湘教版2018年高中数学选修1-1全册同步练习含答案

目录

1.1.1命题的四种形式

1.1.2充分条件和必要条件

1.2.1逻辑联结词“非”“且”和“或”

1.2.2全称量词和存在量词

2.1.1椭圆的定义与标准方程

2.1.2椭圆的简单几何性质

2.2.1双曲线的定义与标准方程

2.2.2双曲线的简单几何性质

2.3.1抛物线的定义与标准方程

2.3.2抛物线的简单几何性质

2.4圆锥曲线的应用

3.1.1问题探索—求自由落体的瞬时速度

3.1.2问题探索—求作抛物线的切线

3.1.3导数的概念和几何意义

3.2.1几个幕函数的导数

3.2.2一些初等函数的导数表

3.2导数的运算3.2.3导数的运算法则

3.3.1利用导数研究函数的单调性

3.3.2函数的极大值和极小值

3.3.3三次函数的性质：单调区间和极值

3.4生活中的优化问题举例

1.1.1命题的四种形式

1.命题“若函数Hx)=log“x(a>0,aWl)在其定义域内是减函数，则log“2<0”的逆否命题是().

A.若log“2》0,则函数/1(x)=logex(a>0,a#l)在其定义域内不是减函数

B.若10gs2V0,则函数f(x)=log“*(a>0,aWl)在其定义域内不是减函数

C.若log“220,则函数F(x)=log«x(a>0,aWl)在其定义域内是减函数

D.若log“2<0,则函数f(x)=log,x(a>0,a¥l)在其定义域内是减函数

2.有下列四个命题：

①“若”+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b,则AS”的逆否命题；

③“若咫一3,则f+x—6>0”的否命题；

④“若a"是无理数，则a,方是无理数”的逆命题.

其中真命题的个数是().

A.0B.1C.2D.3

3.“若9=1,则x=l”的否命题为().

A.若岁?1,贝ij

B.若丁=1,则xWl

C.若贝ljx=l

D.若xWl,则VWI

4.有下列四个命题，其中真命题是().

①“若灯=1,贝ijx,y互为倒数”的逆命题；

②“相似的两个三角形的周长相等”的否命题；

③”对实数a,b,若a?+炉=0,则a,6全为0”的逆否命题；

④“若x>2,则x>l”的逆命题.

A.①②B.②③

C.①③D.②④

5.已知命题''若。则°”为真，则下列命题中一定为真的是().

A.若一ip则一><?B.若一则一ip

C.若q则〃D.若-iq则p

6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两

条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是.(把符合要求的命题序号都填上)

7.下列命题中的真命题为.

①“若a>b,则a+c>6+c”的否命题；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若打=0,则%,

y中至少有一个为0”的否命题.

8.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数/"(x)=3+log2x(x>0)的图象与g(x)

的图象关于对称，则函数g(x)=.(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)

9.把下列命题写成“若0则/的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.

⑴当x=2时，/―3x+2=0；

(2)对顶角相等.

10.已知函数f(x)是(-8,+8)上的增函数，a,6GR,对命题“若a+620,则/'(a)+F(6)'(一

a)+f(i)”.

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.

参考答案

1.A由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log»220,则函数f(x)=log,x(a>0,

a#l)在其定义域内不是减函数.

2.B①逆命题“若x,y互为相反数，则x+y=O”是真命题；

②因为原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题；

③否命题“若x>—3,则f+x-6W0"，取x=5,但f+x-6=24>0,所以原命题的否命题为假

命题；

④逆命题“若a,6是无理数，则a"是无理数"，若a=阵)6,b=@,则才=2是有理数，所以

原命题的逆命题为假命题.

3.A选项B为命题的否定，选项D为逆否命题，故选A.

4.C①的逆命题为“若x,y互为倒数，则灯=1"，显然为真.②的否命题为“不相似的两个三角

形的周长不相等”，为假.③中的原命题为真，故其逆否命题也为真.④的逆命题为“若x>l,则x>2”,

3

为假，因为当x=5时，X>1,但x<2.故只有①③为真.

5.B互为逆否命题的两个命题的真假性相同.互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假性不相

关.选项B和已知命题互为逆否命题，均为真命题，故选B.

6.②①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确.

②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题.

7.①③①中的否命题为：“若则a+cW方+c”，为真命题.②中的逆命题为“对角线相等

的四边形是矩形"，为假命题，因为等腰梯形的对角线也相等.③中的否命题为“若30,则*,y都不

为0”，为真命题.

8.y轴3+logz(—x)(x<0)该题将函数的图象和性质与命题综合在一起，要综合利用知识.可能

情况有：”轴，—3—log2x；y轴，3+log2(—x)；原点，一3一log2(—x)；直线y=x,2'」"等.答案不唯一.

9.解：(1)原命题：若x=2,则/—31+2=0.

逆命题：若/一3x+2=0,则*=2.

否命题：若/2,则f—3x+2W0.

逆否命题：若3x+2#0,则x#2.

(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.

逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.

否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.

逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.

10.解：(1)逆命题是：若f(a)+f(6)》f(-a)+f(一方)，则a+®)0.它为真命题，可证明原命题

的否命题为真命题来证明它.

假设a+6V0,则a<—6,b<-a.

因为/'(x)是(一8,十8)上的增函数，

则f[a)<f(—6),f(t>)<f(—a),

所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-6).

故原命题的否命题为真命题.

因为否命题与逆命题互为逆否命题，

所以原命题的逆命题为真命题.

(2)逆否命题是：若f(a)+Fg)Vf(-a)+f(-6),则a+6<0.它为真命题，可证明原命题为真命题

来证明它.

因为a+620,所以a^—b,62—a.因为f(x)在(一8,十8)上是增函数，所以/(-6),

所以f(a)+f(份Nf(-a)+/(一"，故原命题为真命题.

所以原命题的逆否命题为真命题.

1.1.2充分条件和必要条件

1.设xGR,则“*=1”是“f=x”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知a,B表示两个不同的平面，加为平面a内的一条直线，则“aj,£”是“勿_££”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.“x>0”是“反0”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若a与6—c都是非零向量，则c”是“a，（6—c）”的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知a,人都是实数，那么''才>层"是的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

V-1

6.已知夕：11-|<2,g：x—2x+l—朋W0（加>0）,且是一ig的充分而不必要条件，则实数

O

）的取值范围是..

7.已知方程/+（2〃-1）*+炉=0,则使方程有两个大于1的实根的充要条件是.

8.使函数/"（x）=|x-a|在区间［1,+8）上为增函数的充分不必要条件为.

9.已知数列｛8,｝的前〃项和S,=aq"+方（aWO,gWO,gWl）,求证：数列｛a,,｝是公比为g的等比数列

的充要条件是a+b=O.

10.求关于x的方程a/+2x+l=0至少有一个负的实根的充要条件.

参考答案

1.A当x=l时，必有x'=x,但当V=x时，xG{0,1,—1}.故选A.

2.B由平面与平面垂直的判定定理知如果勿为平面a内的一条直线，niLfi,则反过来则

不一定成立.所以“是“mIB”的必要而不充分条件.

3.A由“x>0”可知“x#0”，故为充分条件；但“xfO”时可以有x>0或x<0,故为不必要条

件，故选A.

4.C根据数量积的运算律，有a•b=a•coa•6-'a•c=Ooa•(b—c)=0u>a_L(6—c),故选C.

5.D方法一：a">Z>2«(a+Z?)(a—6)>0,a>tx^a—b>0,

所以才〉讨彳a>b,且故“才>6?”是“a>6”的既不充分也不必要条件.

方法二：(特值法)取a=—1,6=0满足,>况但aV8,又取a=0,b=-l,满足a>6,(Ha<l),

故“才是“Qb”的既不充分也不必要条件.故选D.

x—1

6.(0,3]解不等式11一一1|W2,得{才|-2<»<10}.

,5

解不等式/—2^+1—/»^0,

得11+/〃(加>0).

即条件夕：4={x-2WxW10},条件g：5={x|1—0WxWl+加}.

“「夕是」4的充分而不必要条件”等价于“g是夕的充分而不必要条件”，

&41一勿》一2,且1+勿410(注意：两式不能同时取等号)，解得/<3.

又加>0,所以所求的勿的取值范围为{加|0V/W3}.

(zl=(2A-l)2-4A-2^0,

7.k<-2设方程的两实根为石，物使小，汝都大于1的充要条件是(U-l)+U2-l)>0,

[(汨―1)•(A2—1)>0,

E+X2—2>0,

^X\X2~(xi+用)+l>0.

W

由韦达定理'得J_(2f_2>0,

/+(2A-1)+1>0,

解得k<-2.

所以所求的充要条件为k<-2.

8.aWO由函数/Xx)=段一a|的图象知，函数f(x)=Ix-a|在区间［1,+8)上为增函数的充要条

件为aWl,所以使“函数/"(x)=|x-a|在区间［1,+8)上为增函数”的充分不必要条件即求使“aWl”

成立的充分不必要条件，即填写形如且即可.答案不唯一.

9.证明：充分性：即证a+6=0=数列｛%｝是公比为g的等比数歹九

a-\-b=O,Sn=aq"+b=aq—a.

J.a„=S„­S„-\={aq—a)—{aq'—a)=a(gT)"一'(">D.

.a„a(g—l)g

••+l一/,\-i_Q\n^>1).

at,aXq—i)q

又'：a、=aq—a,a2—aq—aq,

.改a(g-l)g

*,3ia(q—1)斗

：.数列｛a“｝是公比为q的等比数列.

必要性：即证数列｛a｝是公比为。的等比数列=a+6=0.

V数列｛a.｝是公比为°的等比数列，

../力(1一/)&劭,

…、L1-Q-1-0一1一产

又“：Sn=a(f+b,a=—［'力，b=1,力.*.a+b=Q.

1—q1—q

综上可得，数列｛&｝是公比为q的等比数列的充要条件是a+6=0.

10.解：(l)a=0时适合.

(2)当aWO时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则aVO；若方程有两个负的实根，则必

须满足52解得0<aWl.

—<0,

a

<4=4—4心0.

综上知，若方程至少有一个负的实根，则aWl；反之，若aWl,则方程至少有一个负的实根.因此,

关于x的方程af+2x+l=0至少有一个负的实根的充要条件是aWL

1.2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”

1.命题“方程f-1=0的解是x=±l”中使用的逻辑联结词的情况是().

A.没有使用逻辑联结词

B.使用逻辑联结词“且”

C.使用逻辑联结词“或”

D.使用逻辑联结词“非”

2.已知命题p：所有的有理数都是实数，命题17：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是

().

A.(―ip)V<?B.p/\q

C.(—>p)V(-><7)D.(—>p)A(-19)

3.已知命题"0c{0},q：0G。，由它们构成的“0八q”、“仪d，、“「P”形式的命题中，真命

题有().

A.3个B.2个C.1个D.0个

4.已知命题0,q,则“命题p或q为真”是“命题〃且g为真”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.已知命题p：函数f(x)=sin(2x—2)+1,满足/'6+x)=『4一x)，命题。：函数g(x)=sin(2x

OOO

+夕)+1可能是奇函数(，为常数)，则命题“〃八°”、“pVq”、“-ip”中，为真命题的个数为().

A.0B.1C.2D.3

6.已知命题p：不等式ax+6>0的解集为{x|x>—4,命题°：关于x的不等式(x—a)(*—b)<0的

a

解集为{x|a〈x<b},则“pAq”、“强q"、形式的复合命题中的真命题为.

7.已知a>0,a#l,设"函数y=log“(x+l)在(0,+8)内单调递减，q.曲线y=f+(2a—

3)x+l与x轴交于不同的两点.如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围.

8.已知命题p：0：xGZ,若“。且与“非同时为假命题，求x的值.

9.已知c>0,设命题0：函数y=c，在R上单调递减，命题q：不等式x+|x—2c|>l的解集为R.

如果命题。和命题。有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.

参考答案

1.C

2.C不难判断命题。为真命题，。为假命题，根据真值表判断，只有选项C正确.

3.C因为p为真，g为假，所以“pVq”为真，"0八/'为假，"「0”为假，故选C.

4.B命题“。或q”为真包括三种情况：p,。同真，。真。假，。假。真.当后两种情况之一成立时，

有命题“。且g”为假；当命题“0且/为真时，p,g同真，从而得命题“。或g”为真，故选B.

5.C对命题p,y=sinx的对称轴方程为*=在“+"|"GeZ),令2%-^-=An+-^->得/=5徐(2工

JI,,衣冗JIJTJIJI.

―屋)+1的对称轴为矛=k+彳，kQZ.取k=0,故合，即f(w+x)=f(W■一x)成立，所以,为

0乙J0oO

真命题.

对命题0,若g(x)为奇函数，因为g(x)的定义域为R,则有g(0)=0,即sin夕=一1,所以0=2kn

-y,Aez,所以。为真命题.所以是真命题的为“p/\q"与"做,故选C.

6.「p因为命题,，g均为假命题，所以“pVd、“夕Ag”均为假命题，只有“「2”为真命题.

7.解：当OVwVl时，函数y=log*(x+l)在(0,+8)内单调递减；

当a>l时，函数y=log,,(x+l)在(0,+8)内不是单调递减.

15

曲线y=x+(2a—3)x+1与x轴交于两点等价于(2a—3),—4>0,即aV］或A,

⑴若夕正确，。不正确，即函数y=loga(x+l)在(0,+8)内单调递减，曲线y=/+(2a—3)x+l

与x轴不交于两点，

则a£(O,l)C(耳1，1)U(L-5］),

即aG［；,1).

(2)若p不正确，°正确，即函数尸log.(x+l)在(0,+8)内不是单调递减，曲线y=*+(2a-3)x

+1与X轴交于不同的两点，

15

因此a£(l,+oo)n((0,-)u(-,+-)),

5

即(5，+8).

综上，3的取值范围为［万，1)U(3+8).

8.解：且。为假，二夕，q至少有一个命题为假.

又“非/'为假，・・・。为真，从而可知"为假.

\x-x\<6,

由,为假且。为真，可得”

x£Z,

x—x<6,

即<X2—%>—6,

/GZ,

x—x—6<0,-2Vx<3,

x+6>0,x£R,

l%ez.l%ez.

故x的取值为-1,0,1,2.

9.解：函数7=/在R上单调递减oOVcVl.

不等式x+x—2c|>1的解集为R=函数y=x+|x-2c\在R上恒大于1.

2x—2c,

因为x+\x—2c\=f

2c,x<2c,

所以函数y=x+Ix—2c|在R上的最小值为2c.

所以不等式x+x—2c|>1的解集为R=2c>lu>c>；.

若P为真，且q为假，则OVcwg；

若P为假，且g为真，则c》l.

所以c的取值范围为(0,1]U[1,+°°).

1.2.2全称量词和存在量词

1.命题“存在x°£R,2*。WO”的否定是().

A.不存在刖eR,2*>0

B.存在xoCR,2丽20

C.对任意的xGR,2rWO

D.对任意的xGR,210

2.已知命题p：VxGR,sinxWl,贝ij().

A.—>p：3xGR,sin

B.—ip：VxGR,sinxNl

C.—ip：3*GR,sinx>1

D.—ip：VxGR,sinx>l

3.下列四个命题中，为真命题的是().

A.V/?GR,n^n

B.3〃GR，VZf/WR,m,n—m

C.V〃GR,afflGR,m<n

D.V〃GR,n'<n

4.下列命题中真命题的个数为().

①末位是0的整数，可以被2整除；

②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;

③正四面体中两侧面的夹角相等.

A.1B.2C.3D.0

5.在下列命题中假命题的个数是().

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形.

A.0B.1C.2D.3

6.下列命题：

①VaeR,在［。，。+口］上，函数y=sinx都能取到最大值1；

②若maGR且a#O,f(x+a)=—•/1(*)对VxWR成立，则/'(x)为周期函数;

@3xG(―-^―,—,使sinx<cosx.

其中真命题的序号为.

7.设命题p：3xGR,满足/-4a^+3aJ<0,其中a<0,命题q：3xGR,满足x‘一x—6W0或x

+2x-8>0,且「。是「g的必要而不充分条件，则a的取值范围是.

8.函数/Xx)对一切实数x,y均有/>。+了)一/(力=(*+2/+1)工成立，且f(l)=O.

(l)f(0)的值是;

(2)当Hx)+2<log.x,(0,3恒成立时，a的取值范围是.

9.判断下列命题的真假.

(1)每个指数函数都是单调函数；

(2)任何实数都有算术平方根；

(3)VA-ez,5x+3是整数：

(4)3xGR,犬2+2叶3=0；

(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线.

10.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(l)p：对所有的正实数次，g为正数，且、■〈脏

(2)(?：存在实数x,使得|x+l|Wl或f>4.

参考答案

1.1)命题的否定是“对任意的xWR,2'>0”.

2.C

3.B当0<〃<1时，if<n,故选项A错.取m=l,则〃>1,与矛盾，故选项C错.当〃>1

时，n'>n,故选项D错.3n=1,VmGR,m,n=m,故选B.

4.C用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判断②正确；用正四面体的概念及二面角的定义

判断③正确.

5.A①如n为实数，是无限不循环小数，故①是真命题，同理②③均为真命题.

R冗3JT7nA/Q

6.②①取«=—在区间［丁，丁］上，函数y=sinx的最大值不是1,而是冷，故①为假命

题.

②*.*f(x+a)=—f(x),/.f{x+2a)=-f(x+a)=F(x),

・・・f(x)的周期T=2a(aWO),故②为真命题.

③在(一半,一与)上由三角函数线易知，有sinx>cosx,故③为假命题.

2

7.(―°°,—4］U［―鼻，0)p：(x—3a)(x—a)V0,

又aVO,.\3a<x<a.

q：(x—3)(x+2)WO或(x+4)(才-2)>0,

二.—2或xV—4.

丁-12是「q的必要而不充分条件，

・・・。是2的必要而不充分条件.

令A={x\3a<x<a\,B={x|x2—2或xV—4},则力基氏

2

:.aW—4或3a2—2,；.—4或一

O

8.(1)—2(2)［乎•，1)(1)由已知等式/"(x+y)—F(y)=(x+2y+l)•x对Vx,yGR恒成立，

可令x=l,y=0,得/U)—f(0)=2,又因为/1(1)=0,

所以A0)=-2.

(2)由(1)知第0)=-2,所以f(x)+2=f(*)—f(0)=F(x+0)—f(0)=(x+l)•x.

i3

因为XG(0,5),所以/'(M+zeS,

要使xG(0，今时，Ax)+2<log,x恒成立，显然当a>l时不成立(因为xG(0,1),aS(1,+<»)

时，lOgaXVO),

’01,解得买a<L

所以113

log.L

9.解：⑴形如y=a'(a>0且aWl)的函数是指数函数.a>l时，y=a'是增函数，0<aVl时，尸

H是减函数，所以命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题；

(2)—2是实数，但一2没有算术平方根，所以命题“任何实数都有算术平方根”是假命题.

(3)VxGZ,5x+3都是整数，所以命题“VxGZ,5x+3是整数”是真命题.

⑷由于Vx£R,x'+2x+3=(x+1)'+222,因此使x*+2x+3=0的实数x不存在，所以命题x£R,

岁+2才+3=0”为假命题.

(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，

所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题.

10.解：(1)」。：存在正实数如、偈<0或处由于该命题不易判断真假，所以先判断原命题的真

假，显然原命题是假命题.如勿=;,则曷,即,>加，故该命题为真命题.

(2)—Iq：对Vx£R,都有Ix+11>1且x?W4.由于x=-1£R，但I—1+11=0<1»所以"是假命

题.

2.1.1椭圆的定义与标准方程

2

1.椭圆/+£=1的一个焦点是(0,乖)，那么力等于().

K

A.-6B.6C.m+1D.1一4

2.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数〃的取值范围是().

A.(0,+8)B.(0,2)

C.(1,+8)1).(0,1)

3.方程3(x—2)2+/+M(x+2)2+/=10化简的结果是().

2222

A.白+右=1B.白+看=1

lbzbZ1

2222

7

「C-2X5J+4=1Dn-25+21=11

22

4.椭圆缶+点=1的焦点坐标为().

A.(±4,0)B.(0,±4)

C.(±3,0)D.(0,±3)

22

5.椭圆专+5=1的焦点为百和&点P在椭圆上，如果线段期的中点在y轴上，那么|冏|是I附

•L乙o

的().

A.7倍B.5倍

C.4倍D.3倍

22

6.已知E,K为椭圆条+卷=1的两个焦点，过E的直线交椭圆于46两点，若|同4|+14冽=12,

zoy

则恒引=.

22

7.椭圆/的焦点为向，R,点。在椭圆上.若此|=4,则|形|=,4例的大

小为•

8.已知动圆M过定点/(一3,0),并且在定圆8：(*—3尸+/=64的内部与其相内切，则动圆圆心M

的轨迹方程是

9.已知46两点的坐标分别是(一1,0),(1,0),直线4”，5V相交于点机且它们的斜率之积为血加

<0),求点材的轨迹方程并判断其轨迹的形状.

10.求焦点在坐标轴上，且经过/(十,—2)和6(—24，1)两点的椭圆的标准方程.

参考答案

1.B由焦点坐标为(0,4)，知焦点在y轴上，，4一1=(十”.

k=6.

^22

2.D+Ay=2,.*.y+y=l.

7

k

—>2,

•・•焦点在y轴上，・•・J2：.Q<k<\.

k>0,

3.B此题可从楠圆的定义入手.方程表示动点(x,0到(2,0)与(-2,0)的距离之和等于10,且10

大于两定点的距离4,故该动点(必0的轨迹为椭圆..•・2a=10,即a=5.又c=2,，炉=/一^=21..・.

22

方程为言+去=|

4.D根据椭圆的方程形式，知椭圆的焦点在y轴上，且c=>25—16=3.故焦点坐标为(0,±3).

x—3

5.A不妨设£(—3,0),K(3,0),P(x,y),由题意，知丁=0,即x=3,代入椭圆方程，得尸

土乎)，即I附|=喙

故。点坐标为(3,由椭圆的定义知I网+1/^|=23=4^3,

•••I郎|=岁，即|小|=7|因|.

6.8由椭圆的定义知(|班|+|朋|)+(|加i|+|/K|)=4a=20.又=+|班|同4|+

出例=12,

|曲+12=20..•.囱=8.

7.2120°解析：•.［历|+|9|=2a=6,

“=6一|掰1=2.

|P用2+归段2_忻图2

在△,；/的中,COS/A况=

21P周忖玛|

16+4-281

=---------------=-----

2x4x22

・・・"期=120°.

22

8.Y-?+y=l设动圆M和定圆8内切于点C,动圆圆心材到定点力(-3,0),定圆8的圆心8(3,0)的

距离之和恰好又等于定圆5的半径长，即

\MA\+IMB\=\MC\+|奶|=|BC\=8.

所以动圆圆心材的轨迹是以4夕为焦点的椭圆，并且2a=8,2c=6,所以b=«才Y=①

22

所以动圆圆心”的轨迹方程是2+3=1.

167

9.解：设点材的坐标为(x,y),因为点/的坐标是(-1,0),

所以直线4〃的斜率为凰=喜(任一1).

同理，直线5V的斜率为%“=一・(》#1).

由己知，有—yx—•=Mx#±l),

x+1X-1

2

化简得点材的轨迹方程为f+匕=1(xW±1).

当皿=—1时，极的轨迹方程为x'+_/=l(xW±l),材的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0).

当一l<m<0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点(±1,0).

当勿<一1时，"的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点(±1,0).

10.解法一：⑴当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为与+5=l(a>6>0).

依题意，有

「(/)2|(-2)2.

(-2力)二1

I3+?=1,

a=15,

解得

B=5.

22

所以所求椭圆的标准方程%+±L

(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为号+/1(a>6>0).

f(-2)2,(V3)2

1,

If

依题意，有〈

1,(-2^3)2

m十b2一1,

a=5,

解得

4=15.

因为aVb,所以方程无解.

故所求椭圆的标准方程为记+t1.

解法二：设所求椭圆的方程为以f+77y2=1（/>0,??>0,且加#〃）.

3加+4〃=1,加=语

依题意，有解得〈

12〃+〃=1,1

n=5-

22

所以所求椭圆的标准方程为金+/1.

2.1.2椭圆的简单几何性质

1.椭圆25f+94=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）.

A.5,3,0.8B.10,6,0.8C.5,3,0.6D.10,6,0.6

2.（2010•广东高考）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

（）.

4321

民

A.C.D.

----

5/5v55

3.已知椭圆了+7=19＞方。）的左焦点为尸,右顶点为4点6在椭圆上，且即Lx轴，直线交

y轴于点A若AP=2P8,则椭圆的离心率是（）.

A亚B亚C1n1

2232

4.已知椭圆C方=1与椭圆7+京=1有相同的离心率，则椭圆C可能是（）.

2222

xyo、x,y

A.tz5r力0)B.—+—=1

841664

22

YV

C.-+v=lD.以上都不可能

oZ

5.若点。和点尸分别为椭圆%*1的中心和左焦点，点尸为椭圆上的任意一点，则OP­叮的

最大值为（）.

A.2B.3C.6D.8

X2V2

6.曲线可+"7=xy关于________对称.

o4

222222

7.已知椭圆GXV方=1与椭圆X介+V£=1有相同的长轴，椭圆。的短轴长与椭圆V宗+X《=1的短轴

ab2516219

长相等，则a?=,甘=.

8.已知内，K是椭圆的两个焦点，满足M6•M居=0的点材总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取

值范围是..

2

9.如图所示，已知斜率为1的直线/过椭圆全+/=1的右焦点尸，交椭圆于月，8两点,求弦46的

长.

参考答案

1.B

2.B因为242勿2。成等差数歹lj,

所以2b=a+c.

又H

所以(a+c”=4(J—d).

所以a=-c.

o

£_3

所以e=

3.D解析：如图，设点4的坐标为(必

由于8£Lx轴，故x=-c,y=一，

a

设户(0,f),-：AP=2PB1

.、/b2.

(—a,f)=2(-c,——t).

a

.c1

.•.a=2c,/.­=—.

a2

当点8在第三象限时，

c1

同理可得一.

a2

4.A椭圆：+}=1的离心率为坐

2222

把卷+^=方(/W0)写成白+春=L

848加4加

则a=8m,甘=4k,:.c=4m.

・£_4£_1.啦

,・/一薪—5—-2，

而言+卜=1的离心率为平，

右+存=1的离心率为坐

5.C由题意，得尸（一1,0）,设点尸（刖，K），

2

则或=3（1—：）（―2<xoW2）,

所以。P•尸尸=刘（照+1）+/=/+照+/=髭+照+3（1—4）=；（照+2尸+2.

44

所以当x0=2时，OP•FP取得最大值为6.

6.原点同时以一x代x,以一y代六方程不变，所以曲线关于原点对称.

2222

7.259I•椭圆缘+*=1的长轴长为10,椭圆着+套=1的短轴长为6,；.才=25,B=9.

ZDioziy

8.（0,乎）MF,•MF2=0,

，点M（x,y）的轨迹是以点。为圆心，AK为直径的圆，轨迹方程为

由题意知椭圆上的点在圆外部.

设点户为椭圆上任意一点，则|8|>c恒成立.

由椭圆的性质，知》其中6为椭圆短半轴长.

，b>c.：,c<l/=a~c.

・••才>2日・,.（£）*vj.

3L

cA/2-

:.e=_<~7~.又0Ve<1,

a2

9.解：设48两点的坐标分别为力（E,力），B〈xz,㈤，由椭圆方程，知才=4,Z?2=l,则/=3,

所以有尸（/，0）,

所以直线1的方程为尸X一小.

2

将其代入京+/=1，化简整理，得5/一队而+8=0.

而广1,逆8

所以为+屹=二―，X\X2=~.

55

所以="1+〃|小一尼1=3+”•7（小+及）2—4矛］X2

=历、/（8m）2—4*5义88

V55，

2.2.1双曲线的定义与标准方程

1.到两定点内（一3,0）,内⑶0）的距离之差的绝对值等于6的点"的轨迹是（）.

A.椭圆B.线段

C.双曲线D.两条射线

22

2.双曲线令一春=1的焦距为（）.

A.3^2B.4小

C.3^3D.4^2

3.已知定点£（—2,0）,用（2,0）,在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中为双曲线的是（）.

A.1/^|-|/^|=±3

B.|冏|一|附=±4

C.|M|一|附=±5

D.|冏「一|网=±4

4.已知方程言一/匕=1的图形是双曲线，那么4的取值范围是（）.

A.Q5

B.k>5,或一2<么<2

C.k>2,或AV—2

D.-2<k<2

5.设。为双曲线V—=1上一点，R,凡是该双曲线的两个焦点，若|掰|：|次|=3：2,则△所出

12

的面积为（）.

A.673B.