2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第2课时组合的综合应用课后课时精练新人教A版选修2-3

PAGE1-第2课时组合的综合应用A级：基础巩固练一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，平行直线x＝m(m＝0,1,2,3,4)与平行直线y＝n(n＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．100个C．36个D．200个答案B解析可以组成Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,5)＝10×10＝100个矩形．故选B.2．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参与竞赛，则不同的选派方法共有()A．56种B．68种C．74种D．92种答案D解析依据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,6)种，有一个“多面手”的选派方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5)种，有两个“多面手”的选派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．3．两人进行乒乓球竞赛，先赢3局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种答案C解析按竞赛局数分类：3局时有2种，4局时有2Ceq\o\al(2,3)种，5局时有2Ceq\o\al(2,4)种，故共有2＋2Ceq\o\al(2,3)＋2Ceq\o\al(2,4)＝20种．选C.4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析分两种状况：①选2本画册，2本集邮册送给4位挚友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位挚友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B.5．某高校的8名同学打算拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学来自同一年级的乘车方式共有()A．24种B．18种C．48种D．36种答案A解析第一类：大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下2名同学要来自不同的年级，从三个年级中选两个年级，有Ceq\o\al(2,3)种选法，然后从选出的两个年级中再分别选1名同学，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)种选法，剩下的4名同学乘坐乙车，则有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝3×2×2＝12种乘车方式；其次类：大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选同一个年级的2名同学在甲车上，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)种选法，然后再从剩下的两个年级中分别选1名同学，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)种选法，则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝3×1×2×2＝12种乘车方式．因此共有12＋12＝24种不同的乘车方式．故选A.二、填空题6．有编号为1,2,3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有________．答案15种解析将编号为1,2,3的盒子分别放入1个，2个，3个小球，将剩下4个球放入三个盒子有四类状况，即“4＋0＋0”“3＋1＋0”“2＋2＋0”“1＋1＋2”，故共有Ceq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝15(种)．7．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券安排给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答)．答案60解析只需看3张有奖的安排状况就可以，有两类．①4人中每人至多1张有奖，共有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24种获奖状况．②4人中，有1人2张有奖，还有1人1张有奖，其余的2人无奖．共有分法：Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,4)＝3×4×3＝36.总之，共有24＋36＝60种不同的获奖状况．8．将并排的有不同编号的5个房间支配给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的支配方式的种数为________．答案900解析先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人支配到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故支配方式共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(2,4)＝900(种)．三、解答题9．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)个．②α内2点，β内1点确定的平面，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)个．③α，β本身，有2个．故所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(个)．所以最多可作98个不同的平面．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)个．②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)个．③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)个．∴最多可作出的三棱锥有：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194(个)．所以最多可构成194个三棱锥．(3)∵当等底面积、等高的状况下三棱锥体积才能相等．∴体积不相同的三棱锥最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(个)．所以最多有114个体积不同的三棱锥．B级：实力提升练10．在运动会上，某代表队中赛艇运动员有10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人左右两舷都会划，现要从中选6人上艇，平均安排在两舷上划桨，有多少种不同的选法？解依据只会划左舷被选中的人数进行分类．第1类，不选只会划左舷的2人，需先在两舷都会划的5人中选3人划左舷，有Ceq\o\al(3,5)种选法，再在剩下的5人中选3人划右舷，有Ceq\o\al(3,5)种选法，故共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)＝100种选法；第2类，只会划左舷的1人入选，有Ceq\o\al(1,2)种选法，需先在两舷都会划的5人中选2人划左舷，再在会划右舷的6人中选3人划右舷，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ce