河南省信阳市2024-2025学年高三第二次教学质量检测数学试题【含答案解析】

★2025年1月20日2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求即可.【详解】由对数函数的性质可得：不等式成立，需要满足，解得，即，且，则，故选：C.2.已知为虚数单位，若，则（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.【详解】因为，所以，.故选：B.3.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】在向量上的投影向量为..故选：A4.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D5.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.【详解】随机变量服从正态分布，且,所以，，所以，故选:D.6.函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】化简原函数解析式并求出平移后的函数解析式，由条件等式结合正弦函数性质求出的范围，由此可得结论.【详解】函数图象向左平移个单位长度后，得的图象，由已知得，所以，所以，所以，，所以，，因为，所以的最小值为3，故选：C.7.已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数有最小值可得出函数的单调性，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得.当时，，，此时函数无最小值；当时，即当时，函数在区间上为减函数，①若函数在上为增函数，则，且有，即，解得，此时；②若函数在上为减函数，则，且，所以，，即，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错.8.已知O为坐标原点，双曲线C:左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.【详解】设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以MO是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.所以，，双曲线C渐近线方程为，设，T到两渐近线的距离之和为S，则，由，即，又T在上，则，即，解得，，由，故，即距离之和为.故选：A.【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A.众数为12 B.平均数为14 C.中位数为14.5 D.第85百分位数为16【答案】BC【解析】【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.【详解】成绩从小到大排列为：.A：出现次数最多的数为，故A错误；B：平均数，故B正确；C：中位数为：，故C正确；D：第85百分位数第，即第位，为，故D错误；故选：BC.10.已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（）A.B.若以线段AB为直径的圆过点F，则C.若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则D.若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切【答案】ABC【解析】【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则解出，再用弦长公式可得弦长可判断C；由，可得无解可判断D.【详解】设，直线的方程为，，的中点为，由消去并整理得：，得，由题意，，所以，即，所以，则，故A正确；以线段为直径的圆过点，所以，所以，又，所以，，解得满足题意.由，得，所以B正确；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则，又，所以，解得：，所以，故C正确；若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即，又，所以无解，所以D错误.故选：ABC.11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（）A.B.关于点对称C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.【详解】假设，则，则，与都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，故A错误；因为为偶函数，所以，即，令，则，所以关于点对称，故B正确；因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，即，因为，所以，所以，则，故，所以，所以，又，，所以，所以无法确定的值，所以C错误；又，，所以，由，得，则，所以，由知函数周期为4，则的周期也为4，则，所以D正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：对称性有关结论：若，则关于直线对称；若，则关于直线对称；若，则关于点中心对称；若，则关于点中心对称；周期性结论：若，则函数的周期为.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为______________.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解.【详解】因为的展开通项公式为，的展开通项公式为，所以取，得的系数为.故答案为：.13.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.【详解】设，则，设切点为，则，则切线方程为，整理可得，所以，解得，所以，所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.14.某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月.【答案】7【解析】【分析】根据给定条件，将每月产量及合格率依次排列分别构成等比数列和等差数列，再求出不合格品数，并借助单调性求解最大问题.【详解】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长，该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，则，，，则从今年1月份起，各月不合格产品数量为（万个），，当时，，即，此时数列单调递增，当且时，，即，此时数列单调递减，即，则当时，最大，所以该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7月份.故答案为：7【点睛】关键点点睛：求出各月的不合格品数构成数列的通项是求解问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.（1）求角A；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用向量数量积求得的值，再依据角A的范围即可求得角A的值；（2）先利用正弦定理和三角函数诱导公式将转化为关于角B的三角函数式，再利用正弦函数的图像性质即可求得的取值范围.【小问1详解】∵，∴.∵，∴，又∵，∴.【小问2详解】∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范围为.16.设是等差数列，是等比数列.已知，，.（1）求和的通项公式；（2）数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和.【答案】（1）（2）3266【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据等差数列、等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解；（2）推出数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，结合分组求和法计算即可求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则，即，解得，所以.【小问2详解】当数列的前50项中含有数列的前5项时，令，得，则第26项为64，当数列的前50项中含有数列的前6项时，令，得，则第48项为128；所以数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，故数列的前50项和为.17.2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：游园方式游园结果观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）0.4【解析】【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；（2）根据题意结合全概率公式运算求解.【小问1详解】由题意知：所有可能取值为，则有：，，，可知的分布列为：012所以的数学期望为：.【小问2详解】记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，由题意可知：，，由全概率公式可得，所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.18.已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：（为自然对数的底数）.【答案】（1）（2）（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）由求得，验证后确定的值.（2）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值不小于求得的取值范围.（3）将要证明的不等式转化为证明，结合（2）的结论来证得不等式成立.【小问1详解】，定义域为，，因为是的一个极值点，所以.此时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，所以.【小问2详解】因为在上恒成立，所以.当时，在上恒成立，在上单调递增，所以成立，符合题意.当时，令，得，令，得，所以上单调递减，在上单调递增，当时，，这与矛盾.综上所述，的取值范围是.【小问3详解】要证明，即证明，即证明，由（2）得时，在上单调递增，所以，从而原不等式成立.【点睛】求解函数在区间上的最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求得最值.19.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）①证明见解析；②存在