高考复习专题练习专题09平面向量小题(学生版+解析)

专题09平面向量小题解题秘籍解题秘籍向量的运算两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标向量的加减法，，向量的数乘运算，则：向量的模，则的模相反向量已知，则；已知单位向量向量的数量积向量的夹角向量的投影A． B． C．2 D．7．（22·23·龙岩·二模）已知向量，，，，若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．8．（22·23下·长沙·三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．9．（22·23下·常州·一模）已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．10．（22·23下·江苏·三模）已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．11．（22·23·深圳·二模）在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设，，则（

）A． B． C． D．12．（22·23·潍坊·三模）已知平面向量与的夹角是，且，则（

）A． B． C． D．13．（22·23·宁德·一模）已知向量，的夹角为60°，且，则的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．14．（22·23下·浙江·二模）在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（

）A．14 B．15 C．16 D．1715．（22·23·广东·二模）已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．16．（22·23下·长沙·二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．17．（22·23下·湖北·三模）正的边长为2，，则（

）A．2 B． C． D．18．（22·23·沧州·三模）在中，若，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．19．（22·23下·武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．920．（22·23下·武汉·三模）已知，为单位向量，若，则（

）A． B．C． D．21．（22·23·青岛·三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．122．（22·23·厦门·二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（

）A． B． C． D．23．（22·23下·绍兴·二模）已知直线与圆交于两点，若，其中为原点，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．224．（22·23下·浙江·三模）已知点是边长为1的正十二边形边上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-225．（22·23下·南通·一模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（

）A． B．C． D．二、多选题26．（22·23·梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（

）

A． B．C． D．27．（22·23下·湖南·二模）已知向量，//，，，则（

）A． B． C． D．28．（22·23·山东·二模）下列说法正确的是（

）A．B．非零向量和，满足且和同向，则C．非零向量和满足，则D．已知，，则在的投影向量的坐标为29．（22·23·聊城·三模）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（）A． B． C． D．30．（22·23·菏泽·三模）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（

）A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5C．面积的最大值为4 D．的最大值为18三、填空题31．（22·23·衡水·一模）已知向量，，.若向量与平行，则实数的值为.32．（22·23下·镇江·三模）在中，，点是的中点.若存在实数使得，则（请用数字作答）.33．（22·23·张家口·三模）已知向量均为单位向量，，向量与向量的夹角为，则.34．（22·23·深圳·二模）已知平面向量不共线，若，则当的夹角为时，的值是.35．（22·23·宁德·二模）在平行四边形中，已知，，，，则．36．（22·23·唐山·二模）已知向量，，若，则实数．37．（22·23下·盐城·三模）在中，，，，则的取值范围是.38．（22·23·济宁·三模）在中，、分别为、的中点，交于点.若，，，则.39．（22·23·保定·二模）在中，点在边上，平分，若，，则．40．（22·23·惠州·一模）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为．（结果用表示）．专题09平面向量小题解题秘籍解题秘籍向量的运算两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标向量的加减法，，向量的数乘运算，则：向量的模，则的模相反向量已知，则；已知单位向量向量的数量积向量的夹角向量的投影向量的平行关系向量的垂直关系向量模的运算模拟训练模拟训练一、单选题1．（23·24上·永州·一模）已知向量，且，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值.【详解】，由于，所以.故选：C2．（23·24上·宁波·一模）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意先分别算出的值，然后将“与垂直”等价转换为，从而即可求解.【详解】由题意有，又因为与垂直，所以，整理得，解得.故选：B.3．（23·24上·湖北·一模）设，，，，则是的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据向量共线和垂直的坐标表示，分别求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量，当时，可得，解得；当时，可得，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A.4．（22·23·三明·三模）若向量，满足，与垂直，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据向量垂直求得，再根据投影向量的公式，即可求解.【详解】由题意可知，，即，所以在上的投影向量为.故选:A5．（23·24上·郴州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求出，再利用投影向量的计算公式，可得答案.【详解】由，则，，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：B6．（22·23下·金华·三模）已知向量，向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义，即可求得答案.【详解】由题意得，，所以向量在方向上的投影向量为，故选：B7．（22·23·龙岩·二模）已知向量，，，，若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可.【详解】因为向量，，，，所以，，向量在向量方向上的投影向量为.故选：C8．（22·23下·长沙·三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.【详解】因为向量（2，1），（，3），所以向量在方向上的投影向量为，故选：C9．（22·23下·常州·一模）已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解；【详解】由，，且，平方得，解得，所以在方向上的投影向量为.故选：B.10．（22·23下·江苏·三模）已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积的定义及运算律求出，即可求出，最后根据计算可得.【详解】因为，所以，∴，又，所以，∴或（舍去），所以，所以在方向上的投影向量为.故选：A.11．（22·23·深圳·二模）在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由平面向量基本定理表示出，即可得到结果.【详解】

如图，连接，因为为正六边形，所以，，所以，所以.故选：C12．（22·23·潍坊·三模）已知平面向量与的夹角是，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案【详解】由可得，因为平面向量与的夹角是，且所以故选：C13．（22·23·宁德·一模）已知向量，的夹角为60°，且，则的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】运用平面向量数量积的运算性质，结合配方法进行求解即可.【详解】，当时，有最小值，故选：C14．（22·23下·浙江·二模）在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】将作为基底，用基底表示和，根据数量积的规则计算即可.【详解】

设，则有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故选：C.15．（22·23·广东·二模）已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而找到最大值.【详解】如图所示：

因为单位圆O是△ABC的外接圆，，所以，且，，故当共线反向时，取到最大值1，故选：C.16．（22·23下·长沙·二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由题设易知且，，进而求即可得答案.【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，所以，，则，仅当时等号成立.故选：A17．（22·23下·湖北·三模）正的边长为2，，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据，表示出向量，再利用向量基本运算法则表示出向量，再利用向量额数量积运算即可.【详解】设，如图所示：因为所以，故选：C．18．（22·23·沧州·三模）在中，若，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.【详解】因为，所以为的外心，且为外接圆上一动点，又，，所以外接圆的半径.如图，作，垂足为，则.所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6，在处取最小值，故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是由确定点的轨迹.19．（22·23下·武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，又三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.20．（22·23下·武汉·三模）已知，为单位向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意结合数量积的定义分析可得反向，进而可得，运算求解即可.【详解】由题意可得：，因为，则，即，可得，且，则，即反向，可得.故选：D.21．（22·23·青岛·三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】建立平面坐标系，用坐标表示，，，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】由题意不妨设，则，且，解之得或，由，即的终点C在以为圆心，1为半径的圆上，故，由圆的对称性，不妨令，即，连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系可知.故选：A

22．（22·23·厦门·二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用余弦定理求出，进而得到⊥，求出，，从而得到，换元后求出m的取值范围.【详解】由余弦定理得，解得，

因为，由勾股定理逆定理得⊥，，则，因为，，所以，，在上的投影向量为，故，令，则，令，因为，所以，故当时，，当时，，，故，故选：B23．（22·23下·绍兴·二模）已知直线与圆交于两点，若，其中为原点，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由题平方可得，化简得到，得出垂直关系，可得圆心到直线的距离，由点到线的距离公式，列式即可得解．【详解】∵，则，∴，∴，而圆的圆心坐标为，半径为，则，∴为等腰直角三角形，∴，∴圆心到直线的距离，∴，又，∴.故选：D.24．（22·23下·浙江·三模）已知点是边长为1的正十二边形边上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-2【答案】B【分析】根据数量积的几何意义：等于长度与在的方向上的投影的乘积，结合图形求解.【详解】延长，交于，由题意，过分别作的垂线，垂足为，正十二边形的每个内角为，在中，，，在中，，，则，∵，为的夹角，∴数量积的几何意义：等于长度与在的方向上的投影的乘积，由图可知，当在线段上时，取得最小值，此时.故选：B.25．（22·23下·南通·一模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，先分别表示出，，再由向量的数量积运算得到，从而得到为的重心，即可得到结果.【详解】设，则，，，，或（舍去），为的重心，，为的中点，，故选：B．二、多选题26．（22·23·梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.【详解】因为，，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，.可知：AD错误，BC正确.故选：BC.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义.27．（22·23下·湖南·二模）已知向量，//，，，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；B选项根据模长公式计算；C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；D选项根据向量的加法进行判断.【详解】因为，所以，则A正确；，则B正确；因为//，所以设，因为，所以，解得，所以或，故C错误；，故D错误．故选：AB28．（22·23·山东·二模）下列说法正确的是（

）A．B．非零向量和，满足且和同向，则C．非零向量和满足，则D．已知，，则在的投影向量的坐标为【答案】AC【分析】根据数量积的运算律判断A、C，根据向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A：根据数量积的运算律可知，故A正确；对于B：向量不可以比较大小，故B错误；对于C：非零向量和满足，则，即，所以，则，故C正确；对于D：因为，，所以，，所以在的投影向量为，故D错误；故选：AC29．（22·23·聊城·三模）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据题意，将式子两边同时平方，然后相减即可得到，，然后结合向量夹角公式即可得到，从而得到结果.【详解】因为，则，且，则，所以，即，则，又因为，即，设与的夹角为，则，即，且，则，所以，则与的夹角可以为，.故选：AB30．（22·23·菏泽·三模）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（

）A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5C．面积的最大值为4 D．的最大值为18【答案】ABD【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.【详解】设动点，则由得：，即，化简得：，即，所以A选项正确；所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；又，因为（），所以（），【详解】由向量均为单位向量且，可得且，则，，且，又由向量与向量的夹角为，则.故答案为：.34．（22·23·深圳·二模）已知平面向量不共线，若，则当的夹角为时，的值是.【答案】2【分析】根据平面向量夹角公式列式可得结果.【详解】因为，所以，所以，，，整理得，得（负值已舍去）.故答案为：.35．（22·23·宁德·二模）在平行四边形中，已知，，，，则．【答案】【分析】设，根据题意化简求得，再由，即可求解.【详解】如图所示，设，因为，，可得，，又因为，，可得，，两式相减得到，可得，又由，所以.故答案为：.

36．（22·23·唐山·二模）已知向量，，若，则实数．【答案】【