《卫星通信与卫星网络》课件-第6章

第6章卫星链路差错控制6.1差错控制编码理论6.2线性分组码6.3循环码6.4卷积码6.5级联码与交织6.6

Turbo码6.7低密度奇偶校验码6.8本章小结

6.1差错控制编码理论

6.1.1差错控制方式差错控制常用的方式有三种:自动重传(ARQ,AutomaticRepeatreQuest)、前向纠错(FEC,ForwardErrorCorrection)以及混合纠错(HEC,HybridErrorCorrection)。

FEC方式中,发送端经信道编码后可以发出具有纠错能力的码字,接收端检测到码字出现误码时,按一定的算法,自动确定发生误码的位置,并自动纠正。此方式单向传输,实时性好,并且可进行点到多点的广播式通信。但译码设备复杂,所选择的纠错码必须与信道的干扰特性密切配合,而且,如果希望纠正较多错误,则要求附加的校验码元较多,从而降低了传输效率。即便如此,对于实时性要求高的语音通信系统而言,几乎都使用FEC方式。

HEC方式是ARQ和FEC的结合。在这种系统中,发送端发送的码不仅能够发现错误,而且还具有一定的纠错能力。接收端在接收到信号后,检查出错情况,如果在纠错能力之内,则自动纠正,否则通过反馈信道要求重发。HEC方式在实时性和译码复杂性方面是FEC与ARQ方式的折中,较适合于环路延迟大的高速数据传输系统。

差错根据性质的不同分为随机差错和突发差错。随机差错是由起伏噪声引起的,它均匀地分布在不同的时间间隔上。随机差错的特点是错误码元之间相互独立,不会引起成片的码元错误。突发差错是由脉冲噪声引起的,集中在一个很短的时间段内成片出现。突发差错中各错误码元之间存在相关性,一个码元出错,后面几个码元都可能出错。

6.1.2信道容量

1948年,香农在《通信数学理论》一文中,首次提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中,如果信息源的信息速率Rb不大于信道容量C,则存在一种编译码方式,只要码长度n足够大,就可以使信道输出端的误码率任意小,而信息速率无限接近C。香农公式如下:

假设接收功率为P,比特周期Tb=1/Rb,则每比特能量Eb为

在卫星通信系统中,噪声功率通常用单边噪声功率谱密度N0与带宽B的乘积表示,则式(6-1)可以写为

式中,Rb/B是比特速率与信道带宽的比值,表征的是通信链路的频谱效率。Rb/B

的比值越高,说明系统的有效性就越高。图6-1为Rb/B

相对于Eb/N0的关系曲线。

图6-1Rb/B与Eb/N0的关系曲线

由此可见,一个适当的编码方式不仅能帮我们实现在低载噪比情况下提高通信系统的链路性能,同时又使我们在低载噪比附近不用过度增大带宽而进一步接近香农容量。在香

农极限的证明中引用了3个条件:随机编码方式,码字长度趋于无穷大,采用最大似然译码。但是香农并没有给出具体的编码方案,所以从20世纪50年代开始,编码学者们把精力都集中在编码方案的研究上。经过半个多世纪的发展,在香农定理的指导下,差错控制编码技术不断进步,不断涌现出性能更接近香农限的编码方法。比如,Turbo码达到了与香农限仅相差0.7dB的优异性能,而LDPC码的重新发现被证明了与Turbo码具有同样优异的性能,非正则LDPC码性能甚至可以距离香农限0.0045dB,这是目前已知的距离香农限最近的纠错码。

6.2线性分组码

线性分组码是将信息序列按照每组k比特进行分组,通过预定的线性运算将长为k比特的信息码组变换成长为n比特的码字,其余n-k个比特是校验比特,这种码称为(n,k)分组码。在二进制情况下,共有2k

个不同的信息码组,相应地可以得到2k

个不同的码字,这些可用码字称为许用码字。其余2n-2k个未被选用的码字称为禁用码字。

线性分组码的应用最为广泛,而各种线性分组码的性能也都不相同,可以根据码重、码距和最小码距来进行定义。任意码字中非零码元的位数称为该码字的重量,即码重。码

距是两个码字中对应码位上具有不同二进制码元的位数,也称为汉明距离。最小汉明距离就是最小码距,整个码中各对码字间距离的最小值以dmin表示。一种编码的最小码距直接关系着其检错和纠错能力,它们之间的关系如下:

若要求检测e个错码,则要求dmin≥e+1;

若要求纠正t个错码,则要求dmin≥2t+1;

若要求纠正t个错码,同时又检测e个错码,则要求dmin≥e+t+1(e≥t)。

矩阵是表达线性分组码特征的最佳形式,可以将k比特的信息码组用矩阵D表示,长度为n比特的码字用矩阵C表示,则C可以写为

式中,G是一个由数据比特生成校验比特的k×n阶生成矩阵。

奇偶校验码是一种检错码,它有奇校验码和偶校验码两种,两者的原理相同。在偶校验中,无论信息为多少,校验位只有1位,它使码字中逻辑1的数目为偶数,即满足:

式中,cn为监督位,其他位为信息位,这种编码能够检测奇数个错码。

汉明码要实现纠正一位错误的功能,其最小码距为3,因此至少要有3位校验码。每个校验码需与组合码字中的某几位信息码满足规定的奇偶校验关系。如果所有的奇偶检查结

果均正确,则认为信息无错误。如果发现有一个或多个错了,则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。

6.3循环码

循环码是线性分组码的一种,其前k位为信息位,后n-k位为监督位。它除了具有线性分组码的一般性质外,还具有循环性。所谓循环性,就是任一许用码字经过循环移位后所得到的码组仍为它的一许用码字。将码元从最右端移至左端,或反之,都可用移位寄存器实现。

在代数编码理论中,为了便于计算,可以把循环码字中各码元当作一个多项式的系数,对于(n,k)循环码,码字多项式可表示为

式中,x没有任何意义,仅用其幂次对应元素的位置,它的系数即为元素的取值。

在循环码的所有码字多项式中,如果都是多项式g(x)的倍式,那么g(x)就称为该码的生成多项式。g(x)是xn+1的因式,并且是常数项为1的n-k次多项式。将g(x)经过k-1次循环移位,得到k个相互独立的码多项式,那么循环码的生成矩阵G(x)可以表示为

6.3.1BCH码

BCH码是一类可以纠正多个随机差错的循环码,它是迄今为止发现的最好的线性分组码之一。BCH码的出现为通信系统设计者们在纠错能力、码长和码率的灵活设计上提供

了很大的选择余地,且构造简便,加上此码在译码同步等方面有许多独特优点,因而在卫星传输设备中得到了广泛使用。

BCH码分为本原BCH码与非本原BCH码。二进制本原BCH码的特点是其码长n为2m-1,要求m为正整数,其生成多项式g(x)由若干最高次数为m的因式相乘构成,表现形式如下:

式中,t为纠错个数,mi(x)为最小多项式,LCM表示最小公倍式。

汉明码其实也具有循环码特性,是可纠单个随机差错的本原BCH码。著名的格雷码就属于非本原BCH码。汉明码与格雷码都是完备码的实例,在完备码中一定数目的错误

的所有可能形式都能得到纠正。格雷码是最小码距为7、能纠正3个错误的(23,12)码。格雷码的一种扩展形式是增加一位奇偶校验比特来构成最小码距为8的(24,12)码,这种码可以检测出所有形式的7比特错误并且纠正所有3比特错误,同时它还具有半速率编码的优点,即消息比特与码比特2∶1的比率简化了输入与输出数据流之间的时钟同步。

6.3.2RS码

RS码是Reed和Solomon二位研究者发明的一种非二进制BCH码。它有很强的纠错能力,可以很好地应对突发差错。RS编码不直接在比特级实现,而是先用比特形成符号,在这些符号的基础上再对数据码组和码字进行编码。如果一个符号出错,则会影响一组比特,利用RS码能对这样的差错符号进行纠错。

RS码的分组形式和编码规则均与分组码相同。假设一个数据码组中符号数为K,码字符号数为N,那么N-K个冗余符号是由信息符号派生的,该码字被记为(N,K)。在所有可能出现的2N个码字中,只有2K个码字包含数据码组并被发送。在(N,K)RS码中,若每个符号包含m比特,则所有可能出现的符号数有2m个,码字符号数N=2m-1。如果要纠正t个错误,则校验符号数N-K=2t。

实际使用中,由于RS码对于随机差错不能进行有效纠错,因此必须与其他编码进行联合,一个进行随机纠错,另一个进行突发纠错。

6.4卷积码

卷积码的特点是编码结构简单,易于实现,同时具有较强的抗误码性能。对于低载噪比接收机,卷积码在卫星链路上比分组码能提供更好的纠错性能,并且译码结构也更简单。因此,卷积码在采用前向纠错的FEC的卫星通信系统中得到了广泛应用。

卷积码是一种线性码,主要用来纠正随机差错,对于突发差错也具有一定的纠正能力。卷积码通常以(n,k,K)来描述,将k比特信息输入移位寄存器,然后产生n比特编码,K为约束长度,即移位寄存器的级数。k和n的取值通常很小,特别适合以串行形式进行传输,时延小。与分组码不同的是,卷积码编码后的n比特码元不仅与当前段的k比特信息有关,还与前面的K-1段信息有关,编码过程中互相关联的码元个数为nK。同样,在译码时不仅可以从当前的接收码元中提取信息,还可以利用以后若干时刻收到码字中的信息。卷积码的纠错性能会随K的增加而增大,而差错率随K的增加呈指数下降。

卷积码的编码速率通常用k/n表示,如(2,1,3)码的编码率为1/2,即半速率编码,这种编码率被广泛采用。图6-2所示为(2,1,3)卷积码编码器,编码器由3级移位寄存器和两个模二加法器组成。卷积码的直观表示方式有树形图、状态转移图和网格图,其中树形图能形象地描述卷积码编码中数据序列在移位寄存器中移动的过程。图6-3是(2,1,3)卷积码编码器的树形图。

图6-2(2,1,3)卷积码编码器

图6-3(2,1,3)卷积码编码器的树形图

卷积码的译码器会记住编码器的状态转移并重建数据比特流。例如,树形图中黑色粗线所描绘的是状态转移顺序,译码器进行与编码器相反的过程。若传输错误,则会由于它们对应于一个不可能被传送的转移序列而被检测出来。当检测出一个错误时,译码器开始构造并记住编码器可能传送的所有可能的路径,从中挑选出最大可能的路径并输出该路径的输入比特序列,存储的其他路径则被丢弃。

译码的过程相比编码更为复杂。从图6-3中可以看出,当信息比特流长度很大时,译码速度比较缓慢。维特比算法正是基于解决上述问题而引入的一种最大似然译码算法,这种算法不是一次性比较、计算所有可能的路径,而是在接收一段后,对这段进行计算、比较,选择一段最有可能的码段,从而使整个码序列为一个有最大似然函数的序列。

6.5级联码与交织

通常在采用级联码时,都会将交织器放置在差错控制编码的两级中间,在交织器之前的为外码,在交织器之后的为内码。交织的思想在于改变编码的比特顺序,将原本集中在一个编码码字的突发差错分散到很多码字中。图6-4为交织原理示意图。

图6-4交织原理示意图

交织不仅适用于分组码,同样也适用于卷积码,因此交织器分为分组交织与卷积交织两种。分组交织器的工作过程类似于图6-4,这种方式容易将某些周期性的干扰变成突发错误,因此,一些通信系统中采用了分组交织的变体,即随机交织。在随机交织中,编码序列输入交织器的顺序是由某种伪随机序列的值或者由计算机搜索产生的。卷积交织器无需将编码序列分组,是一种连续工作的交织器,它改善了分组交织延时大以及容易将周期性干扰交织为突发错误的问题。

典型的级联和交织的应用是“卷积+RS”级联码。通过研究表明,在高斯白噪声信道中,外码采用(255,233)RS码,内码采用(2,1,7)卷积码并用维特比译码,大约有7dB以上的编码增益,所以特别适合于卫星通信和宇航通信中。

6.6-Turbo码

图6-5所示为Turbo码编码器结构。

图6-5Turbo码编码器结构

Turbo码的译码器是由两个软输入软输出(SISO,SoftInputSoftOutput)译码器DEC1与DEC2串行级联组成的。图6-6为Turbo码译码器的结构。

图6-6-Turbo码译码器结构

6.7低密度奇偶校验码LDPC码本质上是一种线性分组码,因此,也可以用校验矩阵H和生成矩阵G来描述。奇偶校验矩阵H是一个稀疏矩阵,相对于行与列的长度,校验矩阵每行、每列中非0元素的数目非常小,所以LDPC码也称为低密度码。LDPC码分为正则LDPC码和非正则LDPC码。正则LDPC码中每一行和每一列的非0元素的个数相同,通常用(n,j,i)来表示。其中n为LDPC码的码长;i为每一行非0元素的个数,即行重,表示校验节点的度数;j为每一列非0元素的个数,即列重,表示信息节点的度数。图6-7所示为(8,2,4)正则LDPC码的校验矩阵。

图6-7(8,2,4)正则LDPC码的校验矩阵

图6-8所示为(8,2,4)LDPC码校验矩阵的Tanner图示。图中的圆圈代表信息节点,方形代表校验节点。当H矩阵中出现非0元素时,Tanner图中就会有连接信息节点与相应校验节点的线,这些线称为边,信息通过边来进行传送。由信息节点、校验节点和边首尾相连形成的闭合环路,称为环,如图6-8中黑线连接的环的长度为4。环的长度分布对编码性能有着重要的影响,最小环的长度越大,码的性能就越好。

图6-8(8,2,4)LDPC码校验矩阵的Tanner图示

构造LDPC码的方法主要有两大类:伪随机构造方法和准循环构造方法。伪随机构造方法主要考虑的是码的性能,但由于生成矩阵和校验矩阵的规律性较差,因此编码和译码

实现复杂度高,在工程中难以应用。准循环构造方法通常考虑的是降低编译码的复杂度,在码长比较短的时候更有优势。

理论上,非正则LDPC码的极限性能比香农极限仅高出0.0045dB,是目前性能最优的一种信道编码方式。它可以在不太高的译码复杂度下达到与Turbo码接近的性能,同时也不会存在Tu