2024-2025学年高中数学课时分层作业5空间图形的公理4及等角定理含解析北师大版必修2

PAGE1-课时分层作业(五)空间图形的公理4及等角定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交D[a与c不行能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A冲突，而a与c异面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条 B．4条C．5条 D．6条B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D4．若空间三条直线a，b，c满意a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．肯定平行B．肯定相交C．肯定是异面直线D．平行、相交或异面都有可能D[当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．]5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面 B．相交或异面C．异面 D．相交B[假设a与b是异面直线，而c∥a，则c明显与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，冲突)．c与b可能相交或异面．]二、填空题6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.肯定成立的是________．③[∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.]7．在空间四边形ABCD中，如图所示，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．平行[如图，连接BD，在△ABD中，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.]8．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是______．90°[∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠PAB是异面直线PA与CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]三、解答题9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1∴GO⊥A1C1∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.10．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F∴BF∥C1M，∴D1E∥BF(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.[等级过关练]1．如图是一个正方体的平面绽开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交 B．平行C．异面而且垂直 D．异面但不垂直D[将绽开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．]2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1A．45°B．60°C．90°D．120°B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中．(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；(2)AA1与B1C(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1∵∠DD1C1∴AA1与C1D1所成的角为90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C∵∠BB1C∴AA1与B1C5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[解]取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f