2025年春北师版数学七年级下册电子教案 第1章 1 幂的乘除 第4课时 同底数幂的除法与负整数指数幂

第4课时同底数幂的除法与负整数指数幂教师备课素材示例●置疑导入问题1：一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103m/s，一架喷气式飞机飞行的速度是1.0×103km/h，这架喷气式飞机的速度是这颗人造地球卫星的速度的几分之几？问题2：地球的体积大约是1012立方千米，太阳的体积大约是1.4×1018立方千米．你能算出太阳的体积是地球体积的几倍吗？解：问题1：eq\f(1.0×103,7.9×103×3.6)；问题2：eq\f(1.4×1018,1012).我们发现这些算式中103，1018，1012都是同底数幂，这节课我们来学习同底数幂的除法．【教学与建议】教学：通过对实际问题的结果的探究与设疑，将学生带入解决实际问题的情境之中．建议：教师先引导学生从两数相除的角度计算，然后再从同底数幂相除的角度去计算，进行分析比较．●归纳导入填空：(1)103÷102＝eq\f((10)×(10)×(10),(10)×(10))＝10(1)＝10(3)－(2)；(2)25÷23＝eq\f((2)×(2)×(2)×(2)×(2),(2)×(2)×(2))＝2(2)＝2(5)－(3)；(3)a3÷a2＝eq\f((a)×(a)×(a),(a)×(a))＝a(1)＝a(3)－(2)(a≠0)；(4)am÷an＝＝＝a(m－n).(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)【归纳】同底数幂相除，底数__不变__，指数__相减__，即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n).【教学与建议】教学：从一般到特殊加以应用和拓展，使学生从探索、练习、辨明中构建知识模型．建议：通过对特例的考查，归纳出同底数幂除法的运算法则，并运用幂的意义加以说明．·命题角度1直接利用法则进行计算计算同底数幂的除法时，只要按照“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个法则进行计算即可，但在计算中要注意符号的变化．【例1】计算(－a)6÷a3的结果是(C)A．－a3B．－a2C．a3D．a2【例2】化简：(1)a4÷a＝__a3__；(2)(xy)4÷(xy)2＝__x2y2__．·命题角度2逆用法则进行计算由am÷an＝am－n可得am－n＝am÷an(a≠0，m，n为正整数，且m>n)，因此逆用同底数幂的除法法则，可以进行一些计算或求值．【例3】若am＝4，an＝7，则am－n的值为(A)A．eq\f(4,7)B．eq\f(7,4)C．－3D．eq\f(2,7)【例4】已知xa＝3，xb＝5，则x4a-3b＝__eq\f(81,125)__．·命题角度3零指数幂、负整数指数幂的综合应用当幂的指数是负数时，既要关注法则的正确运用，又要关注底数不等于0这一要求．【例5】计算|－8|－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)的结果是(B)A．－7B．7C．7eq\f(1,2)D．9【例6】若(x－π)0＝1，则x__≠π__．高效课堂教学设计1．经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义．2．了解同底数幂除法的运算性质，并能解决一些实际问题．▲重点同底数幂的除法运算性质及其应用．▲难点零指数幂和负整数指数幂意义的理解．◆活动1创设情境导入新课(课件)一种液体每升含有1012个有害细菌．为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109个有害细菌．要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴？你是怎样计算的？展示算法：①1012÷109＝eq\f(1012,109)＝＝10×10×10＝1000(滴)；②1012÷109＝(109×103)÷109＝eq\f(109×103,109)＝103＝1000(滴).1012÷109这个算式中，1012与109是同底数幂，这节课我们来学习同底数幂的除法运算．揭示课题：同底数幂的除法运算．◆活动2实践探究交流新知【探究1】同底数幂的除法用你熟悉的方法计算，并说明理由．(1)25÷23；(2)107÷103；(3)a7÷a3.解：(1)25÷23＝eq\f(2×2×2×2×2,2×2×2)＝22；(2)107÷103＝eq\f(10×10×10×10×10×10×10,10×10×10)＝10000＝104；(3)a7÷a3＝eq\f(a·a·a·a·a·a·a,a·a·a)＝a4.总结：我们利用幂的意义，得到：(1)25÷23＝22＝25-3；(2)107÷103＝104＝107-3；(3)a7÷a3＝a4＝a7-3.am÷an＝＝＝am－n.【归纳】同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．【探究2】零指数幂的运算eq\f(32,32)＝__1__，32÷32＝32-2＝30；eq\f(53,53)＝__1__，53÷53＝53-3＝50；eq\f(104,104)＝__1__，104÷104＝104-4＝100.思考：eq\f(32,32)、32÷32这两个式子的意义是否一样，结果应有什么关系？eq\f(32,32)＝32÷32＝30，同样，eq\f(104,104)＝104÷104＝100.【归纳】当m＝n时，我们可以类似地得到a0＝am÷an＝＝1(a≠0，m，n都是正整数)．【探究3】负整数指数幂的意义eq\f(32,33)＝32-3＝3-1＝eq\f(1,3)；eq\f(53,55)＝53-5＝5-2＝eq\f(1,52)；eq\f(104,107)＝104-7＝10-3＝eq\f(1,103).当m＜n时，先设p＝n－m，那么m－n＝－p，也可以类似地得到a－p＝am－n＝am÷an＝＝＝eq\f(1,an－m)＝eq\f(1,ap)(a≠0，p为正整数)．【归纳】字母表示为a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p是正整数)．◆活动3开放训练应用举例【例1】计算：(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3；(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2；(5)(x－y)9÷(x－y)3.【方法指导】直接运用同底数幂的除法计算．解：(1)原式＝a7-4＝a3；(2)原式＝(－x)6-3＝－x3；(3)原式＝(xy)4-1＝(xy)3＝x3y3；(4)原式＝b2m+2-2＝b2m；(5)原式＝(x－y)9-3＝(x－y)6.【例2】用小数或分数分别表示下列各数：(1)10-3；(2)70×8-2；(3)1.6×10-4.【方法指导】运用零指数幂和负整数指数幂的意义计算．解：(1)原式＝eq\f(1,103)＝0.001；(2)原式＝1×eq\f(1,82)＝eq\f(1,64)；(3)原式＝1.6×eq\f(1,104)＝1.6×0.0001＝0.00016.【例3】声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？【方法指导】(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．解：(1)因为1010÷105＝1010-5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015-10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．◆活动4随堂练习1．填空：(1)a4÷a＝__a3__；(2)(－x7)÷(－x)2＝__－x5__；(3)y16÷__y5__＝y11；(4)(x－y)6÷(x－y)2＝__(x－y)4__．2．用小数、分数或整数表示下列各数：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(0)；(2)(－4)-2；(3)3.5×10-4;(4)6-3.解：(1)1；(2)eq\f(1,16)；(3)0.00035；(4)eq\f(1,216).3．若32×92a+1÷27a+1＝81，则a的值为__3__．4．若3x＝a，3y＝b，求32x－y的值．解：32x－y＝eq\f(32x,3y)＝eq\f((3x)2,3y)＝eq\f(a2,b).5．课本P8随堂练习T1.◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1.这节课你学到了哪些知识？2．现在你一共学习了哪几种幂的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的理解．【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深