2025年春北师版数学八年级下册教学课件 第1章 4 角平分线 第2课时 三角形三条内角平分线

第1章三角形的证明4角平分线第2课时三角形三条内角平分线北师版

八年级数学（下）导入新课填一填：(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离_______；(2)在一个角的内部到角的两边距离________的点在这个角的___________；(3)三角形三边的垂直平分线相交于_______点，并且这一点到三个顶点的距离_______．相等相等平分线上一相等思考：三角形的三个内角平分线的特点？三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．探究新知探究求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

已知：如图，在△ABC

中，角平分线BM

与角平分线CN

相交于点P，过点P

分别作AB，BC，AC

的垂线，垂足分别为D，E，F.

ABCPEFMDN求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.证明：∵BM

是△ABC

的角平分线，点P

在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理：PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P

在∠A

的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即∠A的平分线经过点P.ABCPEFMDN探究

比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于___________________交于_________________钝角三角形交于___________________直角三角形交于___________________交点性质到三角形_____________的距离相等到三角形的_____的距离相等三角形内一点三角形外一点斜边上的中点三个顶点三角形内一点三边应用举例例1A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶5【分析】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案．

如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)BCAOC例2ACBED

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.(1)已知CD＝4cm，求AC的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.（1）解：∵AD

是△ABC

的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，垂足为E，

∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∵AC=BC∵∠C=90°，∴∠B=∠BAC（等边对等角）∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角对等边）.∴∠B=×90°=45°.在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得cm，∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.ACBED（2）证明：由（1）的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED随堂练习1．到三角形三边距离相等的点是(

)A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．不能确定C2．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是(

)①作射线OC；②在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于

DE的长为半径作弧，在∠AOB内部，两弧交于点C.A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①ADOEBCC3.已知：如图，P

是∠AOB

平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为

C、D.求证：（1）OC=OD；（2）OP是

CD

的垂直平分线.OCDBPEA证明：（1）P

是∠AOB

角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，OCDBPEA∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

在Rt△OPC

和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）.∴OC=OD（全等三角形对应边相等）.（2）∵

OP是∠AOB

的角平