高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义省公开课一等奖新课获奖课件

2.2.3向量数乘运算及其几何意义1/37怎样求作两个非零向量和向量？首尾相接首尾连OAB2/37怎样求作两个非零向量差向量？首同尾连指被减OAB3/37问题：一只兔子向东一秒钟位移对应向量为，那么它在同一方向上按摄影同速度行走3秒钟位移对应向量怎样表示？是吗？兔子在相反方向上按摄影同速度行走3秒钟位移对应向量又怎样表示？是吗?请同学们自己思索.4/37作匀速直线运动飞机位移与速度关系是吗？带着上面问题，我们进入本节课学习！5/371.掌握向量数乘运算及几何意义.2.掌握向量数乘运算律，并会利用它们进行计算.3.了解两个向量共线条件，能表示与某个非零向量共线向量，能判断两个向量共线.4.经过本节课学习，体会类比和化归思想．（重点）（重点、难点）6/37思索1：已知非零向量

，怎样求作向量

＋

＋

和（－

）＋（－

）＋（－

）？OABCOMNP探究一：向量数乘定义

（－

）＋（－

）＋（－

）提醒:7/37思索2：向量

＋

＋

和(-)+(-)+(-)分别怎样简化其表示形式？思索3：向量3

和－3

与向量

大小和方向有什么关系？OABCOMNP＋

＋

记为3

，（－

）＋（－

）＋（－

）记为－3

.提醒:8/37思索4：设

为非零向量，那么

还是向量吗？它们分别与向量

有什么关系？提醒:9/37（1）|λ

|=|λ||

|；（2）λ>0时,λ

与

方向相同；

λ<0时,λ

与

方向相反；

λ=0时,λ

=.思索5：普通地，我们要求实数λ与向量

积是一个向量，这种运算叫做向量数乘.记作λ

，该向量长度及方向与向量

有什么关系？提醒:10/37如图，设点M为△ABC重心，D为BC中点，那么向量与，与分别有什么关系？ABCDM解答:【即时训练】11/37探究二：向量数乘运算律及共线向量基本定理思索1：你认为－2×（5

），2

＋2，

可分别转化为何运算？-2×

(5

)=-10

；2

＋2=2(

+

)；(3＋)

=3

＋提醒:12/37思索2：普通地，设λ，μ为实数，则λ(μ

)，(λ＋μ)

，λ(

＋

)分别等于什么？13/37=提醒:14/37提醒:15/37ABCDE提醒:16/37提升总结：17/37思索3：对于向量

（

）和

，若存在实数λ，使=λ

，则向量

与

方向有什么关系？思索4：若向量

（

）与

共线，则一定存在实数λ，使

=λ

成立吗？思索5：综上可得向量共线定理：向量

（

）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

=λ

.若

＝，上述定理成立吗？提醒：共线提醒：一定存在提醒：不成立18/37思索6：若存在实数λ，使，则A，B，C三点位置关系怎样？A，B，C三点共线提醒:19/37思索7：向量加、减、数乘运算统称为向量线性运算，对于任意向量

，

，以及任意实数λ，x，y，λ(x

±y

）可转化为何运算？λ(x

±y

）=λx

±λy

.提醒:20/37ABPO如图，若P为AB中点，则与，关系如何？解答:【即时训练】21/37

例1.计算（1）（－3）×4

；（2）3（

＋

）－2（

－

）－

；（3）（2

＋3

－）－（3

－2

＋

）.向量与实数之间能够像多项式一样进行运算.22/37

计算：【变式练习】23/3723O例2.如图，已知任意两个非零向量试作你能判断A，B，C三点之间位置关系吗？为何？ABCA，B，C三点共线.24/37解：分别作向量，过点A，C作直线AC.观察发觉，不论向量怎样改变，点B一直在直线AC上，猜测A，B，C三点共线.

实际上，因为25/37依据以下各小题中给出条件，分别判断四边形ABCD形状，并给出证实.简析:（1）平行四边形，一组对边平行且相等.（2）梯形，一组对边平行且不相等.（3）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等.【变式练习】26/37例3.如图，□ABCD两条对角线相交于点M，且=

，

=

，你能用

,

表示，，和吗？MABDC27/3728/37

如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有