2025年春北师版数学八年级下册教学课件 第1章 3 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线

第1章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线北师版

八年级数学（下）导入新课作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？P

三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．探究新知探究【三角形三条边垂直平分线的性质的证明】

已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.

求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.PABC求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PABC∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.探究新知探究（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？A1DCBAah()DCBAahA1DCBAahA1解：可以画出无数个三角形（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？解：已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．CDAEBOF

注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形．(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？解：如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图.CABDhh探究新知探究已知：如图，线段a，h.求作：△ABC，使

AB=AC，且

BC=a，高AD=h.ah尺规做出等腰三角形作法：（1）作线段BC=a.（2）作线段

BC的垂直平分线l，交BC于点D.（3）在l

上作线段DA，使DA=h.（4）连接

AB，AC.△ABC为所求的等腰三角形.BCDAl

已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.做一做ABCP解：作法：1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和B．2．作线段AB的垂直平分线PC．直线PC就是所求l的垂线．l

如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.议一议P●BA作法：(1)先以P为圆心，大于点P到直线l的垂直距离R为半径作圆，交直线l于A，B.CDP●(2)分别以A、B为圆心，大于R的长为半径作圆，相交于C、D两点.(3)过两交点作直线

l,此直线为l过P的垂线.应用举例例1(1)若∠A＝35°，则∠BPC＝________；解：∵DP垂直平分AB，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∴∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°；ADPBC

如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.例1(2)若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长为________cm.解：∵AB＝AC＝5cm，AC＝AP＋PC，∴AP＋PC＝5cm.∵AP＝BP，∴BP＋PC＝5cm，∴△PBC的周长为BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm).ADPBC

如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点P.例2【分析】根据题意，要想将△ABC的面积四等分，需将线段BC四等分，因此在BC边上作三条垂直平分线即可．

如图，靠河边有一块三角形菜地，要分给甲、乙、丙、丁四家，为了分配合理，需要所分的面积相等，而且每家的菜地都要有靠河边的位置，便于取水浇地．你能想办法将菜地合理分配吗？(保留作图痕迹)ABC

如图所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分给甲、乙、丙、丁四家等面积且都有靠河边的菜地．ABCDEF解：①作线段BC的垂直平分线交BC于点E②作线段BE的垂直平分线交BE于点D③作线段CE的垂直平分线交CE于点F④连接AD、AE、AF即可得到四个等底等高的三角形随堂练习1．P为△ABC内一点，且点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P是(

)A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三个角的平分线的交点D．三边垂直平分线的交点D2．如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(

)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形A3．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了实现村民子女就近入学，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置.解：作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；②连接BC，作线段BC的垂直平分线M′N′，MN与M′N′交于点P，点P就是所求学校的位置．ABCMNM′N′P4.如图，在△ABC

中，BC=2，∠BAC

＞90°，AB

的垂直平分线交

BC于点

F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.ABCEF解：AE=BE，AF=CF.（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=25.如图，已知线段

a，求作以a