2025年中考数学总复习《相交线与平行线》专项测试卷含答案

第第页2025年中考数学总复习《相交线与平行线》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2024秋•苏州期末）如图，我们利用直尺和三角板画平行线或者验证两条直线是否平行，这样做的依据是（）A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等2．（2024秋•三亚期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB＝45°，则∠AFG的度数为（）A．120° B．115° C．110° D．105°3．（2024秋•中原区期末）如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，∠A＝∠E＝90°，∠B＝30°，∠D＝45°，AB∥CD，则∠BCE的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．105°4．（2024秋•长沙期末）在一次植树活动中，小明说“只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线”，其数学依据是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行5．（2024秋•苏州期末）如图，若CD∥EB，∠1＝65°，则∠B的度数是（）A．115° B．110° C．105° D．65°6．（2024秋•长安区期末）如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④7．（2024秋•长安区期末）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝68°，则∠2＝（）A．68° B．82° C．112° D．120°8．（2024秋•中牟县期末）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知BC∥DE，∠ADE＝80°，∠ABC＝110°，则∠A的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．10°9．（2024秋•济南期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，AC、BD为入射光线，CE、DF为折射光线，且满足AC∥BD，AB∥CD∥EF，若∠1＝40°，∠2＝165°，则∠3的度数为（）A．40° B．50° C．55° D．60°10．（2024秋•常州期末）将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（）A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°二．填空题（共5小题）11．（2024秋•石狮市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，则∠COE的大小为．12．（2024秋•邗江区期末）如图，AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°，则∠BOE＝°．13．（2024秋•沭阳县期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨a、b上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束AB按每秒6°的速度顺时针旋转180°便立即回转，光速灯C的光束自CD以每秒2°的速度顺时针旋转180°便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为秒时，两束光线平行．14．（2024秋•苏州期末）如图，将长方形纸片ABCD沿CE折叠，点D落在点D'的位置．ED'与BC交于点F．若∠D'CF＝20°，则∠AEF＝°．15．（2024秋•二七区期末）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•包河区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，若∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOF与∠AOE互余．（1）判断OF把∠AOC所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论；（2）求∠BOE的度数．17．（2024秋•中卫期末）小明在利用潜望镜观察物体时发现潜望镜的工作原理如图2所示：两面镜子AB和CD是平行的，根据平面镜光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请据此证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线HG是平行的．18．（2024秋•苏州期末）如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P．（1）若∠1＝46°，求∠C的度数；（2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF．19．（2024秋•长沙期末）如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°．（1）求∠AOC的度数；（2）求∠EOF的度数．20．（2024秋•苏州期末）如图，AF∥DE，∠A＝∠D．（1）填空：因为AF∥DE，所以∠A＝∠BED（）．因为∠A＝∠D，所以∠D＝（等量代换）．所以AB∥CD（）．（2）若∠BED＝75°，求∠AFD的度数．参考答案与试题解析题号12345678910答案BDBCACCBCD一．选择题（共10小题）1．（2024秋•苏州期末）如图，我们利用直尺和三角板画平行线或者验证两条直线是否平行，这样做的依据是（）A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等【考点】平行线的判定；作图—复杂作图．【专题】推理能力．【答案】B【分析】根据平行线的判定方法，进行判断即可．【解答】解：由题意，这样做的依据是同位角相等，两直线平行；故选：B．【点评】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．2．（2024秋•三亚期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB＝45°，则∠AFG的度数为（）A．120° B．115° C．110° D．105°【考点】平行线的性质．【专题】运算能力．【答案】D【分析】由AB∥CD可得∠EGD＝∠EHB＝45°，结合∠FGE＝60°可得出∠FGD的度数，再由AB∥CD得出∠AFG＝∠FGD，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠EHB＝45°，∴∠EGD＝∠EHB＝45°，∵∠E＝30°，∠FGE＝60°，∴∠FGD＝∠FGE+∠EGD＝60°+45°＝105°，∵AB∥CD，∴∠AFG＝∠FGD＝105°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等是解题的关键．3．（2024秋•中原区期末）如图是一副初中专用三角尺拼成的图案，∠A＝∠E＝90°，∠B＝30°，∠D＝45°，AB∥CD，则∠BCE的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．105°【考点】平行线的性质；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质推出∠BCD＝∠B＝30°，求出∠DCE＝90°﹣45°＝45°，即可得到∠BCE的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∵∠E＝90°，∠D＝45°，∴∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝75°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD＝∠B．4．（2024秋•长沙期末）在一次植树活动中，小明说“只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线”，其数学依据是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【考点】平行公理及推论；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】C【分析】两棵树的位置相当于两个点，要确定同一行树所在的直线，即两点确定一条直线．【解答】解：由题意得：两点确定一条直线，故选：C．【点评】本题考查了数学在实际生活中应用，培养了学生学以致用的意识．5．（2024秋•苏州期末）如图，若CD∥EB，∠1＝65°，则∠B的度数是（）A．115° B．110° C．105° D．65°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】由平行线的性质推出∠B+∠2＝180°，由对顶角的性质得到∠2＝∠1＝65°，即可求出∠B的度数．【解答】解：∵CD∥EB，∴∠B+∠2＝180°，∵∠2＝∠1＝65°，∴∠B＝115°．故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠B+∠2＝180°．6．（2024秋•长安区期末）如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考点】平行线的判定．【答案】C【分析】根据平行线的判定方法结合题目所给的条件进行推理即可．【解答】解：①∠3＝∠4可以根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确；②∠1＝∠2可以根据内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，故此选项错误，③因为EF∥CD得∠1＝∠2又因为∠D＝∠4，根据三角形内角和是180°得∠DAC＝∠BCA得AD∥BC，故此选项正确；④∠3+∠5＝180°，可得到∠5＝∠DAB，再根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确；故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握：（1）定理1：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．7．（2024秋•长安区期末）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝68°，则∠2＝（）A．68° B．82° C．112° D．120°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】先利用平行线的性质可得：∠1＝∠3＝68°，然后利用平角定义进行计算即可解答．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠1＝∠3＝68°，∴∠2＝180°﹣∠3＝112°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．（2024秋•中牟县期末）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知BC∥DE，∠ADE＝80°，∠ABC＝110°，则∠A的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】过A作AF∥BC，得到AF∥DE，由平行线的性质推出∠FAD＝∠ADE＝80°，∠FAB＝∠ABC＝110°，即可求出∠BAD的度数．【解答】解：过A作AF∥BC，∵BC∥DE，∴AF∥DE，∴∠FAD＝∠ADE＝80°，∠FAB＝∠ABC＝110°，∴∠BAD＝∠FAB﹣∠FAD＝30°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠FAD＝∠ADE，∠FAB＝∠ABC．9．（2024秋•济南期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，AC、BD为入射光线，CE、DF为折射光线，且满足AC∥BD，AB∥CD∥EF，若∠1＝40°，∠2＝165°，则∠3的度数为（）A．40° B．50° C．55° D．60°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的性质求出∠ACD＝40°，根据∠2＝165°求出∠ECD＝125°，进而求出∠CEF的度数，进而求出∠3即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝40°，∵∠2＝165°，∴∠DCE＝165°﹣40°＝125°，∵CD∥EF，∴∠DCE+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝55°，∵CE、DF为折射光线，∴CE∥DF，∴∠3＝∠CEF＝55°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．10．（2024秋•常州期末）将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（）A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°【考点】平行线的性质；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】过B作BK∥MN，得到BK∥PQ，推出∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，得到∠2+α°＝60°，因此2∠2+2α°＝120°，由三角形内角和定理得到∠3+∠2＝150°，即可求出∠3﹣∠2＝（30+2α）°．【解答】解：过B作BK∥MN，∵MN∥PQ，∴BK∥PQ，∴∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，∴∠2+α°＝∠5+∠6＝∠ABC＝60°，∴2∠2+2α°＝120°，∵∠3+∠4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2，∴∠3+∠2＝150°，∴∠3+∠2﹣（2∠2+2α°）＝150°﹣120°，∴∠3﹣∠2＝（30+2α）°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2+∠1＝∠ABC．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•石狮市期末）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，则∠COE的大小为80°．【考点】对顶角、邻补角．【专题】运算能力．【答案】80°．【分析】先根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC＝120°，再根据∠BOE＝40°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝120°，∴∠BOC＝∠AOD＝120°，∵∠BOE＝40°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了对顶角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．12．（2024秋•邗江区期末）如图，AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°，则∠BOE＝130°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】130．【分析】先根据平行线的性质求出∠AOE＝∠D＝50°，然后根据邻补角的定义求解即可．【解答】解：根据题意可知，AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°，∴∠AOE＝∠D＝50°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．13．（2024秋•沭阳县期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨a、b上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束AB按每秒6°的速度顺时针旋转180°便立即回转，光速灯C的光束自CD以每秒2°的速度顺时针旋转180°便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为3或43.5秒时，两束光线平行．【考点】平行线的性质；一元一次方程的应用；平行线的判定．【专题】运算能力．【答案】3或43.5．【分析】分旋转小于180°时和大于180°两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可．【解答】解：设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为（t+6）秒，当AB旋转小于180°时，如图所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），∵a∥b，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∴∠1＝∠3，∵AB按每秒6°的速度顺时针旋转，CD以每秒2°的速度顺时针旋转，∴∠1＝（6t）°，∠3＝（12+2t）°，∴6t＝12+2t，∴t＝3；当AB旋转大于180°回转时，如图所示：∵a∥b，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠1＝[180﹣（6t﹣180）]°＝（360﹣6t）°，∠3＝（12+2t）°，∴360﹣6t＝12+2t，∴t＝43.5；综上：旋转时间为3秒或43.5秒，故答案为：3或43.5．【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键．14．（2024秋•苏州期末）如图，将长方形纸片ABCD沿CE折叠，点D落在点D'的位置．ED'与BC交于点F．若∠D'CF＝20°，则∠AEF＝110°．【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】110．【分析】由长方形的性质得到∠D＝90°，AD∥BC，由折叠的性质得到∠D′＝∠D＝90°，求出∠CFD′＝90°﹣20°＝70°，由对顶角的性质得到∠EFB＝∠CFD′＝70°，由平行线的性质推出∠AEF+∠EFB＝180°，即可求出∠AEF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝90°，AD∥BC，由折叠的性质得到：∠D′＝∠D＝90°，∵∠D′CF＝20°，∴∠CFD′＝90°﹣20°＝70°，∴∠EFB＝∠CFD′＝70°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB＝180°，∴∠AEF＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由平行线的性质推出∠AEF+∠EFB＝180°，由折叠的性质得到∠D′＝∠D＝90°．15．（2024秋•二七区期末）如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为12α【考点】平行线的性质；列代数式．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】12α【分析】通过作辅助线，得到∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理可得∠BAF+∠DCF＝∠AFC，结合角平分线，得到结果．【解答】解：过E点作EM∥AB，过F点作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥FN，∴∠BAE＝∠AEM，∠ECD＝∠MEC，∵∠AEC＝α，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理，∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN，∴∠BAF+∠DCF＝∠AFC，∵AF、CF分别平分∠BAE，∠DCE，∴∠BAF=12∠BAE，∠DCF=1∴∠BAF+∠DCF=12（∠BAE+∠∴∠AFC=12故答案为：12α【点评】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•包河区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，若∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOF与∠AOE互余．（1）判断OF把∠AOC所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论；（2）求∠BOE的度数．【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义；余角和补角；角的大小比较．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．【答案】（1）∠AOF＝∠COF；（2）∠BOE＝120°．【分析】（1）根据对顶角、邻补角以及角平分线的定义进行解答即可；（2）由对顶角、角平分线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∠AOF＝∠COF，理由：∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠DOE=120°∵∠AOF与∠AOE互余，即∠AOF+∠AOE＝90°，∴∠AOF＝90°﹣60°＝30°，∠COF＝60°﹣30°＝30°，∴∠AOF＝∠COF；（2）∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝60°+60°＝120°．【点评】本题考查对顶角、邻补角，角平分线以及余角和补角，掌握角平分线的定义以及对顶角、邻补角的定义是正确解答的关键．17．（2024秋•中卫期末）小明在利用潜望镜观察物体时发现潜望镜的工作原理如图2所示：两面镜子AB和CD是平行的，根据平面镜光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请据此证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线HG是平行的．【考点】平行线的判定．【专题】推理能力．【答案】见解析．【分析】根据∠2和∠3是内错角，且两面镜子是平行放置的，得到∠2＝∠3；再结合∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝∠6，根据平行线的判定定理即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4，∴∠5＝∠6．∴FE∥GH（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键．18．（2024秋•苏州期末）如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P．（1）若∠1＝46°，求∠C的度数；（2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）∠C＝46°；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C＝∠1，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出∠BFD＝∠D，根据∠2+∠D＝90°，得出∠BFD+∠2＝90°，求出∠CFD＝90°，根据平行线的性质得出∠EPD＝∠CFD＝90°，即可证明结论．【解答】（1）解：∵∠2＝∠B，∴CF∥BE，∴∠C＝∠1，∵∠1＝46°，∴∠C＝46°，所以∠C的度数为46°；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∵∠2+∠D＝90°，∴∠BFD+∠2＝∠D+∠2＝90°，∴∠CFD＝90°，由（1）可知，CF∥BE，∴∠EPD＝∠CFD＝90°，∴BE⊥DF．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．19．（2024秋•长沙期末）如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°．（1）求∠AOC的度数；（2）求∠EOF的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平角的定义进行计算即可；（2）根据角平分线的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠BOE＝55°，∠COE＝90°，而∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∴∠AOC＝180°﹣55°﹣90°＝35°，（2）∵∠DOE＝∠COE＝90°，∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°，又∵DO平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF＝35°，∴∠EOF＝55°+35°+35°＝125°．【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键．20．（2024秋•苏州期末）如图，AF∥DE，∠A＝∠D．（1）填空：因为AF∥DE，所以∠A＝∠BED（两直线平行，同位角相等）．因为∠A＝∠D，所以∠D＝∠BED（等量代换）．所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．（2）若∠BED＝75°，求∠AFD的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）两直线平行，同位角相等；∠BED；内错角相等，两直线平行；（2）105°．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；（2）根据平行线的性质求解即可．【解答】解：（1）因为AF∥DE，所以∠A＝∠BED（两直线平行，同位角相等）．因为∠A＝∠D，所以∠D＝∠BED（等量代换）．所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等；∠BED；内错角相等，两直线平行；（2）∵AF∥DE，∴∠AFD+∠D＝180°，∵∠D＝∠BED＝75°，∴∠AFD＝105°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

考点卡片1．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．2．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．3．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．4．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．5．角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．6．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．7．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．8．余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．9．角的大小比较（1）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．（2）表示法：①∠AOB＞∠A′O′B′，②∠AOB＝∠A′O′B′，③∠AOB＜∠A′O′B′．10．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．11．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交