2025年春北师版数学七年级下册电子教案 第4章 3 探索三角形全等的条件 第4课时 全等三角形判定的综合运用

第4课时全等三角形判定的综合运用教师备课素材示例●置疑导入如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是乙和丙Ｗ．【教学与建议】教学：让学生先观察图形，图形甲和△ABC有两条边相等，一个角相等，但这个角不是这两条边的夹角，与△ABC不全等；图形乙利用“SAS”可判定与△ABC全等，图形丙利用“AAS”可判定与△ABC全等．建议：学生先独立思考，再说出理由．●复习导入1.三角形全等的判定方法：SSS，ASA，AAS，SASＷ．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等Ｗ．3．平行线的性质：(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补Ｗ．【教学与建议】教学：让学生独立思考，再回答问题．建议：点名回答问题，让其他同学及时作补充回答．·命题角度1挖掘隐藏条件判定全等观察图形，善于挖掘图形中隐藏的“公共边、公共角、对顶角”等判定全等．【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合），只需添加一个条件即可判定△ABD≌△ACD，这个条件可以是答案不唯一，如∠BAD＝∠CAD或BD＝CD（写出一个即可）．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2题图）))【例2】如图，已知PM＝PN，∠M＝∠N，AM与BN相等吗？为什么？解：在△PBM和△PAN中，因为∠P＝∠P，PM＝PN，∠M＝∠N，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△PBM≌△PAN.根据“全等三角形的对应边相等”，所以PA＝PB，所以PM－PA＝PN－PB，即AM＝BN.·命题角度2全等三角形性质与判定的综合应用利用全等三角形的性质与判定可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系，和差关系，也可以解决角之间的相等关系，倍比关系，关键是运用全等三角形的判定与性质灵活转化．【例3】如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.(1)△ABC与△DEF全等吗？请说明理由；(2)若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长．解：(1)因为AB∥DE，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠ABC＝∠DEF.在△ABC和△DEF中，因为∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，∠A＝∠D，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△DEF；(2)由(1)可知，△ABC≌△DEF，根据“全等三角形的对应边相等”，所以BC＝EF，即BF＋FC＝EC＋FC，所以BF＝EC.因为BE＝10m，BF＝3m，所以FC＝BE－BF－EC＝10－3－3＝4(m).高效课堂教学设计1．理解并掌握三角形全等的判定方法．2．综合运用三角形全等的判定和全等三角形的性质，解决线段或角的问题．▲重点灵活选用不同的方法证明三角形全等．▲难点综合运用全等三角形的判定和性质解决问题．◆活动1创设情境导入新课（课件）1．判定三角形全等的方法有SSS，ASA，AAS，SASＷ．2．如图，填空：（选填“SSS”“ASA”“AAS”或“SAS”）(1)已知BD＝CE，CD＝BE，利用SSS可以判定△BCD≌△CBE；(2)已知AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，利用ASA可以判定△ABD≌△ACE；(3)已知OE＝OD，OB＝OC，利用SAS可以判定△BOE≌△COD；(4)已知∠BEC＝∠CDB，∠BCE＝∠CBD，利用AAS可以判定△BCE≌△CBD.◆活动2实践探究交流新知【探究1】挖掘隐藏条件证明两个三角形全等如图，AB∥CD并且AB＝CD，那么△ABD与△CDB全等吗？请说明理由．分析：要判定△ABD与△CDB全等，已知条件是AB＝CD，隐藏条件是BD＝DB，因为这两个三角形共边，条件中AB∥CD可得∠1＝∠2，利用“SAS”判定△ABD≌△CDB.解：因为AB∥CD，所以∠1＝∠2.根据“两直线平行，内错角相等”，在△ABD和△CDB中，因为AB＝CD，∠1＝∠2，BD＝DB，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ABD≌△CDB.【探究2】综合运用三角形全等的判定和性质解决问题如图，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，OC＝OD.(1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由；(2)△ACD与△BDC全等吗？为什么？分析：问题(1)找到隐藏条件∠AOD＝∠BOC，再利用“SAS”证明△AOD≌△BOC.问题(2)根据△AOD≌△BOC得到AD＝BC，由OA＝OB，OD＝OC可得AC＝BD，CD是公共边，利用“SSS”得到△ACD与△BDC全等，也可以利用“AAS”“ASA”判定△ACD与△BDC全等．解：(1)因为∠AOD与∠BOC是对顶角，根据“对顶角相等”，所以∠AOD＝∠BOC.在△AOD和△BOC中，因为OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OD＝OC，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△AOD≌△BOC；(2)由(1)可知，△AOD≌△BOC，根据“全等三角形的对应边相等”，所以AD＝BC.因为OA＝OB，OC＝OD，AC＝OA＋OC，BD＝OB＋OD，所以AC＝BD.在△ACD和△BDC中，因为AD＝BC，AC＝BD，DC＝CD，根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ACD≌△BDC.◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，△ADF与△CBE全等吗？请说明理由．【方法指导】根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用“ASA”可判定△ADF≌△CBE.解：因为AD∥BC，BE∥DF，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ADF和△CBE中，因为∠A＝∠C，AF＝CE，∠DFA＝∠BEC，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ADF≌△CBE.【例2】如图，AD，BC交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，过O的直线MN交AB于点M，交CD于点N.OM与ON相等吗？为什么？【方法指导】利用“SAS”判定△OAB≌△ODC得到∠B＝∠C，再利用“ASA”判定△OBM≌△OCN得到OM＝ON.解：在△OAB和△ODC中，因为OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△OAB≌△ODC.根据“全等三角形的对应角相等”，所以∠B＝∠C.在△OBM和△OCN中，因为∠B＝∠C，OB＝OC，∠BOM＝∠CON，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△OBM≌△OCN.根据“全等三角形的对应边相等”，所以OM＝ON.◆活动4随堂练习1．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出(B)A．△ABD≌△BCDB．△ABD≌△ACDC．△ACD≌△BCDD．△ACE≌△BDEeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是(B)A．∠C＝∠EB．BC＝DEC．AB＝ADD．∠B＝∠D3．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.(1)试说明：BD＝DE＋CE；(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？写出结论并说明理由．解：(1)因为△BAD≌△ACE，根据“全等三角形的对应边相等”，所以BD＝AE，AD＝CE，所以BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，即BD＝DE＋CE；(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.理由如下：因为△BAD≌△ACE，根据“全等三角形的对应角相等”，所以∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°），所以∠BDE＝180°－90°＝90°＝∠E.根据“内错角相等，两直线平行”，所以BD∥CE.4．课本P106随堂练习T1.◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1.这节课你的收获是什么？2．全等三角形的判定和性质一般是综合运用，找到隐藏条件，灵活解决问