八年级下册《矩形》课件与练习

第十八章

平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时

矩形的性质学习目标1.通过操作活动发展学生的几何直观,增进学生主动探究的意识,培养学生的数学思维.2.经历探索矩形性质的过程,掌握矩形的性质定理,培养学生的逻辑推理能力.学习重点：矩形的定义及性质.学习难点：矩形性质的应用.学习重难点回顾复习思考:回顾平行四边形研究了哪些内容.平行四边形的性质是从哪几方面研究的？平行四边形的性质与判定有什么联系？思考我们还要研究哪些内容,请设计研究路径.导入新课观察下列图片,下列长方形是平行四边形吗？特殊在哪里？探究新知学生活动一【一起探究】有一个角是直角定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.平行四边形矩形探究新知学生活动二【探究性质】思考：平行四边形的性质矩形具有吗？为什么？矩形还有它特殊的性质吗？从哪几个方面进行研究？矩形具有平行四边形的所有性质.矩形的特殊性质可以从角、对角线两个方面来考虑.探究新知猜想：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等.思考:如图,观察图形,猜想矩形的角、对角线有哪些特殊的性质.探究新知1.如图,四边形ABCD是矩形.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.证明：由定义,可知矩形必有一个角是直角，设∠A=90°,∵AB∥CD,AD∥BC,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.探究新知2.如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:AC=DB.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.探究新知你能用三种语言表达矩形的角和对角线的性质吗？文字语言矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等图形语言符号语言∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD探究新知学生活动三【探究性质】思考：你能用矩形的性质得到直角三角形的有关性质吗？

探究新知你能用三种语言表达直角三角形的性质吗？

探究新知学生活动四【应用性质】例如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形.∴OA=AB=4.∴AC=BD=2OA=8.拓展应用1.如图所示,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,∠DAE∶∠BAE=3∶1,求∠BAO

和∠EAO

的度数.

拓展应用2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.求证:BD=BE.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AC=BE.∴BD=BE.回顾反思1.在探寻矩形的定义及性质时,你经历了怎样的研究过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？2.在研究一个图形时,图形的定义、性质、判定是重要的研究问题,你能说一说矩形后续还会研究哪些内容吗？怎样研究呢？当堂训练1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别与AB,CD交于点E,F,则图中阴影部分的面积为________．3当堂训练

D当堂训练3.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,把纸片沿直线AC折叠,点B

落在E处,AE交DC于点O.若AO=5cm,则AB的长为(

)A.6cmB.7cmC.8cmD.9cmC当堂训练4.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为

．4cm2或12cm2当堂训练5.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;

当堂训练(2)若AB=6,∠COD＝60°,求矩形ABCD的面积.

1.有一个角是

的平行四边形叫矩形.2.矩形的四个角都是

.3.矩形的对角线

.4.直角三角形斜边上的中线等于

.知识梳理直角直角相等斜边的一半课后作业

B课时学业质量评价A3.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,且∠ADE∶∠EDC=3∶2,则∠BDE的度数为(

)A.36° B.27° C.18° D.9°4.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,BC=12,D是AC中点,则BD的长为

.C6.5

5.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若BE=BO,求∠OAE的度数.第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形《第1课时矩形的性质》同步练习矩形的概念1.【原创题】如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=65°,固定BC边不动,AB边绕B点转动得到平行四边形A1BCD1,要使平行四边形A1BCD1成为矩形,则∠ABA1的度数是(

)

A.90° B.25°C.35° D.不能确定B基础通关2.如图,已知直线m∥n,点A,C分别在直线m,n上,且AB⊥直线n,垂足为B,P为直线m上的动点.关于甲、乙的说法,下列判断正确的是 (

)甲:点P到直线n的距离等于AB的长度;乙:若PC∥AB,则四边形ABCP是矩形.A.只有甲正确 B.只有乙正确C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确C矩形的四个角都是直角3.如图,矩形ABCD是一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时,∠AED的大小为 (

)A.27° B.53° C.57° D.63°4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为

.

D

5.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为E,AE与CD交于点F.(1)求证:△DAF≌△ECF;

6.[教材第53页例1改编]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOD=120°,AB=3,则BC的长为

.

7.如图,在矩形ABCD中,两对角线相交于点O,AE⊥BD于点E,若∠DAE=3∠BAE,则∠DAE=

,∠DAO=

.

67.5°22.5°直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8.如图,在△ABC中∠ABC=90°,D是AC边上的中点,AB=6,BC=8,则BD=

.

59.在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F是BC的中点,若∠DFE=60°,判断△DEF的形状,请说明理由.

能力突破C11.【易错题】若矩形一个角的平分线把矩形一边分为2cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为

.

12.如图,在矩形ABCD中,点M在AB边上,把△BCM沿直线CM折叠,使点B落在AD边上的点E处,连接EC,过点B作BF⊥EC,垂足为F,若CD=1,CF=2,则线段AE的长为

.10cm2或15cm2

13.如图,长方形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠,使点D

与点B

重合,点C

落在点C'处,折痕为EF.(1)求证:BE=BF.证明:由题意,得∠BEF=∠DEF,∵四边形ABCD

为矩形,∴DE∥BF.∴∠BFE=∠DEF.∴∠BEF=∠BFE.∴BE=BF.(2)若∠ABE=24°,求∠BFE

的度数.

(3)若AB=4,AD=8,求AE

的长.解:由题意知,BE=DE,设AE=x,则BE=DE=8-x.在Rt△ABE中,由勾股定理,得(8-x)2=42+x2,解得x=3.∴AE

的长为3.14.【几何直观、推理能力】在矩形ABCD中,AB=4,BC=3.若P是CD上任意一点,如图1,PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F.(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,请写出你的理由.素养达标

(2)当P是AD上任意一点时,如图2,直接写出PE和PF之间的数量关系;(3)当P是DC上任意一点时,如图3,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,请写出推理过程.

第十八章

平行四边形18.1特殊的平行四边形18.2.1矩形第2课时

矩形的判定学习目标1.经历探索矩形判定定理的过程，掌握矩形的判定定理，培养学生的合情推理与演绎推理的能力.2.通过对比平行四边形判定的学习方法，体会证明过程中类比、转化、由一般到特殊的数学思想方法，发展学生的数学思维.学习重点：矩形的判定定理.学习难点：矩形判定定理的应用.学习重难点回顾复习思考：回顾平行四边形的判定定理是怎样研究的.平行四边形的性质与判定有什么联系？矩形有哪些性质？矩形的判定从何处入手研究？导入新课假如你是做门窗的师傅，你有什么方法检验你做的这个门窗是矩形的吗？定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.还有其他的检验方法吗？探究新知学生活动一【一起探究】矩形的性质：1.矩形的四个角都是直角；

2.矩形的对角线相等.请写出上述定理的逆命题，并对矩形的判定提出猜想.探究新知1.矩形的性质1：矩形的四个角都是直角.条件

结论逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.条件结论探究新知猜想：四个角都是直角的四边形是矩形.请画图验证上述猜想.发现：通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出的一个四边形是矩形.如图,四边形ABCD为矩形.BCAD由此猜想：三个角是直角的四边形是矩形.探究新知证明:三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图所示,在四边形ABCD

中,∠A=∠B=∠C=90°.

求证:四边形ABCD是矩形.BCAD证明:∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.

∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形.探究新知由此可得矩形的判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.你能用三种语言表达这一判定定理吗？1.文字语言：有三个角是直角的四边形是矩形.2.图形语言：3.符号语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.探究新知2.矩形的性质2：矩形的对角线相等.条件

结论逆命题：对角线相等的（平行）四边形是矩形.条件结论探究新知猜想：对角线相等的四边形是矩形.请画图验证上述猜想.发现：如图,AC=BD,但四边形ABCD不是矩形,故上述猜想错误.再次猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.探究新知证明:∵在▱ABCD中,AB=DC,BC=CB,且AC=DB.∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是矩形.证明:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证:▱ABCD是矩形.探究新知由此可得矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.你能用三种语言表达这一判定定理吗？1.文字语言：对角线相等的平行四边形是矩形.2.图形语言：3.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD，

∴▱ABCD是矩形.

假如你是做门窗的师傅，你有什么方法检验你做的这个门窗是矩形的吗？检验是否有三个直角;检验两组对边是否相等，对角线是否相等.探究新知探究新知学生活动二【应用判定】例

如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°,求∠OAB的度数.

拓展应用1.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是(

)A.AB∥DC

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.AB=DCC拓展应用2.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB

=4cm,求▱ABCD的面积.

拓展应用3.如图,在矩形ABCD中,AB=24cm,BC=8cm,点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4cm/s的速度移动,点Q从点C开始沿CD边以2cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达点D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为ts.当t为何值时,四边形QPBC为矩形？解:根据题意得CQ=2t

cm,AP=4tcm，则BP=(24-4t)cm,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,CD∥AB.∴只有当CQ=BP时,四边形QPBC是矩形,则2t=24-4t,解得t=4.∴当t=4时,四边形QPBC是矩形.回顾反思1.在探寻矩形的判定定理时，你经历了怎样的研究过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？2.矩形是特殊的平行四边形，特殊在哪里？还有其他的特殊的平行四边形吗？还可以从哪方面进行研究？你能设计研究路径吗？当堂训练1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,若要使▱ABCD为矩形,则OB的长度为(

)A.4B.3

C.2D.1B当堂训练2.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定的方案,其中正确的是(

)A.测量对角线是否相互平分

B.测量两组对边是否分别相等C.测量对角线是否相等

D.测量其中三个角是否都为直角D当堂训练3.如图,在▱ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,请你添加一个条件____________________,使四边形DBCE是矩形．EB=DC(答案不唯一)当堂训练4.已知:如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD且OA=OC,OB=OD.∴OA=OC=OB=OD.又∵E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点,∴OE=OG=OF=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF,∴四边形EFGH是矩形.当堂训练5.如图,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.

1.定义法:有一个角是

的

形叫做矩形.2.对角线

的

形是矩形.3.有

个角是直角的

形是矩形.知识梳理直角平行四边形相等三平行四边形四边形课后作业2.如图是一个活动的平行四边形ABCD框架,∠ABC=40°,拉动两个不相邻的顶点B和D,当边BA绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°)时成为了矩形ABCD框架,则旋转角α的度数为(

)A.40°

B.50°

C.60°

D.90°1.下列四个命题中,正确的是(

)A.对角线相等的四边形是矩形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.两组对边分别相等的四边形是矩形 D.四个角都相等的四边形是矩形D课时学业质量评价B3.如图,依据图中所标数据,则四边形ABCD一定是(

)A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.不能确定4.在四边形ABCD中,若AB=CD,AD=BC,请你添加一个条件

.

使得四边形ABCD是矩形.BAC=BD（答案不唯一）证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∵M,N分别是AB和CD的中点,∴AM=BM=CN=DN.∴AM∥CN,AM=CN.∴四边形AMCN是平行四边形.又∵AC=BC,AM=BM,∴CM⊥AB.∴∠CMA=90°.∴四边形AMCN是矩形.5.如图,在▱ABCD中,连接AC,且AC=BC,M,N分别是AB和CD的中点.求证:四边形AMCN是矩形.第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形《第2课时矩形的判定》同步练习有一个角是直角的平行四边形是矩形1.如图,在△ABC中,AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点,延长DE到F使EF=DE,则四边形ADCF一定是 (

)

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形A基础通关2.如图,关于四边形ABCD的4个结论中,正确的是 (

)①它的两组对边分别相等;②它是矩形;③它是平行四边形;④它有一个角是直角.A.由①推出③,由③和④推出②B.由④推出②,由②推出①,由①推出③C.由②推出④,由④推出①D.由③推出④,由①和④推出②A对角线相等的平行四边形是矩形3.如图,在四边形ABCD中,给出部分数据,若添加一个数据后,四边形ABCD是矩形,则添加的数据是 (

)A.CD=4 B.CD=2 C.OD=2 D.OD=4D4.【易错题】你用什么方法检查教室刚安装的门框是不是矩形?如果仅有一根较长的绳子,你怎么检查?请说明你的检查方法以及所蕴含的数学原理.解:检查的方法是①先用绳子测量门框的对边是否相等,若相等,则可判定其为平行四边形,所运用的数学原理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形;②再用绳子测量门框的对角线是否相等,若相等,则可肯定门框是矩形,所运用的数学原理是对角线相等的平行四边形是矩形.5.[教材第60页习题18.2第1题改编]如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.(1)求证:△ABD≌△BEC;证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠A=∠CBE.又∵AB=BE,∴△ABD≌△BEC(SAS).(2)若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥CD.又∵AB=BE,∴BE=DC.∴四边形BECD是平行四边形.∴OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠BCD.即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC.∴OC=OD.∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED.∴四边形BECD是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形6.如图所示,依据图中所标数据,下列四边形不一定为矩形的是(

)A. B.C. D.A7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,P为AB边上的一个动点,过点P作PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,则DE长的最小值为

.

8.【原创题】如图,在▱ABCD中,AB=3,