探究与发现 函数y=x+(1x)的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

探究与发现函数y=x+(1x)的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册主备人备课成员设计意图本教学设计旨在通过探究函数y=x+(1/x)的图象与性质，培养学生运用数学知识和方法分析问题的能力。结合人教A版必修第一册数学教材，通过实例教学，让学生理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等基本性质，同时提高学生数学思维的逻辑性和严谨性。核心素养目标1.发展逻辑推理能力，通过探究函数性质，理解数学证明的过程。

2.培养直观想象能力，通过图象分析，提升对函数图象的认识。

3.提升数学建模意识，将实际问题转化为数学问题，运用函数模型解决。

4.增强数学抽象能力，从具体实例中提炼出一般规律，提高数学表达能力。重点难点及解决办法重点：函数y=x+(1/x)的图象绘制与性质分析。

难点：函数单调性和奇偶性的证明。

解决办法：

1.重点：通过实例演示和引导学生自主绘制函数图象，帮助学生直观理解函数的形态。

2.难点：采用数形结合的方法，结合导数概念，引导学生理解函数单调性的证明过程。对于奇偶性的证明，通过定义和性质对比，引导学生发现并证明函数的奇偶性。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解函数的定义、图象绘制方法及性质，引导学生逐步理解。

2.讨论法：分组讨论函数的奇偶性和单调性问题，鼓励学生提出观点，培养合作学习。

3.实验法：利用数学软件绘制函数图象，验证性质，提高学生的动手能力和应用能力。

教学手段：

1.多媒体演示：使用PPT展示函数图象和关键步骤，增强视觉效果。

2.数学软件应用：借助几何画板或Mathematica等软件，进行动态演示和验证。

3.网络资源：引入在线互动平台，拓展学生视野，提高学习效率。教学过程一、导入新课

同学们，大家好！今天我们要一起探究一个有趣的函数——y=x+(1/x)。这个函数在我们生活中很常见，比如计算两个数的倒数之和，或者解决某些物理问题。我们先来回顾一下，你们对函数的了解有多少呢？谁来说说函数的基本概念？

（学生回答）

很好，函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个变量之间的关系。今天我们要研究的函数y=x+(1/x)具有怎样的性质呢？接下来，我们将一起通过观察、分析、探究来揭示这个函数的秘密。

二、新课讲授

1.函数的定义域

同学们，我们先来研究一下这个函数的定义域。请思考一下，在什么情况下，x和1/x都是实数？

（学生思考并回答）

对，当x不等于0时，x和1/x都是实数。因此，这个函数的定义域为{x|x≠0}。

2.函数的图象

（学生绘制）

很好，同学们已经画出了这个函数的图象。从图象上可以看出，当x接近0时，函数值会无限增大或无限减小。这是因为分母1/x接近0，导致函数值变得非常大或非常小。此外，当x取正值或负值时，函数的增减情况如何？

（学生回答）

当x增大时，函数值也会增大；当x减小时，函数值也会减小。这说明函数在定义域内是单调递增的。

3.函数的单调性

为了更严谨地证明函数的单调性，我们可以利用导数来分析。请同学们回忆一下导数的概念。

（学生回忆并回答）

导数是函数在某一点的切线斜率，用来描述函数在该点的增减情况。现在我们来求一下这个函数的导数。

（教师演示求导过程）

（学生分析并回答）

当x>0时，导数f'(x)大于0，说明函数在(0,+∞)上单调递增；当x<0时，导数f'(x)小于0，说明函数在(-∞,0)上单调递减。

4.函数的奇偶性

现在我们来研究一下这个函数的奇偶性。根据奇偶性的定义，如果对于函数的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。请同学们来判断一下这个函数的奇偶性。

（学生判断并回答）

（学生尝试替换）

5.函数的性质总结

（1）定义域为{x|x≠0}；

（2）在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减；

（3）既不是奇函数，也不是偶函数。

三、课堂练习

为了巩固今天所学的内容，请同学们完成以下练习：

1.求函数y=x+(1/x)在x=2时的函数值；

2.分析函数y=x/(x^2-1)的单调性和奇偶性。

（学生独立完成练习）

四、课堂小结

今天我们学习了函数y=x+(1/x)的图象与性质。通过观察、分析、探究，我们得出了这个函数的定义域、单调性和奇偶性。希望大家在今后的学习中，能够运用所学的数学知识解决实际问题。

五、布置作业

1.复习今天所学的知识点，并完成课后习题；

2.思考以下问题：如何利用函数的性质解决实际问题？

（学生认真思考并回答）

今天的课程就到这里，希望大家课后认真完成作业，继续探索数学的奥秘。下课！拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《数学分析导论》中的“函数的极限”章节，可以让学生更深入地理解函数在特定点附近的行为。

-《高等数学》中的“导数与微分”部分，介绍导数的概念及其在函数性质分析中的应用。

-《数学竞赛教程》中的“函数竞赛题解析”，提供一些有趣的函数性质问题，激发学生的探索兴趣。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-让学生尝试分析其他形式的函数，如y=x^2/(x^2-1)，并探讨其性质。

-引导学生研究函数的周期性，例如y=sin(x)和y=cos(x)，并比较它们的性质。

-提出问题：是否存在一个函数，它的图象关于y=x对称，同时具有奇偶性？

-鼓励学生利用数学软件（如MATLAB、Python等）绘制函数图象，并观察不同参数对函数图象的影响。

-引导学生思考函数在实际问题中的应用，例如在物理学中的运动学问题，或者在经济学中的成本函数分析。

3.实践活动建议

-组织学生进行小组讨论，每个小组选择一个与函数性质相关的实际问题进行探究。

-安排学生进行实验，通过改变函数的参数，观察函数图象的变化，并记录实验结果。

-鼓励学生参加数学竞赛或挑战，通过解决复杂的函数问题来提高自己的数学能力。

4.拓展知识点

-函数的连续性与可导性：探讨函数在定义域内连续和可导的条件。

-函数的极值与最值：研究函数在闭区间上的极值和最值问题。

-函数的积分：引入积分的概念，探讨函数的积分与面积的关系。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.融入实际问题：在讲解函数性质时，我尝试将实际问题与数学知识相结合，比如通过分析生活中的速度与距离关系，让学生更直观地理解函数的应用。

2.多媒体辅助教学：我利用多媒体技术展示函数图象的动态变化，帮助学生更好地理解函数的性质，这种直观的教学方式受到了学生的欢迎。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生参与度不足：在课堂讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是因为他们对某些概念理解不够深入，或者缺乏自信。

2.教学节奏把握不当：有时候，为了确保所有学生都能跟上进度，我可能过于细致地讲解每一个步骤，导致教学节奏偏慢，影响了课堂效率。

3.评价方式单一：目前主要依靠学生的课堂表现和作业完成情况来评价学生的学习效果，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习情况。

反思改进措施（三）

1.提高学生参与度：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上设置更多互动环节，如小组讨论、角色扮演等，鼓励学生积极参与到课堂活动中来。

2.优化教学节奏：我会根据学生的学习情况调整教学节奏，适当加快讲解速度，同时确保关键知识点得到充分讲解和练习。

3.丰富评价方式：我将尝试引入多元化的评价方式，如课堂表现、小组合作、项目展示等，以更全面地评估学生的学习成果。

4.加强个别辅导：对于参与度低的学生，我会进行个别辅导，帮助他们克服学习困难，提高自信心。

5.利用现代教育技术：我将继续探索和利用现代教育技术，如在线学习平台、教育软件等，为学生提供更多学习资源和机会。教学评价与反馈1.课堂表现：

在课堂上，我观察学生的参与度和专注程度。大部分学生能够积极参与讨论，对函数的性质表现出浓厚的兴趣。特别是在分析函数图象的动态变化时，学生们表现出较高的积极性。然而，也有少数学生在讨论环节显得较为沉默，这可能是因为他们对某些概念理解不够深入或者缺乏自信。在接下来的教学中，我将更加关注这些学生的参与情况，通过个别辅导和小组合作等方式，提高他们的参与度。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节是检验学生合作能力和理解深度的重要环节。在本次教学中，我安排了关于函数性质的小组讨论。学生们通过合作，提出了许多有价值的观点和问题。例如，他们讨论了函数在特定区间内的单调性，以及如何通过导数来判断函数的极值。在成果展示环节，每个小组都展示了他们的讨论结果，并能够清晰地表达自己的观点。这表明学生们对函数性质的理解有了显著的提升。

3.随堂测试：

为了即时了解学生对本节课内容的掌握情况，我进行了随堂测试。测试内容包括函数的定义域、图象绘制、单调性和奇偶性等。大部分学生能够正确回答问题，显示出他们对函数性质的理解较为扎实。但也有一部分学生在处理一些复杂问题时显得有些吃力，这提示我需要在今后的教学中加强对这些知识点的讲解和练习。

4.学生自评与互评：

在课程结束后，我鼓励学生进行自我评价和互评。学生们通过反思自己的学习过程，发现了自己在哪些方面做得好，哪些方面需要改进。同时，他们也对同伴的学习情况进行了评价，提出了建设性的意见。这种自我评价和互评的方式有助于学生形成良好的学习习惯，提高自我管理能力。

5.教师评价与反馈：

针对学生的课堂表现、小组讨论成果和随堂测试结