2024-2025学年重庆市南岸区高二上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市南岸区高二上学期第一次月考数学检测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足（为虚数单位），则的值为（）A.1 B. C. D.2.已知，是两个不同平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.“直线与平行”是“”（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要4.已知两个单位向量，的夹角为，则（）A. B.3 C. D.55.圆关于直线对称，则实数（）A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或36.直线与圆交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为（）A. B. C. D.7.已知，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.8.已知圆及直线，下列说法正确的是（）A.圆被轴截得的弦长为2B.直线过定点C.直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为D.直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的选项中，有多项9.在边长为2的正方形中，分别为，的中点，则（）A.B.C.D.在上的投影向量为10.如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（）A.平面B.过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C.在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为D.若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为311.已知圆和圆，．点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（）A.当时，圆和圆没有公切线B.当圆和圆有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C.圆与轴交于，，若圆上存在点，使得，则D.圆和外离时，若存在点，使四边形面积为，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答題卡相应位置上．12.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则____．13.已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为______________．（写出一条即可）14.台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大，_________小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵．15.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点．（1）若为的中点，且，求；（2）若平分，且的面积为，求的长．16.如图，在正三棱柱中，，为棱的中点，为边上靠近的三等分点，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.圆心为的圆经过A0,3，B2,1两点，且圆心在直线上．（1）求圆标准方程；（2）过点作圆的相互重直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值．18.如图、三棱锥中，平面，为中点，，，．（1）证明：面面；（2）若点到面的距离为，证明：；（3）求与面所成角的正弦值的取值范围．19.在平面直角坐标系中，已知圆C：，，是圆上的动点，且，的中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）设点A是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值；（3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合），求证：直线过定点．2024-2025学年重庆市南岸区高二上学期第一次月考数学检测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足（为虚数单位），则的值为（）A.1 B. C. D.【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算求，再结合共轭复数以及模长公式运算求解.【详解】因为，则，可得，所以.故选：B.2.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【正确答案】D【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若，，，则或者异面，故A错误，对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误，对于C，若，，则或者，故C错误，对于D，若，，则，D正确，故选：D3.“直线与平行”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【正确答案】C【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断.【详解】若直线与平行，则，解得或，当时直线与重合，故舍去；当时直线与平行，符合题意；所以.所以“直线与平行”是“”的充分必要条件.故选：C4.已知两个单位向量，的夹角为，则（）A. B.3 C. D.5【正确答案】A【分析】首先根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为两个单位向量，的夹角为，所以，所以.故选：A5.圆关于直线对称，则实数（）A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3【正确答案】B【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解.【详解】的圆心坐标为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，也即，解得：或.当时，可得：，符合圆的方程；当时，可得：，配方可得：，舍去.故选：B6.直线与圆交于，两点，则直线与直线的倾斜角之和为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】联立方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，设直线与直线的倾斜角分别为【详解】圆的圆心为，由，消去整理得，设Ax1,y1，Bx2,设直线与直线的倾斜角分别为，显然均不等于，所以，，所以，则，所以，所以，即直线与直线的倾斜角之和为.故选：A7.已知，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据余弦和差公式化简得到，由正切二倍角公式和得到，从而得到方程，求出实数m的值.【详解】因为，则，即，整理可得，即，又因为，故，解得或，且，则，可得，即，解得.故选：C.8.已知圆及直线，下列说法正确的是（）A.圆被轴截得的弦长为2B.直线过定点C.直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为D.直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为【正确答案】D【分析】根据圆方程求得圆与轴的交点坐标可得弦长为4，即A错误，将直线整理可得其恒过定点，即B错误，又圆心不在直线上，可得直线被圆截得的弦长不存在最大值，即C错误；当时，直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为，即D正确.【详解】对于A，由圆方程可得圆与轴的交点坐标为和，因此圆被轴截得的弦长为4，即A错误；对于B，将直线整理可得；由，解得，所以无论为何值时，直线恒过定点，即B错误；对于C，易知圆是以为圆心，半径，易知圆心不在直线上，又直线被圆截得的弦长的最大值为直径，所以可得直线被圆截得的弦长不存在最大值，可得C错误；对于D，设直线与圆交于点，圆心到直线的距离为，则弦长，由直线恒过定点可得圆心到直线的距离有最大值为，此时直线被圆截得的弦长存在最小值，满足，如下图所示；此时直线的斜率为，其方程为，即,可得D正确；故选：D关键点点睛：本题关键在于判断出不管取何值时直线都不过圆心，即取不得弦长的最大值（圆的直径），可得出结论.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的选项中，有多项9.在边长为2的正方形中，分别为，的中点，则（）A.B.C.D.在上的投影向量为【正确答案】BC【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为中点，由图可知在上的投影向量为,故D错误.故选：BC.10.如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（）A.平面B.过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C.在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为D.若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3【正确答案】ACD【分析】由直三棱柱性质以及线面平行判定定理可判断A正确，易知当分别为棱，的中点时截面为为矩形，即B错误；易知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，可判断C正确，作出点关于平面和的对称点，再利用余弦定理可得D正确.【详解】对于A，如下图所示：由可得，由三棱柱性质可得，因此可得，因为平面，平面，所以平面，即可知A正确；对于B，由可知，结合A选项可知，当分别为棱，的中点时，满足，如下图所示：结合直棱柱性质可知，此时过，，三点的平面截三棱柱所得截面为，为矩形；即B错误；对于C，易知，又，所以在直角三角形中，，可得；因此可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，即圆弧；如下图所示：又是边长为4的正三角形，取为的中点，所以到的距离为，因此可得当为圆弧的中点时，到棱距离的最小值为，即C正确；对于D，取点关于平面和对称点分别为，连接与平面和的交点分别为，时，周长的最小，如下图所示：易知，，由余弦定理可得，因此周长的最小值为，即D正确.故选：ACD11.已知圆和圆，．点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（）A.当时，圆和圆没有公切线B.当圆和圆有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C.圆与轴交于，，若圆上存在点，使得，则D.圆和外离时，若存在点，使四边形面积为，则【正确答案】ABD【分析】对于A：根据题分析可知圆和圆内含，即可得结果；对于B：根据题意可知两圆外切，进列式求得m得值即可分析判断；对于C：根据题意分析可知圆与圆相交，列式求解即可；对于D：根据两圆外离解得，根据面积关系可得，即可得，运算求解即可【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，可得，对于选项A：若，则，可知圆和圆内含，所以圆和圆没有公切线，故A正确；对于选项B：若圆和圆有三条公切线，则两圆外切，则，即，可得，此时两圆是确定的，则公切线方程也是确定的，所以公切线的倾斜角的和为定值，故B正确；对于选项C：若，则点的轨迹方程为圆，由此可知：圆存在点在圆内，且，可知圆与圆相交，可得，即，解得，故C错误；对于选项D：若圆和外离，可得，即，解得，因为四边形面积，解得，又因为，即，可得，解得，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答題卡相应位置上．12.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则____．【正确答案】或【分析】首先求出平移后的解析式，再根据诱导公式计算可得.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到，又为奇函数，所以，解得，又，所以或.故或.13.已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为______________．（写出一条即可）【正确答案】或（其中一条即可）【分析】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分，设Ax1,y1，Bx2,y2，依题意可得或，再结合、分别在直线、上，求出、坐标，即可求出直线的方程.【详解】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分，设Ax1,y1，B所以或，又、分别在直线、上，所以，，解得、或、，所以，或，，则直线的方程为或，整理得或.故或（其中一条即可）14.台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大，_________小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．【正确答案】8【分析】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，利用两家和差公式求得，在结合余弦定理运算求解即可.【详解】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，则，且，因为，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或，故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭．故8.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵．15.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点．（1）若为的中点，且，求；（2）若平分，且的面积为，求的长．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）依题意可得CD=12（2）由平分，则，由，利用三角形的面积公式可求得，.【小问1详解】在中，，，因为为的中点，所以CD=12两边平方得，则，解得，由余弦定理，所以.【小问2详解】因为平分，所以，又，即所以，解得，.16.如图，在正三棱柱中，，为棱的中点，为边上靠近的三等分点，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用三角形的中位线得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量垂直可得三棱柱的高，即可利用法向量的夹角求解.【小问1详解】如图，连接，连接，则为的中点，又为的中点，，又平面，平面，平面；【小问2详解】取中点,设三棱柱的高为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，由于，故，解得，（负值舍去），,设平面的法向量为,,，则，取，得，而平面的一个法向量为，则故平面与平面夹角的余弦值为17.圆心为的圆经过A0,3，B2,1两点，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的相互重直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值．【正确答案】（1）（2）四边形的面积的最大值为6，最小值为【分析】（1）设，根据圆的定义解得，即可得圆心和半径，即可方程；（2）设弦，的中点分别为弦，，可得，利用垂径定理求，进而求面积并结合二次函数求最值.【小问1详解】因为圆心在直线，设，由题意可知：，即，解得，即圆心，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】因为，可知点在圆内，设弦，的中点分别为弦，，由题意可知：为矩形，则，即，可得，且，，则四边形的面积，且，即，当，即时，取到最大值6；当或，即或时，取到最小值；所以四边形的面积的最大值为6，最小值为.18.如图、三棱锥中，平面，为的中点，，，．（1）证明：面面；（2）若点到面的距离为，证明：；（3）求与面所成角的正弦值的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）分析】（1）由条件先证明平面，即可求证；（2）设，通过直角三角形的面积构造等式，说明，即可求证；（3）确定到平面的距离，再结合线面角正弦值的计算公式即可求解.小问1详解】因为平面，在平面内，所以，又，为平面内两条相交之间，所以平面，又在平面内，所以面面.【小问2详解】因为为的中点，，，所以，设，所以，由（1）知，，，,所以，所以，所以，所以在直角三角形中，由面积可得：，结合，解得：，也即，所以【小问3详解】因为，，设，所以，其中此时所以过向作垂线，垂足为，设，所以，所以，由（1）可知，面,因为为的中点，所以到面的距离为，设与面所成角为，所以，因为，所以，所以，所以与面所成角的正弦值的取值范围是.19.在平面直