2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系教师用书新人教B版必修第一册

PAGE1-2．1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点学习目标核心素养一元二次方程根的推断理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系，并会应用数学运算一元二次方程根与系数的关系会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算问题导学预习教材P47－P50的内容，思索以下问题：1．如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解的状况？2．一元二次方程的根与系数有什么关系？1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．(1)当Δ>0时，方程的解集为{eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；(3)当Δ<0时，方程的解集为∅．2．一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)．■名师点拨应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：①(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；②eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)；③|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2).推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac>0.()(2)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．()答案：(1)√(2)√下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0答案：D若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，则k的取值范围是________．解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.答案：(－∞，4]已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝________.解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－2.答案：－2方程根个数的推断及应用已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，依据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【解】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<eq\f(1,3).(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝eq\f(1,3).(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤eq\f(1,3).(4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>eq\f(1,3).eq\a\vs4\al()对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)；(3)当Δ<0时，方程没有实数根．1．不解方程，推断下列方程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，所以原方程没有实数根．2．已知方程x2＋kx＋1＝0(k>0)有实数根，求函数y＝k2＋2k－1的取值范围．解：Δ＝b2－4ac＝k2－4≥0，k≥2(因为k>0)，y＝k2＋2k－1，k∈[2，＋∞)，因为对称轴k＝－1，又因为a＝1>0，所以当k∈[2，＋∞)时且k越来越大时y也越来越大，所以当k＝2时，ymin＝4＋4－1＝7，所以y≥7.注：k∈[2，＋∞)就是k可取得大于等于2的一切实数．干脆应用根与系数的关系进行计算若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.【解】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2007)＝eq\f(2,2007).(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.(4)|x1－x2|＝eq\r(（x1－x2）2)＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(4＋4×2007)＝eq\r(8032)＝4eq\r(502).eq\a\vs4\al()在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先依据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．1．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)的值．解：由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，所以eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),x1x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq\f(（－6）2－2×3,3)＝10.2．设a，b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，求a2＋2a＋b的值．解：由题知，Δ>0，a＋b＝－1，a2＋a－2019＝0，所以a2＋2a＋b＝(a2＋a)＋(a＋b)＝2019－1＝2018.应用根与系数的关系求字母系数的值或范围已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋eq\f(1,4)k2＋1＝0，依据下列条件，求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满意|x1|＝x2.【解】Δ＝[－(k＋1)]2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)k2＋1))＝2k－3，Δ≥0，k≥eq\f(3,2).(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝eq\f(1,4)k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝eq\f(3,2).方程为x2－eq\f(5,2)x＋eq\f(25,16)＝0，x1＝x2＝eq\f(5,4)>0满意．②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程为x2＋eq\f(5,4)＝0，而方程无解，所以k≠－1，所以k＝eq\f(3,2).eq\a\vs4\al()利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必留意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.1．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x1，x2满意xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，求k的值．解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．所以Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤eq\f(5,8).(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.因为xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝11，所以2k2－6k＋3＝11，解得k＝4或k＝－1，因为k≤eq\f(5,8)，所以k＝－1.2．已知关于x的方程x2－tx＋2－t＝0，依据下列条件，求出实数t的取值范围．(1)两个根都大于1；(2)一个根大于1，另一个根小于1.解：设方程的两个根为x1，x2，(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1>1,x2>1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,（x1－1）＋（x2－1）＞0,（x1－1）（x2－1）＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋4t－8≥0,t＞2,t＜\f(3,2)))无解．所以不存在实数t，使得方程的两个根都大于1.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,x1>1,x2<1))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0,（x1－1）（x2－1）<0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋4t－8>0,t>\f(3,2)))，t>eq\f(3,2).1．方程x2－2eq\r(3)kx＋3k2＝0的根的状况是()A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根解析：选C.Δ＝(－2eq\r(3)k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.2．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．m<eq\f(1,4) B．m>－eq\f(1,4)C．m<eq\f(1,4)且m≠0 D．m＞－eq\f(1,4)且m≠0解析：选D.Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－eq\f(1,4).当m＝0时，方程x＝0不符合题意．3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满意x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为()A．4 B．－4C．3 D．－3解析：选A.由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.4．已知方程x2＋tx＋1＝0，依据下列条件，分别求出t的取值范围．(1)两个根都大于0；(2)两个根都小于0；(3)一个根大于0，另一个根小于0.解：设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2.(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＞0,x2＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＋x2＞0,x1x2＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－4≥0,－t＞0,1＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≥2或t≤－2,t＜0,t∈R))⇒t≤－2.所以t的取值范围为(－∞，－2]．(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＜0,x2＜0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＋x2＜0,x1x2＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－4≥0,－t＜0,1＞0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≥2或t≤－2,t＞0,t∈R))⇒t≥2.所以t的取值范围为[2，＋∞)．(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,x1＞0,x2＜0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,x1x2＜0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2－4＞0,1＜0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＞2或t＜－2,无解)).所以无解，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0.所以t的取值范围为∅.[A基础达标]1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为()A．5 B．－1C．2 D．－5解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为()A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则eq\f(β,α)＋eq\f(α,β)的值是()A.eq\f(4,27) B．－eq\f(4,27)C．－eq\f(58,27) D.eq\f(58,27)解析：选C.由题知α＋β＝－eq\f(2,3)，αβ＝－3，所以eq\f(β,α)＋eq\f(α,β)＝eq\f(（α＋β）2－2αβ,αβ)＝－eq\f(58,27).4．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋eq\f(m,4)＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝4m，则m的值是()A．2 B．－1C．2或－1 D．不存在解析：选A.由题知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝（m＋2）2－4m·\f(m,4)>0，))解得m>－1且m≠0.因为x1＋x2＝eq\f(m＋2,m)，x1x2＝eq\f(1,4)，所以eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(\f(m＋2,m),\f(1,4))＝4m，所以m＝2或－1.因为m>－1，所以m＝2.5．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋2eq\r(2)(b－a)x＋2(a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不等边三角形解析：选A.依据题意，得c－b≠0，Δ＝[2eq\r(2)(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，所以这个三角形为等腰三角形．6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝10，则a＝________.解析：由题知x1＋x2＝5，x1x2＝a.因为xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，所以a＝eq\f(21,4).答案：eq\f(21,4)7．设α，β是方程(x＋1)(x－4)＝－5的两个实数根，则eq\f(β3,α)＋eq\f(α3,β)＝________.解析：由题意，得α＋β＝3，αβ＝1，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47，所以eq\f(β3,α)＋eq\f(α3,β)＝eq\f(α4＋β4,αβ)＝47.答案：478．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则eq\f(1,2x1＋1)＋eq\f(1,2x2＋1)的值是________．解析：由题知x1＋x2＝2，x1x2＝－1，xeq\o\al(2,1)＝2x1＋1，xeq\o\al(2,2)＝2x2＋1，故原式＝eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2))＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),（x1x2）2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(22－2×（－1）,（－1）2)＝6.答案：69．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)xeq\o\al(2,1)x2＋x1xeq\o\al(2,2)；(2)(x1－x2)2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x1)))；(4)eq\f(1,xeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,xeq\o\al(2,2)).解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝3,x1x2＝\f(3,2)))，(1)原式＝x1x2(x1＋x2)＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)；(2)原式＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－4×eq\f(3,2)＝3；(3)原式＝x1x2＋eq\f(1,x1x2)＋2＝eq\f(3,2)＋eq\f(2,3)＋2＝eq\f(25,6)；(4)原式＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,（x1x2）2)＝eq\f(9－3,\f(9,4))＝eq\f(8,3).10．已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实根互为相反数？假如存在，求出k的值；假如不存在，请说明理由．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－1≠0,Δ＝（2k－3）2－4（k－1）（k＋1）>0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠1,k<\f(13,12)))，所以k<eq\f(13,12)且k≠1.(2)若x1＋x2＝0，即－eq\f(2k－3,k－1)＝0，k＝eq\f(3,2)，由(1)可知这样的k不存在．[B实力提升]11．已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0，且mn≠1，则eq\f(mn＋n＋1,n)的值为________．解析：由题知n≠0，则1＋eq\f(2,n)－eq\f(1,n2)＝0，即eq\f(1,n2)－eq\f(2,n)－1＝0.又m2－2m－1＝0，且mn≠1，即m≠eq\f(1,n)，故m，eq\f(1,n)是方程x2－2x－1＝0的两个根，则m＋eq\f(1,n)＝2.故eq\f(mn＋n＋1,n)＝m＋1＋eq\f(1,n)＝2＋1＝3.答案：312．已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．解析：设x1，x2为方程的两个根，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(k＋1,2),x1x2＝\f(k＋3,2)))，|x1－x2|＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))eq\s\up12(2)－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.检验当k＝9或k＝－3时，Δ＞0成立．答案：－3或913．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为x1，x2且满意eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－eq\f(1,2)，求m的值．解：(1)证明：Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋5>0，所以方程总有两个不相等的实数根．(2)因为x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(－（4m＋1）,2m－1)＝－eq\f(1,2)，所以m＝－eq\f(1,2).14．若x1，x2是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个实数根，且x1，x2都大于1.(1)求实数k的取值范围；(2)若eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，求k的值．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,x1＞1,x2＞1))⇒eq\b\lc\