《第1节 三角形的有关概念与性质》课件-初中数学-七年级第二学期-沪教版

三角形的有关概念与性质

主讲人：

目录01三角形的基本概念02三角形的性质03三角形的判定方法04三角形的相似与全等05三角形的面积计算06三角形的其他性质三角形的基本概念01定义与分类按边长分类三角形的定义三角形是由三条直线段首尾相连构成的封闭图形，具有三个顶点和三条边。三角形根据边长的不同，可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。按角度分类根据内角大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的元素三角形的每个交点称为顶点，是构成三角形的三个基本点，例如在△ABC中，A、B、C为顶点。顶点三角形内部的角称为内角，每个三角形有三个内角，例如△ABC的内角为∠A、∠B和∠C。内角连接两个顶点的线段称为三角形的边，每个三角形有三条边，如△ABC的边AB、BC和CA。边010203角度与边的关系三角形的三个内角之和恒等于180度，这是三角形内角和的基本性质。内角和定理直角三角形中，一个角为90度，其余两角互补，且满足勾股定理，边长间存在特定比例关系。直角三角形的性质在等腰三角形中，两腰相等导致底角也相等，体现了边长与角度之间的对应关系。边长与角度的关系三角形的性质02内角和定理三角形的三个内角之和恒等于180度，这是三角形内角和定理的基本内容。内角和定理的定义在几何证明和实际问题中，内角和定理常用于计算未知角度，如多边形内角求和。内角和定理的应用外角性质三角形的任一外角等于非相邻两内角之和，体现了三角形内角和外角的关系。外角和定理01三角形的任一外角的平分线与对边的延长线相交，形成等腰三角形，展示了角平分线的特性。外角平分线性质02等边与等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形有两条边长度相等，底角相等，顶角可以通过底边上的高来确定。等边三角形的应用实例在建筑设计中，等边三角形因其稳定性和美观性常被用于结构框架的设计。等边三角形的定义等边三角形是三边长度相等的三角形，其内角均为60度，具有高度的对称性。等边与等腰三角形的区别等边三角形是特殊的等腰三角形，所有边等长；而等腰三角形仅要求两腰相等，底边可以不同。等腰三角形的应用实例在桥梁建设中，等腰三角形结构被广泛应用于拱桥的建造，以承受重力和张力。三角形的判定方法03三边判定法三边判定法要求任意两边之和大于第三边，这是构成三角形的基本条件。边长关系根据三角形的性质，任意两边之差小于第三边，这是三边判定法的另一重要依据。不等式原理在直角三角形中，若满足勾股定理，则三边长度可以判定为直角三角形。直角三角形特例两边夹角判定法如果一个三角形的两边长度和它们之间的夹角已知，可以唯一确定一个三角形。已知两边和夹角01仅知道两边和非夹角的第三边，不能唯一确定一个三角形，存在不唯一性问题。SSA条件的局限性02在直角三角形中，如果已知一条直角边和斜边，可以确定一个唯一的直角三角形。直角三角形的特殊情况03角边角判定法角边角判定法的定义角边角判定法是一种利用两个角和它们之间夹的边来判定两个三角形全等的方法。角边角判定法的适用条件当两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等时，这两个三角形全等。角边角判定法的应用实例在建筑设计中，利用角边角判定法可以确保结构的准确性和稳定性。三角形的相似与全等04相似三角形的判定如果两个三角形的两对角分别相等，那么这两个三角形相似。01角角相似定理（AA）如果两个三角形的三组对应边的比例相等，那么这两个三角形相似。02边边边相似定理（SSS）如果两个三角形有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。03边角边相似定理（SAS）全等三角形的判定如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。边边边(SSS)判定法如果两个三角形有两角及非夹边分别相等，那么这两个三角形全等。角角边(AAS)判定法如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。边角边(SAS)判定法如果两个三角形有两角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。角边角(ASA)判定法相似与全等的应用利用相似三角形原理，通过测量已知高度的物体影子长度，可以计算出远处物体的高度。测量距离01在建筑设计中，全等三角形的概念被用于确保结构的稳定性和对称性，如桥梁的桁架结构。设计与建筑02地图制作时，相似三角形用于将实际地形缩小到地图上，保持比例和形状的一致性。地图制作03艺术家利用三角形的全等和相似原理，创作出具有几何美感的图案和雕塑。艺术创作04三角形的面积计算05基本面积公式三角形面积可通过其底边长度乘以高，再除以2来计算，这是最基础的公式。当三角形三边长度已知时，可使用海伦公式计算面积，公式涉及半周长的计算。底乘高除以二海伦公式海伦公式公式推导海伦公式通过三角形的三边长度来计算面积，无需知道高度或角度。适用条件适用于任何已知三边长度的三角形，无论其形状如何。实际应用在测量学、工程学等领域，海伦公式常用于计算不规则三角形的面积。面积比与边长比在相似三角形中，边长比的平方等于面积比，体现了边长与面积之间的比例关系。边长比与面积比的关系01、利用海伦公式计算两个三角形的面积，可以比较它们的面积比，进而推导出边长比。海伦公式在面积比中的应用02、三角形的其他性质06中线、高线、角平分线中线连接顶点与对边中点，将三角形面积等分，是重心的特殊线段。三角形的中线角平分线从顶点出发，将顶角平分成两个相等的角，具有特定的几何性质。三角形的角平分线高线垂直于对边，是连接顶点与对边的垂线段，用于计算三角形的面积。三角形的高线010203三角形的重心重心的性质重心的定义三角形的重心是其三条中线的交点，将每条中线分为两段，其中一段是另一段的两倍。重心将三角形分割成六个面积相等的小三角形，且重心到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。重心与质量分布在均匀密度的三角形中，重心也是质心，即质量分布的平衡点。三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆是通过三角形三个顶点的唯一圆，圆心称为外心，半径称为外接圆半径。外接圆的定义01三角形的内切圆是与三角形的三边都相切的唯一圆，圆心称为内心，半径称为内切圆半径。内切圆的定义02三角形的外接圆半径可以通过三角形的面积和半周长的乘积公式来计算，即R=abc/(4K)，其中a、b、c为边长，K为面积。外接圆半径与三角形边长的关系03三角形的内切圆半径可以通过三角形的面积和周长的乘积公式来计算，即r=K/s，其中K为面积，s为半周长。内切圆半径与三角形边长的关系04三角形的有关概念与性质(2)

三角形的定义01三角形的定义

三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。这三条线段被称为三角形的边，它们的相交点称为三角形的顶点。根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。三角形的基本性质02三角形的基本性质

1.两边之和大于第三边2.两边之差小于第三边3.三角形的稳定性

三角形具有稳定性，即在受到外力作用时，三角形不易发生形变。这一性质使得三角形在建筑、桥梁等领域具有广泛的应用。这是三角形存在的基本条件之一。对于任意三角形ABC，有AB+BC+ACAB，以及AB+ACBC。在三角形中，任意两边之差都小于第三边。即|ABBC|AC，|BCAC|AB，以及|ABAC|BC。三角形的基本性质

4.三角形的角度和5.三角形的面积计算6.三角形的中位线、中垂线与角平分线

三角形的中位线连接任意两边的中点，中垂线垂直于边的中点并平分该边，角平分线将一个角平分为两个相等的角。这些特殊线段在几何证明和计算中具有重要作用。三角形的内角和总是等于180度。这是三角形的一个基本性质，也是许多几何定理的基础。三角形的面积可以通过多种方式计算，如底乘高的一半（S1、海伦公式（S[p(pa)(pb)(pc)]，其中p为半周长）等。三角形的基本性质

7.三角形的高、中线和角平分线之间的关系在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一）。三角形的分类03三角形的分类

根据三角形的边长和角度等性质，可以将其分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。三角形的应用04三角形的应用

三角形在日常生活和工程领域具有广泛的应用，例如，在建筑中，三角形结构常用于增强建筑的稳定性和耐久性；在地理测量中，三角形法可用于确定地面点的精确位置；在物理学中，三角形法则常用于描述力的合成和分解等。综上所述，三角形作为几何学中的基础图形，具有丰富的概念和性质。深入理解和掌握这些概念和性质对于学习更高级的几何知识和解决实际问题具有重要意义。三角形的有关概念与性质(3)

三角形的基本概念01三角形的基本概念

组成三角形的三条线段。2.三角形的边由三角形两条边所夹的部分。3.三角形的角由三条线段首尾相接所形成的封闭图形。1.三角形

三角形的基本概念

4.三角形的顶点三角形三条边的交点。

按边长分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。5.三角形的类型三角形的性质02三角形的性质（1）对顶角相等。（2）邻补角互补。（3）等腰三角形的底角相等。3.三角形的角的关系

任意三角形内角之和等于180。1.三角形的内角和定理

（1）任意两边之和大于第三边。（2）任意两边之差小于第三边。2.三角形的边长关系

三角形的性质S12底高。4.三角形的面积公式重心将中线、高线、角平分线三线合一。5.三角形的重心性质三角形的重要定理03三角形的重要定理

1.三角形的外接圆定理2.三角形的内切圆定理3.三角形的正弦定理

在任意三角形中，各边与其对应角的正弦值之比相等。任意三角形都可以作一个外接圆，圆心是三角形三边的中垂线的交点。任意三角形都可以作一个内切圆，圆心是三角形三边的角平分线的交点。三角形的重要定理

4.三角形的余弦定理在任意三角形中，各边的平方和等于其余两边的平方和与它们夹角余弦的两倍乘积之和。

在任意三角形中，各边与其对应角的正切值之比相等。5.三角形的正切定理三角形的有关概念与性质(4)

三角形的概念01三角形的概念

三角形是由三条不共线的直线段（边）围成的封闭图形。它的定义可以表示为：由三个顶点组成的平面图形，满足任意两点之间的连线都属于这个图形，即都是三角形ABC的边。三角形的基本类型02三角形的基本类型

等腰三角形：至少有两边相等。等边三角形：所有三边长度相等。1.按边分类

直角三角形：有一个角是直角（90度）。钝角三角形：有两个角是钝角。锐角三角形：三个角都是锐角（小于90度）。2.按角分类三角形的性质03三角形的性质

任意三角形的内角和等于180度。1.三角形内角和定理

S12底高，其中底是指三角形的一条边，高是从这条边的对顶点垂直于该边所作的垂线段的长度。3.三角形的面积公式

一个三角形的外角