提优点1 极化恒等式与等和线

极化恒等式与等和线【知识拓展】1.极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq\f(1,4).(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：①eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2－|eq\o(NM,\s\up6(→))|2)(平行四边形模式)；②eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(NM,\s\up6(→))|2(三角形模式).2.平面向量共线定理已知平面内一组基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP,\s\up6(→))，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然.3.平面向量等和线定理平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP,\s\up6(→))，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝eq\f(|OP|,|OF|)＝eq\f(|OB1|,|OB|)＝eq\f(|OA1|,|OA|)，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0.【类型突破】类型一利用极化恒等式求向量的数量积例1(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值为________.(2)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4eq\r(2)，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))的最小值为________.答案(1)eq\f(7,8)(2)－4解析(1)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).(2)连接MD，根据向量的极化恒等式，有eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))＝|eq\o(MD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|EF|2＝eq\o(MD,\s\up6(→))2－8，由于△ABC为等腰直角三角形，M为线段AB上的点，所以BC＝AC·sineq\f(π,4)＝4，因此MD≥eq\f(1,2)BC＝2，所以eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))≥4－8＝－4，即eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))的最小值为－4.规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大于第三边，或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.训练1(1)已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足|PC|＝1，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为()A.4－2eq\r(2) B.3－2eq\r(2)C.3－2eq\r(3) D.4－2eq\r(3)(2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案(1)C(2)－16解析(1)因为动点P满足|PC|＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示：设D为AB的中点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－1；所以当|eq\o(PD,\s\up6(→))|取最小值时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最小值，|eq\o(PD,\s\up6(→))|min＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|－1＝eq\r(3)－1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－1≥(eq\r(3)－1)2－1＝3－2eq\r(3).故选C.(2)因为M是BC的中点，由极化恒等式得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16.类型二利用等和线求基底系数和的值例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝()A.1 B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.答案(1)B(2)eq\f(1,2)解析(1)法一∵E为线段AO的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,4)，则λ＋μ＝eq\f(3,4).法二(等和线法)如图，AD为eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))为基底值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|BE|,|BF|).由图易知eq\f(|BE|,|BF|)＝eq\f(3,4)，故选B.(2)法一由题意作图如图.∵在△ABC中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3).故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).法二(利用等和线)如图，过点A作eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，连接DF.设AF与BC的延长线交于点H，如图，BH为值是1的等和线，设λ1＋λ2＝k，则k＝eq\f(|\o(AF,\s\up6(→))|,|\o(AH,\s\up6(→))|)，由图易知，eq\f(|AF|,|AH|)＝eq\f(1,2).因此λ1＋λ2＝eq\f(1,2).规律方法利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.训练2在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.1答案A解析法一设eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)，∴λ＋μ＝eq\f(1,2).法二(等和线法)如图，BC为以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))为基底值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由图易知，eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，故选A.【精准强化练】一、单选题1.设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A.1 B.2C.3 D.4答案A解析由极化恒等式得a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\f(1,4)(|a＋b|2－|a－b|2)＝eq\f(1,4)×(10－6)＝1.2.如图，在四边形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝－28，则eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝()A.64 B.42C.36 D.28答案C解析由eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝36－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝－28，解得eq\o(ON,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝100－64＝36.3.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ＝()A.1 B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)答案A解析(等和线法)如图，作eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4) B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4) D.－eq\f(4,9)答案B解析∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圆O的半径为1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3).法一eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2＋eq\o(FO,\s\up6(→))·(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋0－1＝－eq\f(8,9).法二由极化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(DE,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).5.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值是()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)＝|eq\o(OM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4).因为OM≤ON＋NM＝eq\f(1,2)AD＋AB＝eq\f(3,2)，当且仅当O，N，M三点共线时取等号.所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值为2.故选B.6.已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.2eq\r(2)答案A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))有最小值，即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OB,\s\up6(→))2＝(eq\r(2))2－12＝1.故选A.7.(2024·宁波模拟)AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，|AB|＝6，若点P为⊙C上一动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是()A.[0，100] B.[－12，48]C.[－9，64] D.[－8，72]答案D解析如图，取AB中点为Q，连接PQ.∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))2－(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))2]＝eq\f(1,4)(4|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2－|eq\o(BA,\s\up6(→))|2).又∵|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝6，|CQ|＝eq\r(25－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))\s\up12(2))＝4，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PQ,\s\up6(→))|2－9，∵点P为⊙C上一动点，∴|PQ|max＝5＋|CQ|＝9，|PQ|min＝5－|CQ|＝1，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围为[－8，72].二、多选题8.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值可能是()A.0 B.2C.4 D.13答案BC解析因为A＝30°，BC＝2，所以eq\f(BC,sinA)＝4，则△ABC外接圆的半径为2.如图所示，圆O的半径为2，BC是圆O的一条弦，点A在圆O的优弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上，D是线段BC的中点，连接DO并延长交圆O于点E.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－1.因为点A在圆O的优弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上，所以1<|eq\o(AD,\s\up6(→))|≤|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝2＋eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的取值范围是(0，6＋4eq\r(3)).故选BC.9.(2024·武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b⇔a·b＝eq\f(（a＋b）2－（a－b）2,4)，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中，BD＝8，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝48，E为BD中点，且eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，则()A.AE＝8 B.AE＝4C.eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝240 D.eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝120答案AC解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝48，BD＝8，由极化恒等式得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))）2－（\o(AB,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))）2,4)＝eq\f(（2\o(AE,\s\up6(→))）2－\o(BD,\s\up6(→))2,4)＝AE2－eq\f(BD2,4)＝AE2－16＝48，所以AE＝8，又2eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，所以EC＝2AE＝16，由极化恒等式得eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(（\o(CB,\s\up6(→))＋\o(CD,\s\up6(→))）2－（\o(CB,\s\up6(→))－\o(CD,\s\up6(→))）2,4)＝eq\f(（2\o(CE,\s\up6(→))）2－\o(BD,\s\up6(→))2,4)＝CE2－eq\f(BD2,4)＝256－16＝240.三、填空题10.给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________.答案2解析(等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))为基底k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，因为OA＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，所以OE＝eq\f(1,2)，则k＝eq\f(|DO|,|OE|)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2，即x＋y的最大值为2.11.(2024·合肥调研)四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD＝2eq\r(2)，EF＝1，点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的最大值为________.答案2解析因为eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))，又点F分别是CD的中点，所以eq\o(FD,\s\up6(→))＝－eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝(eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,