第16讲 三角形的概念和性质 课件中考数学复习

第四章三角形第16讲三角形的概念和性质3大考点精讲+专训2大中考命题点+22大题型探究01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求三角形中的重要线段三角形的三边关系三角形的内角和外角★★★理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形重心的概念；探索并证明角平分线的性质定理；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.★★【命题预测】在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.∴，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.三角形的垂直平分线★★02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究与三角形有关的角考点三三角形中有关线段考点二三角形的基础考点一三角形的基础1.三角形的相关概念三角形的基础考点一三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形的表示

1.三角形的分类

1）三角形按边分类2）三角形按角分类：3.三角形的稳定性三角形的基础考点一三角形的稳定性三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.三角形三边关系的应用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．三角形三边关系1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．针对练习三角形的基础考点一

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形等边三角形的每一个内角均为60°4．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是

．三角形具有稳定性3.（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（

）A．5，7，12B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12C

DD

03考点突破·考法探究与三角形有关的角考点三三角形中有关线段考点二三角形的基础考点一三角形中有关线段三角形中有关线段考点二类型三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言性质用途举例1.高、中线、角平分线∵AD是∆ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90°

1）线段垂直．2）角度相等．1）线段相等．2）面积相等．角度相等．三角形中有关线段考点二2.中位线、垂直平分线类型三角形的中位线三角形的垂直平分线文字语言连接三角形两边中点的线段经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线图形语言性质用途举例

∵直线l是AB的垂直平分线∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°1）线段平行．2）线段关系．1）线段相等．2）角度相等．针对练习1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是

．2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线3．（2024·青海·中考真题）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（

）A．4 B．3 C．2 D．1三角形中有关线段考点二2B

C

112

∟

角平分线的性质针对练习三角形中有关线段考点二4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC,BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（

）A．18m B．24m

C．36m D．54mC5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，CD=5，则BD=

．3

03考点突破·考法探究与三角形有关的角考点三三角形中有关线段考点二三角形的基础考点一与三角形有关的角与三角形有关的角考点三1.三角形的内角和定理三角形的内角和定理及推论定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.与三角形有关的角考点三2.三角形的外角和定理三角形的外角的性质三角形的外角和定理三角形的外角和等于360°．1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

与三角形有关的角考点三针对练习1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．则∠1的度数为（

）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．503．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①

②两个三角形纸片，则一定正确的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠BCAD

∠D=∠1

∠DEF=∠1=120°∠1=∠ABD+∠ACB04题型精研·考向洞悉三角形的稳定性题型01与三角形有关的线段命题点一画三角形的五线题型02与三角形高有关的计算题型03等面积法求高题型04求网格中的三角形面积题型05与三角形中线有关的计算题型06与三角形重心有关的计算题型0704题型精研·考向洞悉与三角形中位线有关的计算题型08与三角形有关的线段命题点一利用角平分线的性质求解题型09角平分线的判定题型10利用垂直平分线的性质求解题型11垂直平分线线的判定题型12根据作图痕迹求解题型13利用三角形三边关系求解题型14命题点一与三角形有关的线►题型01三角形的稳定性三角形具有稳定性.

四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.方法技巧1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）B．D．A．C．2．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（

）A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360°DC命题点一与三角形有关的线►题型02画三角形的五线【例1】（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（

）

A．①②

B．①③

C．②③

D．只有①B方法指导解题的关键：٭掌握尺规作图画法，全等三角形的判定与性质٭理解作法、掌握角平分线的定义

∴△AFM≌△AEN(SAS)，∴∠AMD=∠AND，∵AM-AE=AN-AF∴ME=NF在△MDE和△NDF中

∴△MDE≌△NDF(AAS)，∴DM=DN，∵AD=AD,AM=AN，∴△ADM≌△ADN(SSS)，∴∠MAD=∠NAD，∴AD是∠BAC的平分线；则①③可得出射线AD平分∠BAC．【例2】（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：△ABC．求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．

命题点一与三角形有关的线►题型02画三角形的五线方法指导解题的关键：٭掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作٭理解线段垂直平分线的性质P解：如图，点P为所作．命题点一与三角形有关的线►题型02画三角形的五线1．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（

）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线

BD

命题点一与三角形有关的线►题型03与三角形高有关的计算有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.高相等，面积之比等于底边之比.方法技巧

A．1.5 B．3 C．4 D．6B

解：∵AB=7,BC=6，AC=5

∴CD=BC-BD=6-5=1,1命题点一与三角形有关的线►题型03与三角形高有关的计算

E∟

命题点一与三角形有关的线►题型03与三角形高有关的计算

（2）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，

（3）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，

∵△CDE和△BEC是等高三角形，

命题点一与三角形有关的线►题型04等面积法求高等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积,另一种是利用割补法表示三角形的面积.方法技巧

（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形ECFD为平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形ECFD是矩形．

面积法求线段长命题点一与三角形有关的线►题型04等面积法求高

B

命题点一与三角形有关的线►题型05求网格中的三角形面积1）利用割补法求三角形的面积.2）皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-1方法技巧【例1】（2024洛阳市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．

解题的关键：٭利用网格割补法求面积٭勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理求角度方法指导

S1S2S3S4S5

命题点一与三角形有关的线►题型05求网格中的三角形面积

𝟏𝟒BAC

命题点一与三角形有关的线►题型06与三角形中线有关的计算

解题的关键：٭掌握相似三角形的性质和判定及三角形中位线性质٭会构造辅助线：三角形中位线方法指导B

命题点一与三角形有关的线►题型06与三角形中线有关的计算

A．2 B．4 C．6 D．8B

B

命题点一与三角形有关的线►题型07与三角形重心有关的计算

A．15 B．18 C．24 D．36B

解题的关键：٭掌握三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质٭会构造辅助线：三角形中线方法指导

命题点一与三角形有关的线►题型07与三角形重心有关的计算

命题点一与三角形有关的线►题型07与三角形重心有关的计算

6

命题点一与三角形有关的线►题型07与三角形重心有关的计算

6

命题点一与三角形有关的线►题型08与三角形中位线有关的计算【例1】（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（

）

D

解题的关键：٭掌握三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质٭方法指导命题点一与三角形有关的线►题型08与三角形中位线有关的计算

9642三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半命题点一与三角形有关的线►题型09利用角平分线的性质求解【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）

C解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：E∟∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，解题的关键：٭掌握三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质٭方法指导命题点一与三角形有关的线►题型09利用角平分线的性质求解

2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等3．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为

．CD

∟3∟3I是△ABC的内心，到AB，AC，BC的距离相等

AD=13命题点一与三角形有关的线►题型10角平分线的判定

解题的关键：٭掌握尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理、三角形面积公式、角平分线的判定定理٭灵活运用所学知识点方法指导

OE

D

∵DA平分∠BAC，ON⊥AC，OG⊥AB，∴OG=ON，同理可得：OM=ON，∴OG=OM，∴BE平分∠ABC命题点一与三角形有关的线►题型10角平分线的判定

解题的关键：٭掌握尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理、三角形面积公式、角平分线的判定定理٭灵活运用所学知识点方法指导

OE

D

∟∟

命题点一与三角形有关的线►题型10角平分线的判定1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为

．135°

命题点一与三角形有关的线►题型11利用垂直平分线的性质求解已知垂直平分线，立马得到以下三个结论:1）垂直；2）平分；3）连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等.方法技巧解题的关键：٭掌握线段垂直平分线的性质٭方法指导【例1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC+BC=（

）A．25 cm B．45 cm

C．50 cm D．55 cmC解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm命题点一与三角形有关的线►题型11利用垂直平分线的性质求解

命题点一与三角形有关的线►题型12垂直平分线线的判定1）根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分；2）可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.方法技巧命题点一与三角形有关的线►题型12垂直平分线线的判定【例1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直径AD交BC于点E，若DE:AD=1:4，则BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4解题的关键：٭掌握线段垂直平分线的性质٭掌握圆的半径特征方法指导A

命题点一与三角形有关的线►题型12垂直平分线线的判定1.（2024·河北·模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD，AB≤BC．用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列做法正确的是（）B．D．A．C．解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，D2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，则BC的长为（

）A．45 B．35 C．53 D．33A

【解析】

命题点一与三角形有关的线►题型13根据作图痕迹求解

其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解题的关键：٭掌握复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质٭读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题方法指导命题点一与三角形有关的线►题型13根据作图痕迹求解

其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D

命题点一与三角形有关的线►题型13根据作图痕迹求解1.（2023·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（

）

A．∠CAD=∠BAD

B．CD=DE

C．AD=53 D．CD:BD=3:5C

命题点一与三角形有关的线►题型14利用三角形三边关系求解若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形方法技巧

方法指导

C

命题点一与三角形有关的线►题型14利用三角形三边关系求解1．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．92．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．83．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4BBB

04题型精研·考向洞悉利用三角形内角和定理求解题型01与三角形有关的角命题点二三角形内角和与平行线的综合应用题型02三角形内角和与角平分线的综合应用题型03与角度有关的折叠问题题型04利用三角形内角和定理解决三角板问题题型05利用三角形外角和定理求解题型06三角形外角性质与平行线的综合应用题型07三角形内角和定理与外角和定理的综合题型08命题点二与三角形有关的角►题型01利用三角形内角和定理求解1）三角形的内角和为180°；2）直角三角形中两锐角和为90°；3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.方法技巧解题的关键：٭掌握三角形的内角和定理和全等三角形的性质٭结合图形，找出各角之间的关系方法指导【例1】(1)（2024·四川成都·中考真题）如图，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为

．100°解：由△ABC≌△CDE，∠D=35°，∴∠CED=∠ACB=45°，∵∠D=35°，∴∠DCE=180°-∠D-∠CED=180°-35°-45°=100°，(2)（2023·新疆·中考真题）如图，在△ABC中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，则∠C=

°．52解：∵AB=AC，AD=BD，∴∠B=∠C,∠B=∠BAD，∴∠B=∠C=∠BAD，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=180°，即3∠C+24°=180°，解得：∠C=52°，命题点二与三角形有关的角►题型01利用三角形内角和定理求解1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF=

．

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°

B由题意得∠3=∠1=50°，∠5=90°，∠2=∠4，∴∠2=∠4=180°-90°-∠3=90°-50°=40°，命题点二与三角形有关的角►题型02三角形内角和与平行线的综合应用【例1】（2024·山东·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=

．

解题的关键：٭掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理٭熟练运用等边对等角方法指导40°

1．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC,∠ABC=70°，则∠EDC等于（

）A．10° B．20° C．30° D．40°2．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（

）A．127° B．106°

C．76° D．74°BD

命题点二与三角形有关的角►题型03三角形内角和与角平分线的综合应用【例1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是

．100°

解题的关键：٭掌握三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义٭方法指导【例2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF交于点F．若将△ABC沿DE翻折，使得点A与点F重合，则（

）

命题点二与三角形有关的角►题型03三角形内角和与角平分线的综合应用D

解题的关键：٭掌握角平分线的定义，三角形内角和定理٭方法指导

命题点二与三角形有关的角►题型03三角形内角和与角平分线的综合应用1.（2023·陕西西安·二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（

）A．5° B．8° C．10° D．12°C

2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．现分别作出BC边上的高AD和∠A的平分线AE．则∠DAE的度数为（

）

A．25° B．30° C．35° D．40°C

∟DE

命题点二与三角形有关的角►题型04与角度有关的折叠问题【例1】（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为

度．45

解题的关键：٭熟练运用折叠的性质，正多边形的内角和的应用٭方法指导

命题点二与三角形有关的角►题型04与角度有关的折叠问题1.（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,∠B=20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B‘处，当B’D⊥BC时，∠BAD的度数为

．25°或115°

命题点二与三角形有关的角►题型04与角度有关的折叠问题2．（2020·湖南邵阳·中考真题）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（

）A．135° B．120° C．112.5° D．115°C

命题点二与三角形有关的角►题型05利用三角形内角和定理解决三角板问题【例1】(1)（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（

）

A．45° B．60° C．75° D．105°C

解题的关键：٭熟练运用三角形内角和定理、平行线的性质٭方法指导

∵AB∥EF，∴∠AGF=∠F=45°，∵∠A=60°，∴∠1=180°-∠A-∠AGF=180°-60°-45°=75°．(2)（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的度数为（

）A．100° B．105° C．110° D．120°B

命题点二与三角形有关的角►题型05利用三角形内角和定理解决三角板问题1．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为

．140°CDBEAF

2．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND=

°．105

命题点二与三角形有关的角►题型06利用三角形外角和定理求解

解题的关键：٭熟练运用三角形的外角定理，等式性质٭方法指导解：如图：

命题点二与三角形有关的角►题型06利用三角形外角和定理求解1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°B2．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F，若∠CFB=α，则∠A