2024-2025学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业含解析新人教A版必修2

PAGE1-2.3.2平面与平面垂直的判定[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列推断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是()A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥βD．若m∥n，则α∥β解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.答案：B3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中相互垂直的平面有()A．一对B．两对C．三对D．四对解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，从而平面PBC⊥平面PAB.故选C.答案：C4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.答案：A5．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.明显平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________________________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.答案：平面PBD⊥平面PAC7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，则侧面与底面所成二面角的大小为________．解析：如图，设S在底面内的射影为O，取AB的中点M，连接OM，SM，则∠SMO为所求二面角的平面角，在Rt△SOM中，OM＝eq\f(1,2)AD＝1，SM＝eq\r(SA2－\f(1,4)AB2)＝eq\r(2)，所以cos∠SMO＝eq\f(OM,SM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠SMO＝45°.答案：45°8．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，明显①错误；②只有在直线b，c相交的状况下才成立；易知③正确．答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A.PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，求二面角P－CD－B的大小．解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝eq\r(3)，AC＝eq\r(3)，∴∠PCA＝45°.故二面角P－CD－B的大小为45°.[实力提升](20分钟，40分)11．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.答案：C12.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析：取BC中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，∴△AMD为直角三角形，AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a.∴AD＝eq\f(\r(2),2)a×eq\r(2)＝a.答案：a13．如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B，A′C，P为A′C的中点．(1)求证：EP∥平面A′FB；(2)求证：平面A′EC⊥平面A′BC.证明：(1)因为E，P分别为AC，A′C的中点，所以EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，而EP⊄平面AA′B，所以EP∥平面AA′B，即EP∥平面A′FB.(2)因为E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，所以EF∥BC.因为BC⊥AC，所以EF⊥AE，故EF⊥A′E，所以BC⊥A′E.而A′E与AC相交，所以BC⊥平面A′EC.又BC⊂平面A′BC，所以平面A′EC⊥平面A′BC.14．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．解析：如图所示，连接OB，OO′，则四边形OO′FB为直角梯形．过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC.可得FM＝eq\r(FB2－BM2)＝3.过点M作MN⊥BC于点N，连接FN.可得FN⊥BC，从