根据常见的几种函数：一次函数，反比例函数和二次函数的图像和性质写出一个符合上述条件的函数的表达式即可．【详解】解：若选择二次函数，∵当时，y随x的增大而增大，∴二次函数开口向上，即，∵它的图像经过，∴二次函数可以是．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，掌握常见函数的图像和性质是解题的关键．37．【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入二次函数解析式求出的值即可得到答案．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，二次函数的图象经过点，，解得：，二次函数的解析式为：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的解析式为是解此题的关键．38．3【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式．【详解】解：∵二次函数的图象经过点、∴抛物线的解析式为，把代入得：，解得：，∴函数的解析式为，即，∴当时，，故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．39．或##或【分析】分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，观察图象可得．【详解】解：把代入，得；把代入，得，解得；把代入，得，解得；把代入，得，解得，分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，如图，如图，若抛物线与四边形的边有没有交点，则a的取值范围为或，故答案为或．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．40．##【分析】如图，连接交抛物线对称轴于，连接，由对称的性质可知，，则的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，将代入得，，解得，，则，当，，即，由勾股定理得，，，进而可求周长最小值．【详解】解：如图，连接交抛物线对称轴于，连接，

由对称的性质可知，，∴的周长为，∴当三点共线时，的周长最小，将代入得，，解得，，∴，当，，即，由勾股定理得，，，∴的周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，轴对称的性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．41．2【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．【详解】解：∵抛物线与轴交于点，∴，抛物线的对称轴为∴顶点坐标为，点坐标为∵点为线段的中点，∴点坐标为设直线解析式为（为常数，且）将点代入得∴将点代入得解得故答案为2【点睛】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.42．【分析】根据抛物线的对称轴是直线，设出解析式为，待定系数法求解析式即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，∴设抛物线的解析式是为，∵抛物线交轴于点，∴，∴，∴．【点睛】本题考查求二次函数的解析式．解题的关键是掌握待定系数法求解析式．43．(1)(2)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出原抛物线顶点D的坐标，再求出，得到，设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，则，，抛物线的解析式为，即可求出；进一步求出，再由，得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：把，代入到抛物线解析式中得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵原抛物线解析式为，∴，原抛物线对称轴为直线，∴，∴；设抛物线向右平移m个单位长度得到抛物线，∴，，抛物线的解析式为，∴；在中，令，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，解得或（舍去）或或（舍去）；综上所述，或，∴抛物线的表达式为或．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象平移的特点是解题的关键．44．(1)(2)【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．∴，即，设抛物线解析式为，将代入得，解得：，∴抛物线解析式为（2）解：∵，∴,如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．45．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据抛物线的对称轴是可得，求出的值即可得到抛物线的解析式；（2）将原抛物线化为顶点式得出顶点为，再根据原抛物线图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线，可得顶点不变，开口方向相反，由此即可得到答案；（3）分情况讨论：当时，