山西省长治市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题【含答案解析】

山西省2024—2025学年八年级期末质量监测数学试卷注意事项：1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列各数中，是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数．计算算术平方根后，无理数的定义进行解答即可．【详解】解：在，，，中，是无理数的是，故选：D2.“少年强则国强，少年独立则国独立”这句话中，“国”字出现的频率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了求频率，熟知频率频数总数是解题的关键．根据频率频数总数进行求解即可．【详解】解：∵一共有14个字，其中“国”字一共出现了2次，∴“国”字出现的频率为，故选：A．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法、除法，单项式乘以多项式，掌握幂指数运算法则，分别根据以上运算法则逐一计算分析判断即可．【详解】解：A、，原计算不正确，B、，原计算正确，C、，原计算不正确，D、，原计算不正确．故选择：B．4.下面的说法正确的是（）A.的平方根是 B.的平方根是C.9的算术平方根是 D.的立方根是【答案】D【解析】【分析】此题考查了平方根、算术平方根和立方根．根据平方根、算术平方根和立方根的求法进行解答即可．【详解】解：A.没有平方根，故选项错误，不符合题意；B.的平方根是，故选项错误，不符合题意；C.9的算术平方根是，故选项错误，不符合题意；D.的立方根是，故选项正确，符合题意；故选：D5.如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据勾股定理求出的长，即可得到答案．【详解】解：∵在中，，，∴点表示的数为：，故选：A．6.如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，AB，的长为半径画弧交于点E，连接，DE．则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键．由已知可知，然后根据全等三角形的性质分析求解．【详解】解：由作图可知，，，∴，∴，故选：C．7.为倡导全民阅读，终身学习，早在1995年，联合国教科文组织就将每年的4月23日定为世界读书日．小明将他一天中的作息时间分配情况制成如图所示的扇形统计图．如果小明想把每天的阅读时间调整为，那么他的阅读时间需增加（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查扇形统计图及相关计算．先从图中可以求出原用于阅读的时间，再求他的阅读需增加时间即可．【详解】解：原用于阅读的时间为小时，∴把自己每天的阅读时间调整为，那么他的阅读时间需增加小时分钟．故选：B．8.临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A.20米 B.25米 C.30米 D.15米【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，底面周长约为6米，柱身高约16米，，，∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米．故选：A．9.如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的性质，先求解，再利用角平分线的性质可得答案．【详解】解：，．又，，，∵，∴，，∵，，∴，故选C10.如图，在中，，F为边的中点，边的垂直平分线分别交于点D，，E，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形外角的性质等知识．根据等腰三角形三线合一的性质得，垂直平分，利用垂直平分线的性质即可证明得，可知，再结合三角形内角和定理得，三角形外角的性质得，即可解答．【详解】解：连接，∵，点为的中点，，∴平分，，则，垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴故选：D二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式6，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．12.命题“多项式的公因式是”是______（填“真”或“假”）命题．【答案】假【解析】【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．直接利用公因式定义分析得出答案．【详解】解：多项式的公因式是，原命题是假命题，故答案为：假．13.如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离_______cm．【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解．【详解】解：由题意得：，，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：．14.如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在_______处剪断．（多选，填写序号）【答案】②或③【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可．【详解】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形，∴第二次可以在②处剪断，当4为底时，则腰为，此时能组成三角形，∴第二次可以③处剪断，在①处剪断时，三段的长分别为、、10，不能组成三角形，在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形，综上，第二次可以在②或③处剪断，故答案为：②或③．15.已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长．【详解】解：∵，∴，∴，，解得，，∵，∴，∵是正整数，∴，∴的周长为，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等知识．（1）利用立方根、算术平方根的性质、绝对值法则进行化简后，再计算加减法即可；（2）先计算单项式乘以多项式法则计算，再计算多项式除以单项式即可．【小问1详解】解：【小问2详解】17.某学校开辟了两块劳动实践种植实验田，一块形状为长方形，一块形状为正方形，两块实验田均用来种植茄子幼苗．其中，长方形实验田每排种植株，种植了排；正方形实验田每排种植株，种植了排，其中．这两块试验田共种植茄子幼苗多少株？【答案】这两块试验田共种植茄子幼苗株．【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．根据题意列出算式，再根据多项式乘以多项式法则进行计算即可．【详解】解：由题意得（株）．答：这两块试验田共种植茄子幼苗株．18.为进一步提高课后服务质量，落实“双减”政策，某校利用课外活动时间开设了“厨艺”“园艺”“电工”“木工”“编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．（1）本次共调查了_____________名学生．（2）补全条形统计图．（3）扇形统计图中，的值为_____________；“编织”所对应的圆心角的度数为_____________．【答案】（1）60（2）见详解（3）25；【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键．（1）利用选择“园艺”劳动课程的学生人数除以其占比，即可获得答案；（2）首先求得选择“电工”劳动课程的学生人数，然后补画条形统计图即可；（3）首先求得选择“厨艺”劳动课程的学生占比，即可确定的值；利用选择“编织”劳动课程的学生占比，即可获得答案．【小问1详解】解：（人），即本次共调查了60名学生．故答案为：60；【小问2详解】根据题意，选择“电工”劳动课程的学生人数为（人），故可补画条形统计图，如下图所示：小问3详解】选择“厨艺”劳动课程的学生占比为，所以；，即“编织”所对应的圆心角的度数为．故答案为：25；．19.小雪与爸妈在公园里荡秋千．如图，小雪坐在秋千的起始位置点A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸爸在点C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求秋千绳子的长．【答案】【解析】【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明，则，由勾股定理得到．【详解】解：由题意可得，，，∴，∴，∵∴∴∴，∴，∴，即秋千绳子的长为．20.小明自主探究时发现：三角形的一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形．他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路，完成以下作图与证明．（1）用直尺和圆规，作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹）（2）已知在中，是的平分线，．求证：是等腰三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，（1）根据角平分线的基本作图方法作出图形即可；（2）根据证明即可得出结论．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∴是等腰三角形．21.阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵，，，且______，∴____________．整理，得，∴．任务：（1）补全材料中的填空．（2）如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】此题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用．（1）根据题意得到，则．整理得，即可得到结论；（2）利用勾股定理得到，得到，解方程即可．小问1详解】证明：∵，，，且，∴．整理，得，∴．【小问2详解】解：由题意可得，，∵是边上的高，∴，∴，∴，即解得22.综合与实践【操作实践】如图1，数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）道具，其中，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接，．（1）试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．【实践应用】（2）小组成员尝试使用这个“筝形”道具检测教室门框是否水平．如图2，，，在道具上的点A处绑一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，道具上的点B，D紧贴门框，线绳恰好经过点C．由于是铅锤线，所以是水平的，即门框是水平的．在上述的判断过程中，得出的依据是_______．（填字母）A．等角对等边B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”【实践拓展】（3）如图3，在中，，．若E，F分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，求的度数．【答案】（1），证明见解析；（2）C；（3）的度数为或．【解析】【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据题意证明出，即可得到；（2）根据等腰三角形“三线合一”性质求解即可；（3）首先根据三角形内角和定理求出，然后分两种情况讨论①当，；②当，，然后根据全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可．【详解】解：（1）猜想：，理由如下：∵，，，∴∴；（2）由（1）同理可得：，∵，，∴是等腰三角形∴，依据是等腰三角形“三线合一”性