北师大九年级上数学教案

第一章特殊的平行四边形

本章在学习了平行四边形的根底上研究特殊的平行四边形。通过平行四边形角、边的特殊化，研究

菱形、矩形和正方形等特殊的平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；

探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题

的关系，不断开展学生的合情推理和演绎推理能力。

本章研究特殊的平行四边形，图形比拟多，而且图形的性质定理和判定定理也比拟多。教科书呈现

这些内容时，注意突出图形性质和判定的探索与发现过程，由观察度量、实验操作、图形变换等方式，

通过合情推理发现结论，形成猜测，运用演绎推理证明猜测。

通过平行四边形的变形一一角的变化，一个角为直角，探究并发现矩形的四个角都是直角、对角线

相等等性质；利用菱形的轴对称性，探究并发现菱形四条边都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角

等性质。学生通过观察度量、实验操作、图形变换等，运用合情推理，探究并发现结论，形成猜测，进

而要求学生运用演绎推理对猜测进行证明，得出图形的性质。把合情推理和演绎推理有机结合起来。

菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究方法，与平行四边

形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承。

§1.1菱形的性质与判定(第一课时)

教学目标：

1.经历菱形的概念、性质的发现过程

2.掌握菱形的概念

3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”

4.掌握菱形的性质定理”菱形的对洋线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”

5.探索菱形的对称性

教学重点、难点

重点：菱形的性质.

难点：菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点.

教学过程

一.引入：用多媒体显示下面的图形

观察以下由火柴棒摆成的图形

议一议：(1)三个图形都是平行四边形吗？

(2)与图一相比，图二与图三有叶么共同的特点？

目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程，并让学生注意以下几点：

(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形

(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异

新课：把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.

菱形也是特殊的平行四边形，所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.

定理1:菱形的四条边都相等

这个定理要求学生自己完成证明，可以根据菱形的定义推出，课堂上只需让学生说说理斗就可以了,

不必写证明过程.

定理2:菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

:在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0。

求证:AC±BD,AC平分NBAD和NBCD,BD平分NABC和NADC

分析：由菱形的定义得AABD是什么三角形？B0与0D有什么关系？根据什么？由此可依

何关系？NBAD有何关系？根据什么？

证明：•・•四边形ABCD是菱形

・・・AB二AI)1菱形的定义)

B0=0D(平行四边形的对角线互相平分)

AAC1BD,AC平分/BAD（等腰三角形三线合一的性质）

同理，AC平分NBCD,BD平分NABC和NADC

・•・对角线AC和BD分别平分一组对角

由定埋2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。另外，还可以

从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具

有平行四边形的所有共性，比方：菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。

三.应用

例1.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交与点0,NBAC=30°,BD=6

求菱形的边长和对角线AC的长.分析:此题是菱形的性质定理2的应用，由/BAC=30°,

得出△ABD为等边三角形，就抓住了问题解决的关键。

解：•・•四边形ABCD是菱形B

AAB=AD（菱形的定义）

AC平分/BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）

又VZBAC=30°|C

/.ZBAD=60°1°

・・・AABD为等边三角形

AAB=BD=6

又•••OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）

AC±BD（菱形的对角线互相垂直：

由勾股定理得AO2+B02=AB2.*.A0=3Z^-AC=2A0=

四.稳固：教科书第141页课那练习1、2

五.小结：1、通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些困惑？

2、本节课的主要内容是：一个定义（菱形的定义），二条定理（菱形的性质定理），二个

结论（菱形是轴对称图形，又是中心对称图形）。

六.作业：

教学反思：

§1.1菱形的性质与判定（第二课时）

教学目标

1.经历菱形的判定定理的发现过程。

2.掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。

3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

4.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力.并根据平行四边形、矩形、菱形的

附属关系，向学生渗透集合思想.

教学重点、难点

重点：菱形的判定定理.

难点：菱形判定方法的综合应用.课本“合作学习”既需要一定的空间想象力，又要有较强的逻辑

思维能力.

教学过程

（一）、复习引入

1、提问

菱形的定义和性质。

定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。

性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等,

对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？

定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）

（二）、创设情境，引入新课

1、合作学习：

学生拿出准备好的长方形纸片，按大屏幕展示的方法对折两次，并沿（3）中的斜线剪开，展开剪下的

局部，猜测这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？

剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱

形.

结论：菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（板书）

（三八交流互动，探求新知

1、：如图，在口ABCD中，BD1AC,0为垂足。

求证：口ABCD是菱形

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAO=CO（平行四边形的对角线互相平分）。

VBD1AC,

AAD=CD

・・・£7ABCD是菱形（菱形的定义）。

结论：菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、猜测：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？

启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。

D

结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（四）、应用新知，稳固练习AC

1、课本“课内练习”<X>

2、思考题：如图，AABC中，ZA=90°,ZB的平分线交B

A

AC于D,AH、DF都垂直于BC,H、F为垂足,求证：四边形AEFD为菱形。BHFC

（五）、课堂小结，布置作业

1、本节的主要内容是：

菱形常用的判定方法

1）.一组邻边相等的平行四边形.

2）.四条边相等的四边形.

3）.对角线互相垂直的平行四边形.

4）.对角线互相垂直平分的四边形

2、作业：

教学反思

补充练习：

一、选择题。

1、菱形两个邻角的比是1:5,高是8cm,那么菱形的周长是（）。

A.16cmB.32cmC.64cmD.128cm

2、菱形的周长为40cm,两对角线长的比是3:4,那么两对角线的长分别是（）。

A.6cm、8cmB.3cm、4cmC.12cm、16cmD.24cm、32cm

3、如图：在菱形力比刀中，AELBCtAF_CD,且反F分别为比、CO的中点,那么/必?等于（）。

A.75°B.60°C.45°D.30°

4、棱形的周长为8.4cm,相邻两角之比为5：1,那么菱形一组对边之间的距离为（）

A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm

5、菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等

6、£7力四的对角线〃；劭相交于点0,以下条件中，不能判定口48勿是菱形的是（）o

A.AB=ADB.ACLBDC.乙归上D0.CA平分乙BCD

7、以下命题中，真命题是（）。

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。

B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。

C.对角线互相垂直的矩形是菱形。

D.菱形的对角线相等。

8、菱形是轴对称图形，对称轴有（）。

A.1条B.2条C.3条D.4条

9、菱形的两条对角线长为10cm和24cm,那么这个菱形的周长为,面积为.

10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起，使之成60度角，那么重叠局部的面积的最大值为

11、一个菱形面积为80,周长为40,那么两条对角线长度之和为.

12、：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C

作CG〃EA交AF于H,交AD于G,假设NBAE=25。，ZBCD=130°,求NAHC

的度数。

C

13、如下图，菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE,NBAE二一NEAD,AE交BD于M,试说明BE二AM。

2

14、如图，在AABC中，AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，

(1)求证四边形BDEF是菱形。(2)假设AB=12cm,求菱形BDEF的周长？

15、：如图，AABC中，NBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC,EF〃BC交AD于点F,

求证：四边形CDEF是菱形。

16.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的

垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、0,

求证：四边形AFCE是菱形。

17、：如图，C是线段BD上一点,z^ABC和4

ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形

ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。

18、如图，在aABC中，AB=AC,ZB,NC的平分线BD、CE相交于点M,DF〃CE,EG〃BD,DF与EG交

于N,求证：四边形MDNE是菱形。

19.：如图，四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上

一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF.请你

以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连

成一条新的线段，猜测并证明它和图中已有的某

一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).

(1)连接AF；

(2)猜测：AF=AE；

(3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据)

分析：观察图形应该是连接AF,可通过证aAFB和4ADE全等来实现AF二AE.

20.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于E连接

BE.

(1)证明：NAPD:NCBE；

(2)假设NDAB=60°,试问P点运动到什么位置时，4ADP的面积等于菱形

ABCD面积的工，为什么？

4

21、如图，四边形ABCD是菱形，BE_LAD、BF±CD,垂足分别为E、F.

(1)求证:BE=BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时,求BE的长.

22.如图，在菱形ABCD中，NA=60°,AB=4,。为对角线BD的中点，过0

点作0EJLAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数；

(2)求线段BE的长.

点评：此题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于

斜边的一半求解，需要熟练掌握.

23、如下图，在菱形ABCD中，NABC=60°,DE〃AC交BC的延长线于点E.

求证：DE二1BE

2

点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性

质等知识.此题难度不大，注怠数形结合思想的应用.

24、在矩形力仇》中，。是对角线"'的中点，用'是线段〃•的中垂线，交

力。、BC于E、式求证：四边形力即'是菱形

25、四边形力腼是矩形，四边形力叱是菱形，假设4?=2cm,8e4cm,

§1.2矩形的性质与判定(第一课时)

一、教学目标

1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论.

2、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算.

一、教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的附属关系.

三、概念:

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(矩形是特殊的平行四

边形)。

2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

(1)角：四个角都是直角。

(2)对角线：互相平分且相等。

3.矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形。

(2)对角线相等的平行四边形。

(3)有三个角是直角的四边形。

4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；

矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形

一边的直线。

5.矩形的周长和面积:

矩形的周长=2(。+b)矩形的面积=长又宽=ab为矩形

的长与宽)

★注意：(1)矩形被两条对角线分成的匹个小三角形都是等腰三角形且面积

相等。

(2)矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。

四、讲课过程：

【经典例题：】

例1：：0是矩形ABCD对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、0C、

0D上的点，AE=BF=CG=DH,求证：四边形EFGH为矩形.

BC

分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明

例2：判断

(1)两条对角线相等四边形是矩形()

(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形()

(3)有一个角是直角的四边形是矩形()

(4)在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点()

分析及解答：

(1)如图

四边形ABCD中，AC=BD,但ABCD不为矩形，/.X

(2)对角线互相平分的四边形即平行四边形，，对角线相等的平行四边

形为矩形，J

(3)如图，

四边形ABCD中，ZB=90°,但ABCD不为矩形AX

(4)矩形对角线的交点0到四个顶点距离相等・・・X,

如图，

【课堂练习题：】

1.判断一个四边形是矩形，以下条件正确的选项是()

A.对角线相等B.对角线垂直C.对角线互相平分且相等D.对角线互相

垂直且相等。

2.矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两局部,

这两局部分别为()

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm

和8cn

3.在以下图形性质中，矩形不一定具有的是()

A.对角线互相平分且相等B.四个角相等

C.是轴对称图形D.对角线互相垂直平分

4在矩形ABCD中，对角线交于U点，AB=0.6,BC=O.那么△AUB的面积为；

周长为.

5一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为.

6.假设一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么斜边上的中线等于.

7.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么

矩形对角线的长为，短边长为.

8.矩形的两邻边分别为4cm和3cm,那么其对角线为cm,矩形面积为cm：

9.假设矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,那么两条对角线相交所成的

锐角是.

10.矩形的对角线相交所成的钝角为120°,矩形的短边长为5cm,那么对

角线之长为cm。

11.矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于0点，ZA0B=2ZB0C,假设对角线

AC的长为18cm,那么AD=cm。

12、：如下图，矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=BC,ZEDC=15°.

求证：AD=2AB.Ap—------------------------------------.D

教学反思：/

§1.2矩形的性质与判定（第二课时）/

教学目标知识与技能：通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生/

亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，______________

尝试从不同角度寻求解决问题的方法。过程与方法：通过动手实践、合崔EC

探索、小组交流，培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。情感态度与价

值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习气氛，使学生在数学活动中获

得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

教学重点与难点

重点：探索矩形判定定理的过程及应用

难点：矩形判定定理的应用

教学过程

环节一：创设情境、导入新课

通过上节课对矩形的学习，谁能答复以下问题

1、判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）

（1）是不是平行四边形，（2）再看它有无直角。

2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？

（通过对矩形定义及性质的回忆，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方

法，导入新课。）

环节二：尝试发现，探索新知

活动一：

1、先请同学仅用手中量角器量一以下图形（甲）（乙）中的四边形的角（有几个

直角）。

甲乙

2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形，并说明理由。

（此问题的解决以动手实践，合作交流的形式进行，学生在探究过程中根

据已有的知识积累一一矩形的定义，得出矩形的判定定理一。教师以合作者

的身份深入学生中，了解学生的探究进程并适当给予点拨。）最后教师

进行适当板书进行推证、讲解。在此过程中，全体同学可互相补充、互相评

价，培养学生的语言表达能力、推理能力。

活动二：教师提问：矩形的对角线相等,相反对•角线相等的四边形是什么

图形？在学生答复是或不是的情况下，让学生下例步骤进行探索。

1、画任意两条长度相等的相交线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看

是不是矩形？

2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段，并把它们的四个顶点顺

次连结，看是不是矩形？

3、画两条长度相等并且互相平分的线段，并把它们的四个顶点顺次连结，

看是不是矩形？

4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形，并说明

理由。

最后通过教师演示动画，师生进行适当交流、归纳、讲解，得出矩形的

判定定理二。

（此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行，通过此种互动过程，让全

体学生参与其中，获得不同程度的收获，体验成功的喜悦）

活动三：矩形的判定定理二的证明。

：在平行四边形ABCD中，AC=BD,

求证：平行四边形ABCD是矩形。

对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流。

（1）条件与结论各是什么？（引出条件与结论的关系）

（2）使一个平行四边形是矩形，已学过什么方法？（引出矩形的定义证明）

（3）要证明一个角是直角，根据平行四边形相邻两个角互补，只需证明什

么？（引出证明两个三角形全等）

（4）如何选择要证明两个三角形全等，它们的条件是否满足？

最后由学生说出整个证明的过程，教师进行适当的点评与板书。

当判定定理一、定理二得出后，让学生总结矩形的三种判定方法（定义，

定理•与定理二），并对题设进行比拟、区分，使学生进•步明确定理应用的

条件。

环节三：应用辨析，稳固定理为了帮助学生稳固定理，应用如下：

应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形，你有没

有方法帮助工人师傅解决这个问题？（这一题是由引入判定定理二改编而成

的，主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题。）

应用二、例题讲解

一张四边形纸板ABCD形状如图，它的对角线互相垂直。

假设要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分

别落在四边形ABCD的四条边上，可怎么剪？

对于这个问题的解决教师引导学生回忆过去证明“依次

连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验，使

学生联想到连结四边形ABCD的两条对角线，然然后运用中位

线定理，这样就解决了这个问题。

应用三、

练习一、判断题：

1、内角都相等的四边形是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

4、一组邻角相等的平行四边形是矩形。

5、对角互补的平行四边形是矩形。

练习二：如图AC,BD是矩形ABCD的两条结角线,

AE二CG二BF=DH。求证：四边形EFGH是矩形。

教学反思：

§1.2矩形的性质与判定（第三课时）

教学目标

1.进一步掌握矩形的性质及判定的应用

2.理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明

3.会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.

教学重点、难点

重点：本节教学的重点是进•步掌握矩形的性质及判定的应用.

难点：定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教

多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点.

教学过程】

一.复习旧知：

1.矩形的定义.

2.矩形的两个性质定理.

3.矩形的两个判定定理.

4.师生一起答复:有一句话既是矩形的性质，又是矩形的判定,那就是矩

形的定义.

5.师生共同回忆：”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

二.新课讲授：

1.下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证

明过程.

启发引导如下：1.帮助学生根据题意，画出图形.

2.根据图形，写出和求证.（上游生答复）.

3.回忆证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的•个等价

命题.（上游生答复）.

4.如何在图中画出2倍的CD.（中游生答复）.

5.延长CD到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等.（中

游生答复）.

6.现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法.（上游生答友）.

:如图，在RT,ABC中，NACB=RTN,CD是斜边AB上的中线，

求证:CD=，AB

2

证明：延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE.[\.......VI

•••CD是斜边AB上的中线.I\/

XvCD-DE\/\

/.四边形AEBC是平行四边形.1/\

•/ZACB=RTZ,---------

/.四边形AEBC是矩形（矩形的定义）.

/.CE二AB（矩形的对角线相等），

1

/.CD=-AB

2

三.稳固练习

1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分A

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=5,AC=13,那么矩A

形ABCD的面积/

的连线互相垂直，且该矩形的周长为24cm,那么矩形的面积为cm?。

4.如下图，在矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,那么/

EBC=o

5.如图，AABC中，AB=AC,D为BC上一点，DE1AB,DF1AC,为高，

求证：DE+DF=BM,)

6.如图，ABCD是矩形纸片，翻折/反ND,使比;力〃恰好落在力。上。设尺

〃分别是反〃落在4。上的两点，E、G分别是折痕区4G与孙Q?的C

交点。

（1）求证：四边形力笈7G是平行四边形;

：2）假设49=4°以，BC=3cm,求线段砂的长。

7、：如图，在AABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点D,AN是△ABC的外

角NCAM的平分线，CE1AN,垂足为点E,求证：四边形ADCE为矩形。

8、如图,在矩形ABCD中,AP=DC,PH=PC,求证：PB平分NCBH.

9、如图,矩形ABCD中,E为AD卜一点，EFICE交AB于F,假设DE=2.

矩形ABCD的周长为16,且CE=EF,求AE的长.

10、：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,

H,求证：四边形EFGH是矩形。

11、：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、

N•分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.

12、如图，在四边形中，471.。8交于0,E、尸、G、”分别是

四边的中点，

求证：四边形EFGH是矩形.

四.小结：

1.通过这节课的学习，你有什么收获？1请各个层次的同学答复）.

2.还有什么困惑需要我们共同解决？

教学反思：

§1.3正方形的性质与判定

教学目标

1、掌握正方形的概念

2、经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形

的关系

3、掌握正方形的性质

4、掌握正方形的判定

5、进一步加深对特殊与一般的认识

教学重点、难点

重点：正方形的性质与判定.

难点：正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系.

教学过程

一、情景引入

出示一块方巾，它是什么几何图形？（正方形）

中国人对正方形有特殊的感情，如“坦荡方正”，“天圆地方”等词语,

还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示），今天我们就来研

究正方形

二、探索新知

这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？

与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？

与一般的矩形相比，它有何特殊性？

与一般的菱形相比，它又有何特殊性？

三、梳理新知

结合学生的发现，师生共同归纳出以下几点：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的

性质

性质：四个角都是直角，四条边相等

对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

判定：一组邻边相等的矩形是正方形

有个角是直角的菱形是正方形

四、稳固新知

1、例题

例1：如图：AABC中，NACB=90°,CD平分NACB,DE_LBC,DF_LAC,

垂足分别为E、F求证：四边形CFDE是正方形.

解：CD平分NACB,DE±BC,DFXAC

・・・DE;DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

AZDEC=ZECF=ZCFD=90°,

・•・四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），

又•・・DE;DF（已证）

・•・四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正

方形）.

例2：：如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四

条边上的点，并且A/V二BB'=CC':DD'

求证：四边形A'B'C'D'是止方形

分析：法一：①先证明四边形A'B'C'『是菱形②

再证明四边形A'B，L＞有一个角是直角

法二：①先证明四边形A'B'C'D'是矩形②再证明四边形

A'B'C'D'有一组邻边相等。

证明：.••四边形ABCD是正方形

/.AB=BC=CD=DA

XVAA=B'B=C'C=D'D

.*.D'A=AB=B'C=C'D

ZA=ZB=ZC=ZD=90"

:.AAA'D'A'^ACC'B'^ADD'C'

AD'=AB'=BC'=CD'

・•・四边形A'B'C'D'是菱形

又VNAD'ANBA'B',ZAA-D'+ZAD'A'=90°

AE

AZAA'D'+ZBA'B'=900

VZD*A'B'=180°—(ZAA'D'+ZBA'B')=90°

.••四边形A'B'C'D'是正方形

例3：如图：EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点0,EG_LFH,求证四边形

EFGH为正方形

解答：♦・,正方形ABCDEG1FH

:.Z0AH=Z0BE=45°,DB=AC0A=0B,ZA0H=90°-ZA0E=ZBOE,

:.ZlAOH^/BOE(ASA).AOH=OE.

同理OE=OF=OG=OH,

・•・四边形EFGH是平行四边形.・.FH=EG

*.*EG_LFH・，・四边形EFGH为正方形。---------刁。

2、稳固练习\/

1、如图，分别延长等腰直角AOAB的两条直角边A0和B0,使

AO=OC,B0=0D

求证：四边形ABCD是正方形/

2、矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN,判断四叱七

边形EMFN的形状，并说明原因：

五、实践应用

(1)、给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？

(2)、完成课本节前图

(3)、请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是

否经得起推敲？比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？教师等

待学生互相交流后，请学生代表发言

六、理论提升

例题：，如图，在RlZ\ABC中，NACB=90°,CD是NACB的平分线，DE1

BC,DF±AC,垂足分别是E、F

求证：四边形CFDE是正方形/\

证明：VDE1BC,DF±AC

AZDEC=ZDFC=90°VZACB=90°/\

・•・四边形CFDE是矩形(为什么？)入D

VCD是NACB的平分线

/.ZACD=ZBCD

ADE=DF

:.四边形CFDE是正方形(为什么？)

七、小结

11)这节课我的收获是什么？

12)我最感兴趣的是什么？

13)我想进一步研究的问题是什么？

教学反思：

补充练习：

1、判断以下命题哪些是真命题、哪些是假命题？

对角线相等的菱形是正方形。()

②、对角线互相垂直的矩形是正方形。()

③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。()

©、四条边都相等的四边形是正方形。()

⑤、四个角都相等的四边形是正方形。()

@、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。()

⑦、正方形一定是矩形。()

⑧、正方形一定是菱形。()

@、菱形一定是正方形。()

颁、矩形一定是正方形。()

2、：如图，正方形力中，C%CD,郴L4C,连结CN,那么/比蚌

4B,乙帆氏=_______ZB.

3.在正方形中，力庐12cm,对角线切相交于0,那么△力死的周长

是()

A.12+12后B.12+672C.12+72D.24+6收

4、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,

求NAF3的度数。

变式：1、如以下图，正方形力仇力中，£是刃边上的一点，尸为比'延长线上

一点,CE=CF.

(1)求证：△应'屋△/匕(2)假设N班送60°,求N分力的度数.

5、如图，£为正方形力腼的回边上的一点，CG*分乙DCF,连结力£,并在

CG」二取一点G,使吩45：求证：AEVEG.

6、P为正方形ABCD内一点、,PA=1,陟2,PU3,求N力阳的度数.

7、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,

CE与DB相交于点F,那么NA/7”。

8、(哈尔滨)假设正方形ABCD的边长为4,E

为BC边上一点，BE=3,M为线段AE上一点，射

线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,那么

BM的长为。

9、(海南省)如图，尸是边长为1的正方形力凿9

对角线4c上一动点(。与4、C不重合)，点£在射线比上，旦PE=PB.

(1)求证：QPE=PD；②血做

(2)设/月乂△蹴的面积为卜求出y关于x的函数关系式，并写出x

的取值范围；

10、.正方形的面积是那么其对角线长是一

3

11、E为正方形月腼内一点，且△陇是等边三角形，求/胡〃的度数.

12、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点0是正方形ABCD

的中心，正方形0MNP绕0点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种

位置，这两个正方形重叠局部的面积总是一个定值，并求这个定值.

13、E是正方形ABCD对角线AC上一点，跖_LCREGJ_A。，垂足分别

为F、G,求证：BE=FGo

11、七二钻。中，ZC=90°,CD平分

NACB,交AB于D,

DF//BC,DE//AC,求证：四边形DECF为正方

形。

第二章一元二次方程

在学习本章之前，学生已经分两次学习过

整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），并且学习了可以化为一元一

次方程的分式方程，他们对于解方程的根本思路（使方程逐步化为X=«的形

式）已经比拟熟悉，按照这种思路可以继续考虑一元二次方程的解法。

一元二次方程与前面的方程相比，特点在于未知数的次数是2（二次），

新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程，即一次方程。从这

个新问题入手，可以自然地引出解一元二次方程的根本策略和关键步骤。教

科书分析问题时注意了表达出“降次”是很自然、很合理地产生的，这是在

原来已经认识了的解方程的根本思路根底上，结合一元二次方程的实际而得

到的解决问题的根本策略。这样处理既突出了一元二次方程解法上的特点及

其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。各种

解法中能够创造条件实现降次的步骤1配方、开方、分解因式等）就是该解

法的关键步骤，它们是落实降次的具体措施。

在本章的教学和学习中，应重视相关内容与实际的联系，可以选择一些

适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题，结合这些问题展

开教学的内容。要注意防止脱离任何实际问题单纯地讲述一元二次方程的内

容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度

看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总

之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出一元二次方程来自实际又效

劳于实际，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的反映。

对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题

的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系“翻译”

为一元二次方程。这里需要指出，正确地理解实际问题情境是完成这一工作

的根底。因此，本章的教学不能是封闭于数学知识内部的，而应是联系实际

问题的开放式的，同时在丰富的内容中不失提炼数学知识这个精髓，最终使

学生掌握数学根底知识，提高数学根本技能和能力，并且能运用它们处理某

些实际问题。

在本章的教学中，可以从多种角度表达和思考实际问题，例如借助图象、

表格、式子等进行不同形式来描述问题，分析问题，发现其中的数量关系，

并建立相应的一元二次方程模型。教学中还应使学生认识到数学方法解决问

题的结果要接受实际检验，注意检验所得方程及其根的实际意义，进行必要

的讨论，找出符合实际的结果。

§2.1认识一元二次方程(第一课时)

教学目标：

1.理解一元二次方程的概念及它的有关概念；

2.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻

画现实世界的一个有效数学模型.

教学重点：一元二次方程的概念及它的一般形式

教学难点：一元二次方程的概念

教学过程：

I.创设现实情景、引入新课

经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一

个矩形花园提供多种设计方案吗?……

下面我们来学习第节：花边有多宽.(板书)

II.讲授新课

例1我们来看一个实际问题(小黑板)

一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图，它

的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面

积为18m2,那么花边有多宽？⑴

分析：从题中，找出量、未知量及问题中所涉及的等量关系.

这个题:这块地毯的长为8m,宽为5m,它中央长方形图案的面积为18m2.

所要求的是；地毯的花边有多宽.此题是以面积为等量关系.

如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m,宽为

(5-2x)m,根据题意，可得方程(8—2x)(5—2r)=18

例2.下面我们来看一个数学问题(小黑板)

观察下面等式

102+112+122=132+142.

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的

平方和吗？

总结：这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可

灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可

随之变化.

例3下面我们来看一个实际问题(小黑板)：

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙匕梯子的顶端距地面的垂直距离

为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

分析：墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形.梯

子的长为10m,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,所以由勾股定理可知，

滑动前梯子底端距墙有6m.

设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m,根据题意，利

用勾股定理，可得方程.

上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程，等号两边都是关

于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，

二元一次方程等都是整式方程.这三个方程还都可以化为加+欣+c=0(a、

力、c为常数，在0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程

(quadraticequattonwithoneunknown)»即只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为加+云++c=0(存0)的

形式，其中。却是定义的一局部，不可漏掉，否那么就不是一元二次方程了.

III.应用、深化

1、判断以下方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一

次项及一次项系数和常数项：

(1)2X2+3X+5(2)(x+5)(x+2)=x2+3x+l

(3)(2x-l)(3x+5)=-5(4)(3x+l)(x-2)=-5x

2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项

系数、一次项系数和常数项。

3、关于x的方程(k-3)X2+2X-1=0,当k时，是一元二次方程。

4、试找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：

如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为、、

、，根据题意可得方程：

5、判断以下方程哪些是一元二次方程

(1)4x2—5x—l=x(2)9x|—5=0(3)—+x—5=3

x

X

(4)ax2+(b—l)x+c=O(aWO)(5)5(x—1)2=5X2(6)-^+1=0

V2-I

6、判断关于x的方程x2—nx(x-n-l)=5x是不是一元二次方程，如果是，

指出其二次项系数，一次项系数及常数项。

7、把方程2x(x-3)=(x+l)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别

是。

A,3、7、1B.2、-5、TC.1、-5、-1D.3、-7、-1

x~

6、方程①x?-l=x;②2x2-y-l=0;③3/-1+1=0;④、=1中.其中是

x

一元二次方程的是()

A.①④B.®@@C.①D.①②

7、方程X?二x的解是0

A.1B.1或-1C.0D.1或0

8、在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅

矩形图。如果要使整个挂图的面积是5400cn「，设金色纸边的宽为xcm,那么

满足的方程是0

A,X2+130X