浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期数学4月模拟考试预演试卷（含答案）

浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期数学4月模拟考试预演试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若向量a=(x，2)，b=(−1，A．23 B．4 C．32 2．已知集合M满足{2，A．6 B．7 C．8 D．93．已知(x+1)(x−1)5=A．-1 B．0 C．1 D．24．若复数z=i+i2+i3A．1 B．2 C．5 D．25．已知等比数列{an}的公比的平方不为1，bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC，AD分别与球面交于点M，A．4375R3 B．43257．设函数f(x)=ex−ax2+ax（a∈R）（e=2.718⋯为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数m，A．(e22，e412] 8．如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(−c，0)，F2(c，0)，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆x2+yA．2 B．52 C．3 二、多选题9．已知sinθ+cosθ=A．sinθcosθ=−C．sinθ−cosθ=10．如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．VB．点P在线段B1C．BD1D．直线AP与侧面BCC111．设F1，F2为椭圆x24+A．△ABFB．△ABF2C．|AFD．存在直线l使得△ABF212．已知各项均为正数的数列{an}满足aA．an>aC．an≤1三、填空题13．已知O(0，0)、A(3，0)，直线l上有且只有一个点P满足|PA|=2|PO|，写出满足条件的其中一条直线14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布X∼N(98，100)．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是．附：若X~N(μ，15．已知矩形ABCD在平面α的同一侧，顶点A在平面上，AB=4，BC=22，且AB，BC与平面α所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形ABCD与平面α所成角的正切值为16．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为.四、解答题17．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=2，（1）证明：AC1//（2）求点A到平面B118．记Sn为数列{an}的前（1）求{a（2）令bn=2an，记数列{bn19．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得−1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为（1）求2A+C；（2）证明：c>b>221．已知抛物线C1：x2=y（1）设Q是C2上的一点，求|PQ|（2）过点P作C2的两条切线分别交C1于A，B两点（异于P）.若22．已知函数f(x)=lnx，（1）证明：当x≥1时，f(x)≤g(x)；（2）设a，b为正实数且（i）若ab=b（ii）若a+b=1，证明：ab

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由a⊥b，可得所以x=4，a=(2|a故答案为：D.

【分析】利用向量数量积的坐标运算和向量模的公式，可求出答案.2．【答案】C【解析】【解答】因为{2，所以集合M可以为：{2，{1，故答案为：C.

【分析】由已知结合集合子集个数与元素个数的关系，即可求解出答案.3．【答案】B【解析】【解答】因为(x+1)(x−1)5=x(x−1)5−(x−1)5，(x−1)5展开式第r+1项Tr+1=C5故答案为：B

【分析】直接利用二项展开式和组合数的应用，求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为i1=i，i2=−1，i3i4k+1=i，i4k+2=−1，i4k+3=−i，所以当n=4k，(k∈N*)时z=0当n=4k+1，(k∈N)时z=i，则|z|=1，当n=4k+2，(k∈N)时z=−1+i，则|z|=(−1)当n=4k+3，(k∈N)时z=−1，则|z|=1，所以|z|的最大值为2.故答案为：B

【分析】分n=4k，(k∈N*)，n=4k+1，(k∈N)，n=4k+2，(k∈N)，n=4k+3，(k∈N)四种情况讨论，分别求出z，即可得到|z|5．【答案】C【解析】【解答】设等比数列{an}的公比为q，若{abn}若{bn}是等差数列，设{bn}的公差为综上，“{abn故答案为：C

【分析】利用等差数列和等比数列的递推关系进行证明即可.6．【答案】A【解析】【解答】连接BM，MN，所以BM⊥AM，在Rt△ABC中，Rt△BCM∼Rt△ACB，所以BCAC=CM其中AC=R2+易证△AMN∽△ACD，所以MN=4取MN的中点P，CD的中点Q，连接则AQ必过点P，于是S△ABQ又AO=1所以S==1于是VA−OMN故答案为：A

【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出△AOP的面积及三棱锥A−OMN的体积.7．【答案】A【解析】【解答】函数f(x)=ex−ax2+ax中，f(当x>1时，f(x)令g(x)=exx2−x，x>1因此函数g(x)在(1，则必有a>g(2)于是得a≤g(4)=e故答案为：A

【分析】根据给定条件，只需考查当x>1时，a>exx8．【答案】D【解析】【解答】设椭圆方程为x2a2则a2由ca=15因为c2=a故椭圆方程为2x联立x2+y2=则A(30由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于x轴对称，则B(306b所以P(306b直线CP：A(306b，63又s2+②①结合得到s2=5因为a2=52b2，显然故双曲线方程为2x联立CP：y=55(x−设Q(x则−306b故y1所以Q(7所以k2=6故k1故答案为：D

【分析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，双曲线方程为x2s9．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：因为sinθ+cos即sinθ对于B、C：(sinθ−cosθ)2所以sinθ>0，cosθ<0，即sin对于D：联立sinθ+cosθ=15故答案为：ACD.

【分析】将已知等式两边平方，结合同角三角函数的基本关系即可求解sinacosa的值，cosa<0，sina>0，由角a的范围求出sina和cosa的值，再由同角三角函数的商数关系求解tana的值，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】B,C【解析】【解答】对于A，点P在平面BCC1B1内，平面BCC1B所以VP−A对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(x，1，z)，B(1，1，0)所以AP=(x−1，1，z)因为AP⊥BD1，所以AP⋅BD1=1−x−1+z=0所以CP=−xB1C，即对于C，A1(1，0，1)，C1由DA因为DA1∩DC1=D，DA1，对于D，AP=(x−1，1，x)，0≤x≤1设AP与平面BCC1B1的夹角为其正弦值为sinθ=由0≤x≤1，得22故答案为：BC．

【分析】求出VP−A11．【答案】A,C,D【解析】【解答】由椭圆x24+所以△ABF2为因为|AF1|+|AF2由题可设直线l的方程为x=my−1，由x=my−1x可得(3m设A(x1，所以|y所以△ABF2的面积为令t=m2+1，则t≥1所以S=12因为t≥1，由对勾函数的性质可知3t+1所以S=12m2+13由上可知y所以x1+x所以△ABF2的重心为令13(1−8所以当直线l的方程为x=2y−1时△ABF2的重心为故答案为：ACD.

【分析】根据题意可得a=2，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8，即可判定A；

根据题意可得c2=a2-b2=1，进而可得焦点的坐标，由题可设直线l的方程为x=my−1，计算点F2到直线l的距离d，联立直线l与椭圆的方程，设A(x1，y1)，B(x12．【答案】A,C,D【解析】【解答】设函数f(x)=ex−cosx(x>0)，则f用数学归纳法下证0<a当n=1时，有0<a假设当n=k时，有0<a由于f(0)=0<a所以根据f(x)在(0，+∞)上单调递增可知即当n=k+1时，有0<a综上可知，0<a对于A，令g(x)=e因为g'(x)=ex−1>0，故g(x)即ex−x−1>0，即an对于B，令h(x)=ex−令m(x)=h'令n(x)=m'(x)，则n'(x)=ex所以m'(x)>m'(0)=0，所以m(x)所以h'(x)>h'(0)=0所以h(x)>h(0)=0，即ex−cos故an对于C，可用数学归纳法证明：an当n=1时，有0<a假设当n=k时，有0<a若ak则由(*)可知与假设ak≤1故an对于D，当n≥1时，an故Sn故答案为：ACD.

【分析】A选项，先构造函数f(x)=ex−cosx(x>0)，求导可得f(x)在(0，+∞)13．【答案】x=1（答案不唯一，只需满足直线l与圆(x+1)2【解析】【解答】设点P(x，y)，由|PA|=2|PO|可得整理可得(x+1)2+y2=4，即点P直线l上有且只有一个点P满足|PA|=2|PO|，所以，直线l与圆C相切，所以，直线l的方程可为x=1.故答案为：x=1（答案不唯一，只需满足直线l与圆(x+1)2

【分析】设出动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆(x+1)2+y2=4上有且仅有的一点，可得直线l14．【答案】1500【解析】【解答】因为考试的成绩X服从正态分布N(98，根据μ=98，σ=10，则108=98+10=μ+σ，得P(ξ≥108)=1−0即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由9450×15.故答案为：1500.

【分析】利用正态总体密度曲线的性质求出概率，即可得答案.15．【答案】3【解析】【解答】如图，过B，D分别做平面α的垂线，垂足分别为E，F，连接AE，AF，由DF⊥α，BE⊥α，因为AB，BC与平面α所成的角的大小分别为30°，45°，且BC//AD，BC=AD，所以∠BAE=30°，∠DAF=45°，得BE=DF=AF=2，AE=23因为DF⊥α，BE⊥α，又BE=DF=2，所以四边形DFEB是平行四边形，所以BD//EF，因为BD⊄α，EF⊂α，所以BD∥α，所以过A作l满足l//EF，则l即为矩形ABCD与平面α的交线，过E做EP垂直l于点P，连接BP，则∠BPE即为所求，在△AEF中，cos∠FAE=由cos2∠FAE+所以S△AEF=1所以矩形ABCD与平面α所成角的正切值为tan∠BPE=.故答案为：3.

【分析】过B，D分别做平面α的垂线，垂足分别为E，F，连接AE，AF，得DF⊥AF，BE⊥AE，四边形DFEB是平行四边形，过E做EP垂直l于点P，连接BP，则16．【答案】330【解析】【解答】当m为偶数时，令m=2n，则总共有C2n不妨设有x个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队Ai(i=1，2，⋯，2n)在比赛中赢了ki场，则i=1下求i=12n若在k1，k则令ki*=kiCk故调整后i=12n不妨设有y个a，2n−y个a+1整理有a−y由于1≤y≤2n−1，故y2n∈(0，即调整后有n个n−1，n个n.此时的值i=12n则x≤C故友好组个数的最大值为n(n−1)(n+1)3，即m(m−2)(m+2)下面为取到最大值的例子：设在A1，A2，⋯，A2n.共2n支球队中，当1≤i≤n时，队Ai胜综上所述，当m为偶数时，友好组个数的最大值为m(m−2)(m+2)24故答案为：330

【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理，即可求出友好组个数的最大值.17．【答案】（1）证明：连接BC1交B1C于点则有N为BC1的中点，M为所以an且AC1⊄平面B1CM所以AC1//（2）解：连接AB1，因为CA=CB=2，所以又因为AA1⊥平面ABC，CM⊂所以AA1⊥CM，AB∩AA1又因为MB1⊂平面AB又CA2+CCM=1所以S△CMS△ACM设点A到平面B1CM的距离为因为VA−B1所以d=S【解析】【分析】（1）连接BC1交B1C于点N，连接MN，推出AC1//MN，根据线面平行的判定定理可证得AC1//平面B1CM；

（2）推出CM⊥平面ABB18．【答案】（1）解：由Snan+1−S又a1=1，故所以数列{Sna所以Snan故Sn+1=n+22a所以an+1因此{an}（2）解：由（1）及bn=2an又4n因为Cn0，Cn故T2n−1所以T2n−1【解析】【分析】(1)由题意可得an+1=n+22an+1−n+12an，即n19．【答案】（1）解：记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：P(A)=12×(1−甲的得分X的可能取值为−1，P(X=−1)=P(AP(X=0)=P(AB)+P(P(X=1)=P(AB所以X的分布列为：X−101p171E(X)=−1×1（2）解：经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得−1分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为P1甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为P2甲3轮中有2轮各得1分，1轮得−1分的概率为P3甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为P4所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率P=1【解析】【分析】(1)先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；

(2)根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合(1)中的数据分析运算，可得甲得分高于乙得分的概率．20．【答案】（1）解：由sinA=cosB，得A=π2±B所以C≠π2，即A+B≠π所以2A+C=2A+(π−A−B)=2A+[π−A−(A−π（2）证明：由sinA=tanC=tan得1=sin故2co令cosA=x(−1<x<0)，则f(x)=2f'当x<−1时，f'(x)>0；当−1<x<0时，所以函数f(x)在(−∞，−1)上单调递增，在又f(−12)>0进而32<sin可得B<π6<C而ba=sin所以c>b>2【解析】【分析】(1)根据sinA=cosB，由诱导公式逆推可得A=π2±B，再由A+B≠π2，可得A=π2+B，再代入2A+C，计算即可得2A+C的值；

(2)根据(1)可得sinA=tanC=tan21．【答案】（1）解：设P(t，t2|PC所以当t=±142时，|PC所以|P