山西省吕梁市交城县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

2024年中考模拟试卷（一）数学(满分120分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷选择题(共30分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.比大5的数是（）A. B. C.2 D.8答案：C解：，比大5的数是，故选：C．2.年1月日，国家统计局公布了年中国经济运行数据．初步核算，全年国内生产总值（）万亿元，比上年增长，远远超过全球的平均增速．数据万亿用科学记数法表示为A. B.C. D.答案：D解：万亿，万亿用科学记数法表示为．故选：．3.从下图中裁掉一个正方形后，剩余部分恰好是正方体的表面展开图，则裁剪错误的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：A解：裁剪甲，如图所示：不能还原成正方体，不是正方体的侧面展开图，符合题意；裁剪乙，如图所示：展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；裁剪丙，如图所示：展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；裁剪丁，如图所示：展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；故选：A．4.下列运算中，正确的是（）A B.C. D.答案：C解：A．，故不正确；B．，故不正确；C．，正确；D．，故不正确；故选C．5.如图，是的直径，弦，若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：C解：弦，，，．故选：．6.某建筑队计划修筑2600米的围墙，由于投入新设备，每天的施工效率比原计划提高了30%，按这样的进度将比原计划提前6天完成．设原计划每天修筑米，根据题意列方程得（）A. B.C. D.答案：B解：由已知可得原计划修筑的天数为，实际修筑天数为，故选B．7.农科院的研究员种植了甲、乙两块玉米试验田，为了解试验田中玉米的长势情况，研究员分别从两块试验田中随机抽取了株玉米测量其高度（单位：），具体数据统计如下：试验田第一株第二株第三株第四株第五株第六株第七株平均数甲乙根据测量数据，长势比较整体的是（）A.甲试验田 B.乙试验田 C.两块试验田一样 D.无法判断答案：A解：∵甲试验田和乙试验田株玉米高度的平均数都为：，∴甲试验田玉米高度的方差为：乙试验田玉米高度的方差为：∵，∴长势比较整体的是甲试验田．故选：A．8.青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（）A.方程思想 B.分类讨论思想 C.模型思想 D.数形结合思想答案：D将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想．9.如图，在平面直角坐标系中有四个点，分别代表阻值不同的甲、乙、丙、丁四个电阻通过不同电流时的情况，其中甲、丙两个电阻对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻中两端的电压最大的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案：D解：根据题意，阻值与电流满足反比例关系，设电阻、电流与电压函数表达式为，甲、丙两点均在反比例函数图象上，，甲、丙两个电阻两端的电压值相等，均为，过乙、丁作轴平行线交反比例函数图象于两点，如图所示：不变时，；不变时，；在反比例函数图象上，由知，；，即四个电阻中两端的电压：丁甲丙乙，这四个电阻中两端的电压最大的是丁，故选：D．10.如图，将放置在平面直角坐标系中，，点A在轴的负半轴上，已知，，将绕着点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B在中，，．由旋转的性质可得，，，过点作于点，∵∴，在中，，，∴点的坐标为．故选B．第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.分解因式：_____．答案：解：，故答案为：．12.不等式组的解集是_________________．答案：解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，故答案为：．13.如图，在菱形中，，，于点，对角线交于点，则的长为______________．答案：##四边形是菱形，，，，，，，．14.为了对学生进行消防安全教育，传播消防安全知识，某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报，则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________．答案：解：设有两间教室，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有：种类1①②③④2①③②④3①④②③4②③①④5②④①③6③④①②由表可知，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有6种，其中，①③两张海报张贴在同一教室内的情况有两种，①③两张海报张贴在同一教室内的概率为，故答案为：．15.如图，在矩形中，，，连接对角线，是的平分线，过点作于点，交于点，交于点，则的长为_______________．答案：∵四边形矩形，∴，∴，∵，∴，∴．∵是的平分线，，，∴．，∴∴∴，∴．故答案为：．三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.（1）计算：；（2）解方程组：．答案：（1）（2）（1）解：原式===（2）解：原方程可变形为整理得由②得：③把③代入①得：解得：把代入③得∴原方程组得解为17.先化简，再求值：，其中答案：，解：=======当时，原式==18.某校开展了一次消防知识竞赛（百分制）．七、八年级各有50名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（单位：分）分为五组：一组；二组；三组；四组；五组．部分信息如下：①七年级二组的学生人数占七年级参赛人数的．八年级三组中最低的10个成绩分别为：70，71，71，72，72，73，74，74，75，75．②七、八年级成绩统计图如下：③七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平均数中位数众数七707176八7079根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：，．（2）请补全条形统计图；（3）这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，可知甲是（填“七”或“八”）年级的学生；（4）综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．答案：（1），（2）见解析（3）七（4）八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好【小问1详解】解：，八年级一组人，二组人，三组人，四组人，五组人，将八年级50人成绩从小到大排列，第25、26个数据分别为74、74，∴八年级成绩的中位数．故答案为：，；【小问2详解】七年级二组的学生人数为人，五组的学生人数为人，所以，可补画条形统计图如下：【小问3详解】这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为73分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，根据八年级成绩的中位数为74，故73分在年级中排名在第26名之后，而七年级成绩的中位数为71，故73分在年级中排名在第25名之前，可知甲是七年级的学生．故答案为：七；【小问4详解】八年级的学生掌握的更好．因为，七、八年级的学生成绩平均数一样，而八年级的学生成绩的中位数和众数更高，所以，八年级的学生掌握的更好．19.某文化旅游公司推出“亲近大自然野外宿营”活动，票价为360元/人．周末期间有如下两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费270元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六五折优惠．设小明所在的团队有人，在周末期间参加该活动，购票总花费为元．（1）分别写出这两种方案中关于的函数关系式；（2）这两种方案中关于的函数图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义；（3）当方案一比方案二更优惠时，请直接写出的取值范围．答案：（1），（2）（3）【小问1详解】解：方案一：，则方案二：，则；【小问2详解】解：令代入中，得，∴，联立方程组的，解得，∴，点的实际意义为：当小明的团队有5人时，方案一和方案二一样优惠，都需要花费1170元；【小问3详解】解：由（1）中解析式可知，方案二图象过原点，如图所示：两条直线的交点，在直线的右侧，的图象都在的图象上方，即方案一比方案二更优惠，．20.交城县教育局为了丰富春节期间群众的文化生活，营造节日喜庆氛围，宣传教育新形象，特在卦山公园举办花灯展，并在公园的门口搭建了一座门楼（如图）．某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量门楼的高度，设计了如下方案：课题测量门楼的高度测量工具无人机测量示意图说明：表示门楼，点表示门楼的顶部，点表示门楼的底部．点，为无人机两次测量的位置，米，点，在同一水平直线上，点，，，均在同一竖直平面内，与水平面垂直．测量数据从处观测处的俯角从处观测处的俯角从处观测处的俯角…………请你结合以上数据，帮助该小组的同学求出门楼的高度．（结果精确到米．参考数据：）答案：米解：如下图，延长，交于点，由题意可知，，，，在中，，∴，∴，设米，则米，∵米，∴米，在中，可有，∴，∴，∴，在中，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴米．21.阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．圆内接正三角形的有趣结论我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，在等边三角形中，，，（依据），，是等边三角形，，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴任务：（1）小宇的日记中的“依据”是，（2）如图，若，，则线段的长度是，（3）如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由．答案：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（2）（3）【小问1详解】在等边三角形中，，，（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等），故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等【小问2详解】过点作于点，在中，∴，，∴，，在中，，，，．，由题可知，．【小问3详解】连接，过点作交于点∵正方形内接于，，是等腰直角三角形∴，即．22.综合与实践问题初探：如图1，四边形是正方形，点E，F分别是边上的动点，若点E运动到的中点处，点F运动到的中点处，连接、．（1）请写出与的数量和位置关系_______________________；猜想证明：（2）如图2，在点E，F运动过程中，若，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在图1的基础上，连接AG，得到图3，求证：．答案：（1），（2）成立，理由见解析（3）见解析【小问1详解】∵四边形是正方形，在和中故答案为：，【小问2详解】成立证明：∵四边形是正方形，即在和中【小问3详解】证明：延长和交于点，点是的中点，∴在和中在中．23.综合与探究如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．（1）求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；（2）如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；（3）如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1），（2）点的坐标的或（3）存在，点的坐标为或或或【小问1详解】解：，∴，当时，得：，解得：，，∴，，当时，得：，∴，设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，∴抛物线的顶点的坐标为和直线的解析式为；【小问2详解】过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，∴，∴，∴，设，∴，∴，把代入，得：，∴，∴，∵，∴，解得：，，∴点的坐标