人教版初中数学八年级下册第十九章：一次函数(全章教案)

第十九章一次函数

教材简析

本章的主要内容有：（1）函数、一次函数与正比例函数的概念：（2）函数的表示方法；（3）

一次函数的图象与性质；（4）一次函数的应用.

函数是刻画各种运动变化的常用模型，其中最为简单的是一次函数，它可以解决现实生

活中的许多问题，本章将主要向学生讲授一次函数的相关知识.

本章是中考中的必考内容，主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，结合函数图象

对简单的实际问题进行信息分析，通过分析函数关系式对变量的变化规律进行预测等，题型

多样.

教学指导

【本章重点】

通过学习变量间的关系初步体会函数的概念，明确函数的三种表示方法，一次函数的图

象、性质及其应用.

【本章难点】

函数的概念和一次函数的应用.

【本章思想方法】

1.分类讨论思想：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以

分类，并逐类求解，然后综合得出结论.在本章中，有时确定一次函数的表达式时，要根据

一次函数所对应的直线位置来求解，做到不重复、不遗漏.

2.数形结合思想：本章在解决与一次函数有关的函数值大小比较时，利用数形结合解决

这类问题最快最优.另外解决一次函数图象的综合题时，也常用数形结合法.

3.函数与方程思想：将具体问题抽象为函数模型，根据函数之间的关系建立方程，通过

方程解决问题的方法称为函数与方程思想.在本章中，经常根据实际问题抽象出一次函数模

型，并根据函数图象的交点建立一元一次方程来求某些特殊值.

课时计划

19.1函数4课时

19.2一次函数6课时

19.3课题学习选择方案1课时

19.1函数

19.1.1变量与函数

第1课时带量与支量

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.认识变量、常量.

2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

【过程与方法】

经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观

点.

【情感态度与价值观】

培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

二、重难点目标

【教学重点】

1.认识变量、常量.

2.用式子表示变量间关系.

【教学难点】

用含有一个变量的式子表示另一个变量.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P71的内容，完成下面练习.

（3min反馈】

1.在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的曷为筮工

2.判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中;二

是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化.

3.每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张.三

场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元.怎样用含x的式子表示

y?

解：早场电影票房收入：150X10=1500（元），

日场电影票房收入：205X10=2050（元），

2

晚场电影票房收入：310X10=3100（元），

关系式：y=10x.

4.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，

探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重

物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？

解：挂1kg重物时弹簧长度：lX0.5+10=10.5（cm）,

挂2kg重物时弹簧长度：2X0.5+10=ll（cm）,

挂3kg重物时弹簧长度：3X0.5+10=11.5（cm）,

关系式：L=0.5M+10.

环节2合作探究，解决问题

活动I小组讨论（师生互学）

【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量：

（1）球的表面积S与球的半径R的关系式是S=4几R2；

（2）以固定的速度如米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间，秒之间的

关系式是h=v（）t—4.9t2；

（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离/z（m）与它下落的时间”s）的关系式是h

=女尸（其中8取9.8m/s2）；

（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W

—1.8x.

【互动探索】（引发学生思考）在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？

【解答】（1）5=4加肥，常量是4,肛变量是S,R.

（2）无=却一4.9户,常量是的,4.9,变量是力，f.

（3）4=%产（其中g取9.8m/s2）,常量是*g,变量是h,t.

（4）W=1.8x,常量是1.8,变量是x,W.

【互动总结】（学生总结，老师点评）常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一

个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个

变化过程中的取值情况是否发生变化.

活动2巩固练习（学生独学）

1.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱。（元）与他买这种笔记本的

本数x之间的关系是（C）

A.Q=SxB.Q=Sx~50

C.Q=50-8xD.Q=8x+50

2.甲、乙两地相距5千米，某人行完全程所用的时间《时）与他的速度。（千米/时）满足

3

vt=s,在这个变化过程中，下列判断中错误的是(A)

A.s是变量B.，是变量

C.。是变量D.s是常量

3.某种报纸的价格是每份04元，买x份报纸的总价为y元，先滇写下表，再用含k的

式子表示y.

份数/份1234567100

价钱阮0.40.81.21.62.02.42.840

x与y之间的关系是,，=回，在这个变化过程中，常景是报纸的单价,变我是报纸的份

数.

4.先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量：

(1)直角三角形中一个锐角«与另一个锐角P之间的关系；

(2)一个铜球在0C的体积为1000co?,加热后温度每增加1C，体积增加0.051cn?,

t℃时球的体积为Vcm3：

(3)等腰三角形的顶角为x度，试用x表示底角,，的度数.

解：(1)〃=90。一490。是常量，。、£是变量.

(2)y=1000+0.05。其中1000,0.051是常量，八，是变量.

180—xx1

(3»=二一=90-2(0<A:<180O).其中90,］是常量，x、y是变量•

活动3拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC

与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△48C向右运动，最后A点与N点重合.试

写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量.

【互动探索】根据图彩及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三南形，从而根据的

长度可得出y与x的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量.

【解答】由题意知，开始时4点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度

为AM=xcm.

VZBAC=45°,

；・S用影•力=%"=/2,

则y=/0WxW10.

4

其中的常量为变量为重叠部分的面积），cn?与MA的长度xcm

【互动总结】（学生总结，老师点评）通过分淅题干中的信息得到等量关系并用字母表示

是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

定义

常量与变量,

判断

练习设计

请完成本课时对应训练!

5

第2课时国教

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.认识变量中的自变量与函数.

2.进一步掌握确定函数关系式的方法.

3.会确定自变量的取值范围.

【过程与方法】

1.经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力.

2.通过从图或表格中寻找两人变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表

达方式.

【情感态度与价值观】

积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯.

二、重难点目标

【教学重点】

1.进一步掌握确定函数关系的方法.

2.确定自变量的取值范围.

【教学难点】

认识函数、领会函数的意义.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P72〜P74的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每

一个确定的值，y都有唯二确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量,y是x的函数.

2.用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式.

3.对函数的理解，要抓住三点：（1）两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量数值

的变化而发生变化；（3）自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应.

4.使得函数直红的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.确定自变量取值范围

的条件：（1）使函数解析式有意义;（2）使函数所代表的实际问题有意义.

5.对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x=a时，y=b,函数有唯一的值方

与之对应，则这个对应值b叫做x=a时的函数值.

6

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是（）

A.长方形的宽一定，其长与面积

B.正方形的周长与面积

C.等腰三角形的底边长与面积

D.圆的周长与半径

【互动探索】（引发学生思考）如何判断两个变量是否是函数关系？

【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积=长乂宽，长与面枳是两个变量，若长改

变，则面积也改变，故A选项是函数关系；正方形的面积=（正方噌周长正方形的周长

与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；等腰三角形的面积=^X高X底，底

边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变

量，故C选项不是函数关系；圆的周长=2/rX半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D选

项是函数关系.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个

变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否

是---对应关系.

【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为g,则输出的函数值v为（）

【互动探索】（引发学生思考）已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同,

对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？

【分析】V2＜（＜4,

5I2

，将x=］代入函数y=;,得产亍

7

【答案】B

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应

的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算.

【例3】写出下列函数中自变量x的取值范围：

3

(l)y=2x—3；(2)y=T—：

1人

(3)y=^/4-x；(4)y=匕?)

【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？

【解答】(1)全体实数.

(2)分母1—xKO,即xRl.

(3)被开方数4—xeO,即xW4.

x—120,

(4)由题意，得、—解得心1且x#2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满

足分母不能为0,有根号的要满足被开方数为非负数.

活动2巩固练习(学生独学)

1.下列变量之间的关系是函数关系的是(C)

A,水稻的产量与用肥最

B.小明的身高与饮食

C.球的半径与体积

D.家庭收入与支出

2.如图，△人8。底边8。上的高是6＜：01,当三角形的顶点C沿底边所在直线向点3运

动时，三角形的面积发生了变化.

A

(1)在这个变化过程中，自变量是感，因变量是△A8C的面积;

(2)如果三角形的底边长为Mem),三角形的面积v(cn?)可以表示为y=3x；

(3)当底边长从12cm变到3cm时，三角形的面积从36cm?变到9cm2；

(4)当点C运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？

解：当点。运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半.

3.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式

子.

(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm,挂上重物后弹簧的长

8

度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；

(2)设一长方体盒子高为30cm,底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的

体积Men?)也随之改变.

解：(l))，=10+$(0VxW10),其中x是自变量，y是自变量的函数.

(2)V=30a2(«>0),其中。是自变量，V是自变量的函数.

4.一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：

时间

012345678910

(秒)

速度

00.3132.84.97.611.014.118.424.228.9

(米/秒)

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)如果用［表示时间，。表示速度，那么随着f的变化，。的变化趋势是什么？

(3)当/每增加1秒时，。的变化情况相同吗？在哪1秒时，u的增加量最大？

(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车

速度就将达到这个上限？

解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量.

(2)如果用，表示时间，。表示速度，那么随着，的变化，。的变化趋势是。随着r的增大

而增大.

(3)当/每增加1秒，。的变化情况不相同，在第9秒时，。的增加量最大.

(4)——=于和33.3(米，秒)，由33.3—28.9=4.4,且28.9—24.2=4.7>4.4,所以

估计大约还需1秒.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经，分钟

时，水箱内存水y升.

(1)求y关于，的函数关系式和自变量的取值范围：

(2)7：55时，水箱内还有多少水？

(3)何时水箱内的水恰好放完？

【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩

余水量不小于0列不等式求出，的取值范围；(2)当7:55时，1=55—30=25,将，=25代入

(I)中的关系式即可；(3)令y=0,求出，的值即可.

【解答】(1)・・•水箱内存有的水=原有水一放掉的水，

・・・)，=200—2，.

9

•・・y20,.\200-2r>0,

解得r<100,

A0C/^100,

；・y关于t的函数关系式为y=200-2«0W，W100）.

（2）V7：55-7：30=25（分钟），

・•・当/=25时，y=200-2r=200-50=150（升），

A7：55时，水箱内还有水150升.

（3）令y=0,即200—2/=0,解得f=100.

100分=1时40分，

7时30分+1时40分=9时10分,

故9：10水箱内的水恰好放完.

【互动总结】（学生总结，老师点评）（1）已知图数解析式求函数值，就是将自变量x的值

带入解析式，求代数式的值；（2）已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量工的值，实

际上就是解方程.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

概念

函数，自变量的取值范围

、函数值

练习设计

请完成本课时对应训练！

10

19.1函数

19.1.2函数的图象

第1课时谄数的图象

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.学会用列表、描点、连线画函数图象.

2.学会观察、分析函数图象信息.

【过程与方法】

在研究函数图象的过程中体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.体会数学方法的多样性，提高学习兴趣.

2.认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识.

二、重难点目标

【教学重点】

1.函数图象的画法.

2.观察分析图象信息.

【教学难点】

分析概括图象中的信息.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

(5min阅读】

阅读教材P75〜P79的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.什么是函数图象？

解：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐

标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

2.在学习函数图象时，可以通过以下两点帮助理解：

(1)函数图象上的任意点P(x,y)中的x、v都满足其函数解析式;

(2)满足函数解析式的任意一对X、)，的值，所对应的点一定在函数图建上.

3.用函数图象描述实际问题时，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实

际情况来判断函数图象.

11

4.如何作函数图象？具体步骤有哪些？

画函数的图象，一般运用描点法.用描点法画函数图象的一般步骤：

⑴列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.自变量的取值不应使函数太大或

太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜；

（2）描点:在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格

中数值对应的各点；

（3）连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连结起来.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例I】3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，

行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达

铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地,

在以上描述中，汽车行驶的路程s（千米）与所经过的时间/（分钟）之间的大致函数图象是

【互动探索】（引发学生思考）行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增

加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加，但增加的比高速路上慢，故B

符合题意.

【答案】B

【互动总结】（学生总结，老师点评）此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供

的信息及生活实际，判断图象各阶段的变化情况和特征.

【例2】作出函数y=一$的图象.

【互动探索】（引发学生思考）先列表取值，再描点，最后连线.

【解答】列表：

X—6-4-3-2-112346

y11.5236-6-3-2-1.5-1

描点、连线，如图.

12

【互动总结】（学生总结，老师点评）画函数图象要经过列表、描点、连线三个步骤，列

表时自变量取值要有代表性（自变量不可以只取正数，也不可以只取负数）.自变量不为0,表

示图象不是连续的，在自变量为0时，图象断开，分为两段.

活动2巩固练习（学生独学）

1.周末小石去博物馆参加综合实践活动，先骑行共享单车前往，0.5小时后到达公交车

站，他在公交车站等了一段时间，遇到了叔叔，搭上了叔叔的电瓶车前往.已知小石离家的

路程s（单位：千米）与时间《单位：小时）的函数关系的图象大致如图.则小石叔叔电瓶车的平

均速度为（C）

A.30千米/小时B.18千米/小时

C.15千米/小时D.9千米/小时

2.如图,正方形ABCD的边长为4,尸为正方形边上一动点，运动路线是4-*8-C-A,

设尸点经过的路程为x,以点A,P,B为顶点的三角形的面积是》则下列图象能大致反应

y与x的函数关系的是（B）

（1）当”=一1时，），的值;

13

(2)当x为何值时，y>0?

(3)若0WxW3,求y的取值范围.

(1)根据表格，当工=一1时y=4.

⑵根据图象，观察可得，当/VI时，y>0.

⑶根据图象，观察可得，若0«,贝IJ-4WyW2.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例31小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的

新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图.根据

图中提供的信息回答下列问题：

(2)小明在书店停留了多久？

(3)本次上学途中，小明一共骑行了多少米？一共用了多长时间？

14

（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全范围.问：在整个上学的途中哪个

时间段小明骑车速度最快，速度在安全范围内吗？

【互动探索】根据图象，获取其中的信息，图象中横、纵坐标表示的是什么？函数值随

自变量的变化趋势是怎么样的？

【解答】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500,小明家的纵坐标为0,故小明家到学校的

路程是1500米.

（2）根据图象，从8分钟到12分钟这段时间内距离不变，故小明在书店停留了4