人教新版八年级下学期《18.2特殊的平行四边形》同步练习卷

人教新版八年级下学期《18.2特殊的平行四边形》

同步练习卷

一.选择题（共4小题）

1.如图，等边△ABC与正方形。重叠，其中。、E两点分别在AB、8c上，且

BE.若AB=6,DE=2,则的面积为（）

3.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=6历，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称

点为），过夕作"FLOC于凡连接08',若△。夕尸为等腰直角三角形，则

C.3A/2D.6"\/2-6

4.已知：如图，在正方形ABC。外取一点E,连接4E,BE,DE,过点4作AE的垂线交

QE于点P.若AE=AP=1,28=依.下列结论：①△APD丝ZkAEB；②点8到直线

AE的距离为YE；③E8J_E£）；④SAAPD+S/\APB=1+Jm其中正确结论的序号是（）

2

B.①②④C.②③④D.①③④

二.填空题（共12小题）

5.如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点.例如，如图

的四边形A8C。中，点M在C。边上，连结AM、BM,NAMB=90°,则点M为直角

点.若点E、F分别为矩形A8C。边AB、CO上的直角点，且AB=5,BC=通，则线段

EF的长为.

6.如图，在正方形A3CD中，AB=3,点E,尸分别在CD,AD±,CE=DF,BE,CF相

交于点G,连接。G.点E从点C运动到点。的过程中，OG的最小值为.

7.如图，在矩形4BC。中，NB的平分线8E与AD交于点E,N8ED的平分线E尸与OC

交于点F,当点F是8的中点时，若AB=4,则8C=

8.如图，在正方形A8C。中，AB=V13>AG=CH=3,BG=DH=2,则”、G两点之间

的距离为

9.如图，菱形ABC。和菱形BEFG的边长分别是5和2,乙4=60°,连结。凡则。尸的

长为_______

10.如图，点A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD,已

知点C的坐标是C(0,4),设点A的坐标为A(n,0).

(1)当〃=2时，正方形A8C。的边长AB=

(2)连结O。，当0。=四寸，〃=.

11.如图，正方形ABC。的边长AB=3,点E、尸分别是CB,DC延长线上的点，连A尸交

CB于点G,若BE=L连接AE,且NEAF=45°,则AG长为

12.如图1所示，一张三角形纸片ABC,ZACB=90°,AC=8,BC=6,沿斜边A8的中

线C£)把这张纸片剪成△AG。和△8C2D2两个三角形(如图2所示).将纸片△ACD沿

直线。28(A-8方向)平移(点A,Di，。2,B始终在同一直线上)，当5与点8重合

时，停止平移.在平移的过程中与BC2交于点E,AC\与C25、BC2分别交于点尸、

P.当△AG。和△BGQ,重复部分面积等于原aABC纸片面积的卫，则平移距离

25

为_______

13.在正方形ABC。中，AB=6,连接4C,BD,。是正方形边上或对角线上一点，若PD

=2AP,则AP的长为.

14.如图，在菱形ABC。中，NB=60°,对角线AC平分角/84£>,点尸是aABC内一点，

连接以、PB、PC,若以=6,PB=8,PC=10,则菱形ABC£>的面积等于____.

B匚C

15.如图，正方形A8CQ在平面直角坐标系中,其中A、C两点的坐标为A(2,6),C(-

1,-7),则点B的坐标是______.

16.如图，四边形ABC。是正方形，△CDE是等边三角形，则/AEB=______.

且一________2

一

BC

三.解答题(共34小题)

17.如图，点M是正方形ABC。的边8c上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，Z

CDE的平分线交AM延长线于点F.

(1)如图1,若点E为线段AM的中点，BM：CM=\-.2,BE=S5，求AB的长;

18.如图，菱形ABC。的对角线交于点0,点E是菱形外一点，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形。ECO是矩形；

(2)连接AE交8。于点F,当乙408=30°,Z)E=2时，求4尸的长度.

19.如图，△ABC中，AB=AC,A。是△ABC的角平分线，点。为AB的中点，连接。。

并延长到点E,使OE=OZ),连接AE,BE.

(1)求证：四边形是矩形.

(2)当AABC满足什么条件时，矩形AEBO是正方形，并说明理由.

20.如图，已知菱形4BCD中，对角线AC8力相交于点O,过点C作CE〃B£>,过点。作

DE//AC,CE与。E相交于点E.

(1)求证：四边形CODE是矩形.

(2)若AB=5,AC=6,求四边形CODE的周长.

21.四边形ABCZ)是正方形，E、F分别是OC和C8的延长线上的点，且连接

AEyAF、EF.

(1)求证：ZVIDE丝△ABF；

(2)若BC=12,DE=5,求的面积.

22.如图，在RtZiABC中，NAC8=90°,过点C的直线MN〃/IB,。为AB边上一点,

过点。作OELBC,交直线MN于E,垂足为F,连接CQ、BE.

(1)求证：CE=AD；

(2)当。在A8中点时，四边形8EC。是什么特殊四边形？说明你的理由.

23.菱形ABCD中，点尸为CD上一点，连接5P.

(1)如图1,若8P_LCD,菱形A8CD边长为10,PD=4,连接AP,求AP的长.

(2)如图2,连接对角线4C、B。相交于点O,点N为BP的中点，过尸作PM_L4C于

M,连接ON、MN.试判断△MON的形状，并说明理由.

24.菱形ABCQ中，对角线AC和8。相交于。，已知AC=8,BD=6,求AB边上的高.

25.在四边形A8C。中，对角线AC、3。相交于点O,过点。的两条直线分别交边48、

CD、AD.BC于点、E、F、G、H.

【感知】如图①，若四边形A8C。是正方形，且AG=BE=C”=O凡则S四边形AEOG=

S正方形ABC。；

【拓展】如图②，若四边形A8CO是矩形，且S四边形AEOGULS1矩形ABC。，设48=。，AD

4

—b,BE=m,求AG的长(用含〃、6、〃?的代数式表示)；

【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB=3,AD=5,BE=1,试确定F、

G、H的位置，使直线EF、G”把四边形ABC。的面积四等分.

图①图②图③

26.菱形4BC。中，NABC=60°,点E在AO上，连接8E,点尸、”在BE上，XAFH

为等边三角形.

(1)如图1,若CE_L4。，BE=V63.求菱形A5CD的面积；

(2)如图2,点G在4c上，连接FG,HC,若FG〃AH,HC=2AH,求证：AG=GC.

图1图2

27.如图1,点E为正方形A8CD的边AB上一点，EFLEC,且EF=EC,连接AF.

(1)求NE4尸的度数；

(2)如图2,连接FC交于M,交AD于N.求证：BD=AF+2DM.

BB

C图

图12

28.如图1,四边形A8CD是正方形，点E是边BC的中点，ZA£F=90°,且EF交正方

形ABC。的外角ZDCG的平分线CF于点F.

(1)如图2,取AB的中点H,连接HE,求证：AE=EF.

(2)如图3,若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变结论“AE

=EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由.

29.如图，已知正方形A8C。边长为1,点尸是射线AQ的上的一个动点，点A关于直线

BP的对称点是点Q,设AP=x.

(1)求当D,Q,B三点在同一直线上时对应的x的值.

(2)当△CDQ为等腰三角形时，求x的值.

备用图备用图备用图

30.如图，在矩形ABC。中，AB=Scm,BC=16m,点P从点。出发向点4运动，运动到

点A停止，同时，点。从点8出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、。的速度都

是Ic/n/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、。运动的时间为江

(1)当f为何值时，四边形ABQ尸是矩形；

(2)当f为何值时，四边形4QC尸是菱形；

(3)分别求出(2)中菱形A0CP的周长和面积.

31.阅读下面材料:

如图1,P是NMON的平分线上一点，A、B分别在边0M和ON上，且/AOB+NAPB

=180°,求证R1=PB

小宇通过探究，为同学提供了解题的想法

想法1：在边。8上截取OE,使得。E=OA,可得AAOP丝进而证明△PEB是

等腰三角形，由此可得到％=P8；

想法2：过点P作尸FJLOM,PDA.ON,由角平分线性质可得PF=PD,进而可得布

丝△P8Q,由此可得到线段PA=PB；

(1)请回答：请选择一种方法，证明孙=尸8；

(2)请参考小宇解决问题的方法解决下面问题

如图2,正方形ABC。中，点E在BC延长线上，连接AE,E4平分/BEP,延长C。交

EP于点、F,FNLAE于N,若正方形边长为6,CE=3,求FN的长.

32.如图，菱形A8CD的对角线AC,8。相交于点O,延长AC到E,使CE=CO,连接

EB,ED.

(1)求证：EB=ED；

(2)过点A作AFLAO,交8c于点G,交BE于息F,若NAEB=45°,

①试判断AABF的形状，并加以证明；

②设"=〃?，求EF的长(用含，"的式子表示).

D

E

33.如图，以△ABC的各边为边长，在边8c的同侧分别作正方形A8C/,正方形BCFE,

正方形ACHG,连接4D,DE,EG.

(1)求证：ZiBOE丝△BAC；

(2)①设NB4C=a,请用含a的代数式表示NEDA,ND4G；

②求证：四边形AQEG是平行四边形；

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ACEG是正方形？请说明理由.

34.如图，尸为正方形A8CC边BC上任一点，8G_LAP于点G,在AP的延长线上取点E,

使AG=GE,连接BE、CE,作。MJ_AG于M.

(1)求证：DM=AG-,

(2)若aBCE是等边三角形，连。E,△?!£)后的面积为25,求BG长.

DC

35.在菱形ABCD中，NC=60°,E为C。边上的点，连接8E.

(1)如图1,若E为CD的中点且BE=3,求菱形ABC。的面积.

(2)如图2,点尸在2C边上，且OE=CF,连接OF交BE于点M,连接EB并延长至

点N,使得BN=DM,求证：AN=DM+BM.

DECDE

图1图2

36.如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别A8、BC、CD、D4边上的动点，且AE=

BF=CG=DH.

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形;

(2)在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明

37.如图，矩形ABCQ中，点E是AD的中点，连接EB,EC.

(1)求证：EB=EC；

(2)若/BEC=60°,AE=\,求4B的长.

38.如图，在△ABC中，点。是边AC上一个动点，过点0作直线EF〃8c分别交NAC8、

外角乙48的平分线于点E,F.

(1)若CE=4,CF=3,求OC的长.

(2)连接AE、AF,问当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请

一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这

条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形”

初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边

形”的是.

问题探究：在完美四边形ABCD中，AD^BC,ZB=60°,BD±DC,BC=6,求该完

美四边形的周长与面积.

应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中

三条性质.

40.如图，在矩形ABC。中，AB=4,10,点E在AO边上，已知8、E两点关于直线

/对称，直线/分别交A。、8C边于点M、N,连接B例、NE.

(1)求证：四边形BMEN是菱形；

(2)若DE=2,求NC的长.

41.已知：如图，在正方形ABCO中，点E为边AB的中点，联结。E,点尸在DE上CF

=CD,过点尸作FGLFC交AO于点G.

(1)求证：GF=GD；

(2)联结AF,求证：AF1.DE.

42.如图，已知。A8ED,延长AO到C使4D=Z)C,连接BC,CE,BC交DE于点F,

若AB=BC.

(1)求证：四边形BECD是矩形；

(2)连接AE,若N8AC=60°,AB=4,求AE的长.

43.已知：如图，在△ABC中，。、E分别是AB、BC边上的中点，过点C作C7;^〃AB,交

OE的延长线于尸点，连接C。、BF.

(1)求证：△BCE丝△CFE；

(2)AABC满足什么条件时，四边形8DCF是矩形？

44.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B

作A。的平行线，两线交于点£

(1)求证：四边形AQBE是矩形；

(2)连接DE,交AB与点0,若BC=8,A0=3,求△ABC的面积.

45.如图，在四边形ABCD中，AB=-AD,CB=CD,E是CD上的点，BE交AC于点尸,

连接QF.

(1)求证：ZBAF^ZDAF,NAFD=NCFE；

(2)若AB〃CZ),试证明：四边形ABC。是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使得NEFD=NBCD,并说理由.

46.如图，在正方形4BCD中，点E、F分别为边BC、C。上两点，ZEAF=45°,过点A

作NGA8=N41。，且点G为边CB延长线上一点.

①4GAB丝△项。吗？说明理由.

②若线段。F=4,BE=S,求线段E尸的长度.

③若。F=4,CF=8.求线段EF的长度.

47.如图，已知正方形48CC,P是对角线4c上任意一点，PM1AD,PN1AB,垂足分别

为点M和N,PELPB交AD于点E.

(1)求证：四边形M4VP是正方形;

(2)求证：EM=BN.

48.已知，在正方形ABCZ)中，点E、尸在8。上，HAB=BE=DF.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若正方形的边长为2,求菱形AECF的面积.

49.探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形AMWB和正方形ACQE,

NC、BE交于点P.

求证：ZANC=ZABE.

应用：。是线段BC的中点，若BC=6,则P。的长度是多少？

50.如图，正方形ABC。中，E,尸分别为CZ),D4延长线上的点，CE=AF.

(1)求证：物；

(2)求NBEF的度数.

人教新版八年级下学期《18.2特殊的平行四边形》2019

年同步练习卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共4小题）

1.如图，等边△ABC与正方形。EFG重叠，其中。、E两点分别在AB、BC上，且80=

BE.若4B=6,DE=2,则的面积为（）

2c.2aD.4

【分析】过F作FQYBC于Q,根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE

=2,ZBED=60Q,NDEF=90°,EF=2,求出NFEQ,求出CE和FQ,即可求出答

案.

【解答】解：过F作尸。，BC于Q,则NFQE=90°,

•.,△ABC是等边三角形，AB=6,

：.BC=AB=6,/B=60°,

"：BD=BE,DE=2,

.♦.△BE。是等边三角形，且边长为2,

：.BE=DE=2,/BED=60°,

：.CE=BC-BE=4,

;四边形。EFG是正方形，DE=2,

：.EF=DE=2,NDEF=90°,

.,.ZFEC=180°-60°-90°=30°,

Z.QF=^EF=1,

.,.△£'"'的面积为衣乂,£乂卜13=,又4乂1=2,

故选：B.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和

F。的长度是解此题的关键.

2.匚如图，在矩形O4BC中，点B的坐标是（1,3）,则AC的长是（）

A.3B.2&C.V10D.4

【分析】根据勾股定理求出08,根据矩形的性质得出AC=OB,即可得出答案.

工

【解答】解：1-

连接0B,过8作8M_Lx轴于M,

,点B的坐标是（1,3）,

；.0仞=1,BM=3,由勾股定理得：OB=J：

L2+32=V10>

•.•四边形OABC是矩形，

：.AC^OB,

•'•AC=y/IQ,

故选：C.

【点评】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得

出AC=OB是解此题的关键.

3.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=6近,点E是边BC上一动点，B关于AE的对称

点为夕，过B'作"凡LOC于尸，连接。），若ADB'尸为等腰直角三角形，则

BE的长是（)

D

【分析】如图作8'于H交BC于首先证明四边形OF8'H是正方形,设边

长为x,则A，=6&-x,HB'=x,在RtZXAHB'中，根据A8'2=A，2+”B'2,构建

方程求出x,再利用相似三角形的性质解决问题即可；

【解答】解：如图作8'H_LA£＞于H交BC于M.

■:NB'HD=NHDF=NDFB'=90°,

四边形CF8'”是矩形，

'：FD=FB',

四边形CF8'”是正方形，设边长为x,则AH=6a-x,HB'=x,

在RtZ\A4B‘中，"：AB'2=AH2+HB'2,

.*.62=(65/2-x}2+x2,

解得x=3&,

：.B'M=CF=6-3版,

■:AAHB'S[\B'ME,

•AH=AB

"B7MEB、，

.372=6

♦飞一mEB，，

：.EB'=65/2-6.

：.BE=B'£=65/2-6,

故选：D.

【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用

参数构建方程，属于中考常考题型.

4.已知：如图，在正方形外取一点E,连接AE,BE,DE,过点4作AE的垂线交

DE于点P.若AE=AP=1,PB=匹.下列结论：®/\APD^/\AEB；②点2到直线

AE的距离为返；©EBA.ED-,④S«MPD+SMPB=其中正确结论的序号是()

2

D

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【分析】①利用同角的余角相等，易得再结合已知条件利用SAS可证

两三角形全等；

②过8作BELAE,交AE的延长线于凡利用③中的/BEP=90°,利用勾股定理可求

BE,结合△AEP是等腰直角三角形，可证aBEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可

求BF；

③利用①中的全等，可得结合三角形的外角的性质，易得/BEP=90°,

即可证；

④连接B。，求出的面积，然后减去△BQP的面积即可.

【解答】解：①,.•/E4B+/8AP=90°,NB4£>+NBAP=90°,

：.2EAB=4PAD,

又；AE=AP,AB=AD,

:在△AP。和aAEB中，

'AE=AP

-ZEAB=ZPAD>

AB=AD

A/\APD^/\AEB(SAS)；

故此选项成立；

③,:△APQdAEB,

NAP£>=NAEB,

,?NAEB=NAEP+NBEP,ZAPD=ZAEP+ZPAE,

：.ZBEP^ZPAE=90°,

：.EBLED；

故此选项成立；

②过B作BFLAE,交AE的延长线于F,

'：AE=AP,NE4尸=90°,

；./AEP=NAPE=45°,

又；③中EBJLED,BFLAF,

:.NFEB=NFBE=45°,

又1/BE—^gp2_pg2=y/s，

：.BF=EF=^-,

2

故此选项正确；

④如图，连接8。，在RtZ\4EP中，

"：AE=AP=1,

:.EP=®

又：尸8=代，

:"=近,

'：△"£）空zMEB,

:.PD=BE=M，

S^ABP+S^ADP—S^ABD-SABDP=^~S爪方彩ABCO-—xDPXBE——X（4+5/5）--

2222

xV3=—+—•

22

故此选项不正确.

综上可知其中正确结论的序号是①②③，

【点评】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾

股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.

二.填空题（共12小题）

5.如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点.例如，如图

的四边形A8CD中，点/在CD边上，连结AM、BM,NAM8=90°,则点M为直角

点.若点E、F分别为矩形A8C。边A&CQ上的直角点，且A8=5,则线段

EF的长为_近或近一•

【分析】作F4LAB于点H,利用已知得出△ADFS/YFCB,进而得出处=更，求得

FCBC

构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案.

【解答】解：作F//LAB于点儿连接EF.

VZAFB=90°,

AZAFD+ZBFC=90°,

VZAMD+ZDAM=90<,,

：.ZDAF=ZBFC

又；/£>="

二丛ADFs丛FCB,

即返=5-CF

"FCBe"'FC'V6'

；.FC=2或3.

•.•点凡E分别为矩形ABC。边CO,AB上的直角点，

：.AE=FC,

：.当FC=2时，AE=2,EH=1,

:.EF=FH2+EH2=(%)2+r=7,

：.EF='/j.

当FC=3时，此时点E与点，重合，即EF=BC=灰，

综上，EF=y[j^

故答案为：5/^4A/G-

【点评】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△AOFs^FCB是

解题关键.

6.如图，在正方形ABC。中，48=3,点、E,尸分别在C£»,AO上，CE=DF,BE,C尸相

交于点G,连接QG.点E从点C运动到点。的过程中，QG的最小值为_&而-3一

【分析】首先证明NCGB=90°,推出点G的运动轨迹是以8C为直径的。0,当O,G,

。共线时，OG的值最小；

【解答】解：如图，

•••四边形ABCQ是正方形,

：.BC=CD,ZBCE^ZCDF=9Q°,

:CE=DF,

:ABCE沿ACDF(SAS),

：.ZEBC=ZFCD,

•；NFCD+NBCG=90°,

・・・NCBE+NBCG=90°,

：.ZCGB=90°,

・••点G的运动轨迹是以BC为直径的OO,

当O,G,。共线时，OG的值最小，最小值=荷+(1■产~|~二3夕3,

故答案为3遮-3.

2

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，

解题的关键是确定出DG最小时点G的位置，也是本题的难点.

7.如图，在矩形ABC。中，NB的平分线BE与交于点E,的平分线E尸与DC

交于点F,当点尸是CD的中点时，若AB=4,则BC=，&+2_.

【分析】如图，连接BF,作FH1BE于凡作FM//BE交BC于想办法证明FM=

MB,△FMC是等腰直角三角形即可解决问题；

【解答】解：如图，连接8凡作于H.作五例〃BE交BC于M.

:四边形A8CD是矩形，

：.AB=CD=4,/£>=/C=/ABC=90°,

•.•于是CD中点,

：.DF=FC=2,

平分N8E£),FHLEB,FDVED,

:.FH=FD=FC,

,:BF=BF,

；.RtABFH丝RtABFC,

：.ZFBC=ZFBE,

平分NA8C,

，NABE=45°,

:.NFBC=NFBH=22.5°,

'：FM//BE,

：.ZFMC=ZEBC=45Q,

•?NFMC=NFBM+NMFB,

:.NMFB=NMBF=22.5°,

:.FM=BM,

,：ZFMC=ZCFM=45",CF=2,

:.FM=BM=2近,

：.BC=BM+CM=2+2近.

故答案为2+2我.

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性

质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题，属于中考常考题型.

8.如图，在正方形ABCC中，AB=V13>AG=CH=3,BG=DH=2,则"、G两点之间

的距离为—五

【分析】延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明彩△BCE,可得

GE=BE-BG=1、HE=CH-CE=T、NHEG=90°,由勾股定理可得G”的长.

【解答】解：如图，延长8G交CH于点E,

"：AB=CD=-/l3,BG=DH=2,AG=CH=3,

:.AG2+BG2^AB1,

：./\ABG和△OCH是直角三角形，

在△48G和△（；£>〃中，

'AB=CD

<AG=CH，

.BG=DH

:AABG沿4CDH（.SSS）,

；.Nl=/5,/2=N6,/AGB=NC”£>=90°,

.,.Zl+Z2=90°,/5+/6=90°,

又,.•N2+N3=90°,Z4+Z5=90",

Z1=Z3=Z5,Z2=Z4=Z6,

在△43G和△5CE中，

'N1=N3

<AB=BC，

,Z2=Z4

:.△ABGQ^BCE（4SA）,

：.BE=AG=3,CE=BG=2,NBEC=NAGB=90°,

：.GE=BE-BG=1,

同理可得HE=1,

在Rt/^GHE中，G"={G+HE2=Y]2+]2="sJ"^,

故答案为：

【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理

的综合运用，通过证三角形全等得出△G”E为等腰直角三角形是解题的关键.

9.如图，菱形ABCD和菱形8EFG的边长分别是5和2,乙4=60°,连结。F,则CF的

长为_历_・

c

【分析】延长尸G交AO于点M,过点。作。交AB于点H,交GF的延长线于点

N,由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF,CW的长，在直角三角形DNF

中，再利用勾股定理即可求出。F的长.

【解答】解：

延长FG交AO于点M,过点。作。HL4B交AB于点H,交GF的延长线于点N,

四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，

J.GF//BE,EF//AM,

四边形AMFE是平行四边形，

：.AM=EF=2,MF=AE=AB+BE=5+2=7,

：.DM=AD-AM=5-2=3,

VZA=60°,

：.ZDAH^30Q,

:.MN=LDM=^~,

22_

•3=加2/产竽NF=MF-MN=^,

在RtADNF中，用）={0及2+抵2=V^，

故答案为：国.

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、含30°直角三角形的性质

以及勾股定理的运用，正确作出图形的辅助线是解题的关键.

10.如图，点A是x轴上的一个动点，点C在)，轴上，以AC为对角线画正方形ABCD,已

知点C的坐标是C(0,4),设点A的坐标为A(〃，0).

(1)当〃=2时，正方形ABCZ)的边长A5=_J皿—.

(2)连结0。，当。。忖，〃=2或6.

【分析】（1）在Rt^AOC中，利用勾股定理求出AC的长度，然后再求得正方形的边长

即可；

（2）先求得。。与y轴的夹角为45°,然后依据0。的长，可求得点。的坐标，过点。

作。轴，£W_Lx轴，接下来，再证明△DVA也△£>〃€t,从而可得到CM=AM从

而可得到点A的坐标.

【解答】解：（1）当〃=2时，04=2,

在RtZXCOA中，AC2=CO2+AO2=20.

：ABC。为正方形，

：.AB=CB.

：.AC2^AB2+CB2^7AB2=20,

:.AB=yjIO.

故答案为：VTo-

（2）如图所示：过点。作DWJ_），轴，ON_Lx轴.

•••A8C。为正方形，

；.A、B、C、。四点共圆，ZDAC=45°.

又；NC0A=90°,

...点。也在这个圆上，

：.ZCOD=ZCAD=45°.

又：。。=&,

：.DN=DM=1.

：.D(-1,1).

在和RtZYDMC中，DC=AD,DM=DN,

/.△DNA^ADMC.

:・CM=AN=OC-MO=3.

VD(-1,1),

・・・A(2,0).

・•77=2.

如下图所示：过点。作。ML)，轴，Z)N_Lx轴.

'：ABCD为正方形，

."、B、C、。四点共圆，ZDAC=45°.

又；NCO4=90°,

...点。也在这个圆上，

，NAO£>=/AC£)=45°.

又,：OD=亚,

:.DN=DM=T.

：.D(1,-1).

同理：△OM4丝△OMC,则AN=CM=5.

：.OA=ON+AN=1+5=6.

(6,0).

・・7?=6.

综上所述，〃的值为2或6.

故答案为：2或6.

【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质、四点共圆，证得。。与

两坐标轴的夹角为45°是解题的关键.

11.如图，正方形ABCD的边长A8=3,点E、F分别是CB,0c延长线上的点，连AF交

CB于点G,若BE=1,连接AE,且NE4F=45°,则AG长为_盟".

E

【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至AADH,可使A8与AO重合，则”在OC

上，然后证明从而可得到EF=FH,设EF=FH=x,则FC=x-2,在

□△EFC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到尸3、FC的长，然后再依据相似

三角形的性质求得CG的长，从而可得到BG的长，最后，依据勾股定理可求得AG的长.

【解答】解：把△ABE绕点4逆时针旋转90°至△AOH,可使AB与4。重合，则，在

VZBAD=90°,

：.ZBAE+ZBAH=90°,

VZEAF=45°,

AZM//=90°-45°=45°,

：.2EAF=4FAG=45°,

在△E4F和△H4尸中，AE=AH,NEAF=NHAF,AF=AF,

.♦.△EAF丝(SAS),

：.EF=FH,

设EF=FH=x,则。尸=x+l,FC^x-2.

在Rtz^EFC中，依据勾股定理可知：X2=42+(x-2)2,解得：x=5,

：.FD=6,FC=3.

\'BC//AD,

.••Sl=胆，即竺=W,解得：CG=1.5.

ADDF36

：.BG=1.5.

,1,AG=VAB2+BG2=^32+（y）

故答案为：述.

2

【点评】本题主要考查的是正方形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关图

形的性质是解题的关键.

12.如图1所示，一张三角形纸片ABC,/ACB=90",AC=8,BC=6,沿斜边48的中

线C£＞把这张纸片剪成△ACiOi和△BCzS两个三角形（如图2所示）.将纸片△ACD沿

直线。28（4-B方向）平移（点A,D\,。2,B始终在同一直线上），当。I与点8重合

时，停止平移.在平移的过程中Ci。与BC2交于点E,4cl与C2）、BC2分别交于点F、

P.当△4。。和△BC2S重复部分面积等于原△4BC纸片面积的二L,则平移距离。2。1

25

为或2.

一3

【分析】设平移距离D2DI为x,AAC1D1和△BC202重复部分面积为y，由于△AC1G

马ABCzD?重叠部分为不规则图形，所以将其面积转化为S&BC1D2-S"ED\-S&FC2P，再

求各三角形的面积即可得到y关于x的函数关系式，令），=」L$AABC，即可求得相应的x

25

的值.

【解答】解：,・・］。1〃。2。2,

：.ZCI=ZAFD2.

又・・・NACB=90°,CD是斜边上的中线，

：.DC=DA=DB,即。1。1=。2。2=8。2=4。1

AZCi=ZA,

・•・ZAFD2=ZA

:.AD2=D2F.

同理：BD\=D\E.

又

・•AD?=ZBDi.

：.D\E=D2F.

•••在RtZXABC中,AC=8,BC=6,

・•・由勾股定理，得AB=10.

即A0=8D2=Ci功=C2D2=5

又・・・£>2DI=X，

：.D\E=BDI=D2F=AD2=5-x.

・'.Q/=C]E=x

在△BC2£>2中，C2到B£>2的距离就是△ABC的48边上的高，为2支.

5

设ABED〕的BDi边上的高为h,

由探究，得△BC2。2s△BE。，

.h_5-x

"24_-

5

,-./7=24（5-X）SAB£DIBDIX/?=12.（5-x）2

25225

又•..NCI+NC2=90°,

尸PC2=90°.

又"：NC?=NB,sinB=A,cosB=—.

55

2

：.PC2=^JC,PF=hc,S^FC2P=—PC2XPF=_Lr

55225

Hccc1c19_262

而y=S^RC2D2-S"ED\-SAFC2P=—4ABC———（z5-Xx）--^尸

22525

.•.y=-鸟2+劣（04W5）.

255

当y=~^—S/\ABC时，-A^,v2+-^,r=—X24,

'2525525

解得或x=2.

3

故答案是：11^2.

3

【点评】本题综合性强，考查图形的平移、二次函数解析式的确定以及综合问题、分析

问题、解决问题的能力，考查较全面.同时本题是一道操作性问题，而且是动态问题，

第1小题不难解决，第2小题的一大难点是如何求阴影部分的面积，要注意领会这种整

体补形法.

13.在正方形ABC。中，AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD

=2AP,则AP的长为2或

【分析】根据正方形的性质得出4clAC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=8C=A£>

=CD=6,ZABC=90°,根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD,画出

符合的三种情况，根据勾股定理求出即可.

【解答】解：：四边形ABCO是正方形，AB=6,BC

J.ACLBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ZABC=ZDAB=

90°,

22=

在RtZiABC中，由勾股定理得：AC=7AB+BCV62+62=

：.OA=OB=OC=OD=3近,

有6种情况：①点P在上时，BC

'：AD=6,PD=2AP,

；.AP=2；

②点P在4c上时，BC

iSAP=X,贝尸=2X,

在RtZ\Z)PO中，由勾股定理得：DP1=DO1+OP2,

(2x)2=(3&)2+(3我-x)2,

解得：x=gN-&(负数舍去)，

设AP=y,贝ijQP=2y,

在RtA4P。中，由勾股定理得：AP^+AIT=DP1,

y2+62=(2y)2,

解得：y=2炳(负数舍去2

即AP=2我；

④当P在BC上

'：DP=AP,

'2Ve2+x2=Ve2+(6-x)2,

即x+6x+24=0,

△=62-4XlX24<0,此方程无解，

即当点P在8c上时，不能使。尸=2AP；

VZA£>C=90°,

：.AP>DP,不能。P=2AP,

即当P在。C上时，不能具备。P=2AP；