《直线的倾斜角与斜率（第1课时）》教学设计

高中数学精选资源2/22.1直线的倾斜角与斜率（第1课时）一、内容和内容解析1.内容直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.2.内容解析直线的倾斜角和斜率分别从形和数刻画了直线的方向：相对于x轴的倾斜程度，一点和倾斜角，或一点和斜率确定了平面直角坐标系中直线的位置.过两点的直线斜率公式把直线的倾斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来，实现了对直线几何特征的代数刻画.它是解析几何中的基本公式，是建立直线方程的基础.为了用代数方法研究直线的有关问题，首先需要探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角的概念刻画直线的方向；进而通过向量法，用直线上两点的坐标刻画直线倾斜角的正切值，把它表示为这两点纵横坐标的差商，引出直线斜率的概念；最后建立过两点的直线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.这一过程体现了坐标法的基本思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率公式.二、目标和目标解析1.目标（1）初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.（2）理解直线的倾斜角与斜率的概念.（3）掌握过两点的直线的斜率公式.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过介绍章引言，学生能够说出坐标法的基本思想，知道笛卡儿、费马是解析几何的创立者，了解解析几何在数学历史发展中的作用.（2）通过对平面直角坐标系中直线的分析，认识一点和一个方向唯一确定一条直线.过同一点的直线的方向不同，其倾斜程度就不同，直线就不同；对于倾斜程度，可以用倾斜角刻画，也可以用斜率（倾斜角的正切值）刻画；进一步，斜率可以用直线上两点的坐标定量刻画.（3）能够运用向量法，通过对过原点及其上一具体点、不过原点过两个其他具体点，以及过任意两点的直线倾斜角正切值的获得过程，体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究方法；建立直线倾斜角的正切值与直线上任意两点坐标之间的关系，进而获得斜率的概念；经历上述用坐标法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式.三、教学问题诊断分析解析几何的创立与对数的发明、微积分的建立被恩格斯并称为17世纪数学的三大成就，其意义不言而喻.学生初次接触解析几何内容，需要教师通过章引言的教学，让他们了解解析几何创立的背景、内涵、思想方法，以及历史意义，初步认识坐标法.在本节课的学习中，学生知道两点确定一条直线，以及一点和一个方向确定一条直线，但对于如何把这种确定直线位置的几何要素转化为平面直角坐标系中的代数刻画存在困难.其中，将两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线，以及把直线的方向转化为直线的倾斜角，都是本节课的难点.教学中，要结合前面方向向量的学习，引导学生将两点确定一条直结为一点和一个方向确定一条直线；引导学生观察过一点的不同直线的区别，帮助学生建立直线的方向和倾斜角之间的联系.倾斜角是对直线倾斜程度的几何度量，是个几何量；而斜率公式中的纵横坐标的差商，是个代数量，是对直线倾斜程度的代数度量.建立两者之间的关系，对于学生来说，也有一定的困难.教学中，要借助向量工具，通过从特殊到一般的过程，引导学生层层递进地理解用点的纵横坐标的差商刻画直线倾斜角的方法，建立直线的斜率公式.四、教学过程设计1.章引言的教学引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始.我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的.问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指出本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性质的定量化研究.设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.2.用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“两点确定一条直线”.追问：还有没有其他确定一条直线的方法？师生活动：教师引导学生思考，得出一点和一个方向也能确定一条直线，并把两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线.设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.问题3：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图1中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开来吗？师生活动：学生可能会指出这些直线的区别在于它们的方向不同，也可能会说这些直线与x轴所成的角不同.在学生充分讨论的基础上，教师可以引导学生思考，以平面直角坐标系中坐标轴为基准规定直线的方向，并用直线与x轴形成的角刻画直线的方向，在此基础上引入倾斜角的概念.在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.设计意图：让学生通过观察过同一点的不同位置的直线，并强调以直角坐标系为参照系，探究区分不同位置直线的方法，引导学生感受在直角坐标系中利用倾斜角刻画直线方向的合理性.问题4：你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？师生活动：教师可以通过信息技术演示直线l从与x轴平行或重合时开始绕一个点旋转的过程，让学生感受直线的倾斜角的变化范围是0≤α<180°，使学生确认0°≤α<180°设计意图：借助信息技术的直观，引导学生讨论在直角坐标系中直线的倾斜角取值的各种情况，进一步确认用倾斜角刻画一条直线倾斜程度的合理性.3.推导直线的斜率公式题5：直线l的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？我们知道，直线l可由其上任意两点（其中）唯一确定，可以推断，直线l的倾斜角一定与，两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系？下面我们利用向量来研究这个问题.（1）已知直线l经过两点，直线l的倾斜角α与O，P两点的坐标有什么关系？（2）如果直线l经过两点，直线l的倾斜角α与两点的坐标有什么关系？师生活动：教师提出问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角α与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）.追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题.问题6：这个公式对任何给定的两点都适用吗？这个公式的意义是什么？与我们日常生活中刻画斜面倾斜程度的坡度有联系吗？师生活动：学生在观察与分析中能发现公式对垂直于x轴的直线不适用，其他都适用；并能在讨论交流中认识到该公式是通过点的坐标刻画倾斜角，也就是直线的方向，这正是我们最希望得到的一个量用点的坐标表示直线的方向.从而引导学生将其命名为斜率（顾名思义，就是倾斜程度的一个比值），并用字母k表示它，即.最后引导学生回忆日常生活中坡度的计算方法：坡度=铅直高度水平宽度，感知直线的斜率与坡度有相似的地方.设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达，这种形式能直接参与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.问题7：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90°时，直线的斜率是多少？师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助学生理解其中的变化情况和特殊点的取值.设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.4.直线的方向向量与斜率问题8：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？师生活动：教师引导学生建立直线的方向向量与其斜率之间的关系，利用直线的方向向量得到：如果直线的一个方向向量为，则它的斜率.设计意图：利用斜率公式和直线的方向向量的坐标表示，建立二者之间的联系，为今后相关问题的解决奠定基础.5.巩固应用所学知识例1如图2，已知，求直线AB，BC，思考题（视学情备选）：直线l过点，且与以为端点的线段PQ有公共点.（1）直线l倾斜角的取值范围是__________,（2）直线l斜率的取值范围是__________.师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题，视学生学情而定，可以师生共同分析完成.设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系；思考题是为基础比较好的班级学生设计的，也可以留作学生课后思考讨论.6.课堂小结，布置作业课堂小结：教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生对本节课的研究对象与结论、研究的基本思路与思想进行梳理.师生活动：教师提出问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理出本节课研究问题的基本流程框图.教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类讨论、坐标法、数形结合思想.设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识与习惯，让学生了解解析几何的起源与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现探究的过程与方法有清晰的认识.布置作业教科书习题2.1第1，2，3，4，7，8题.五、目标检测设计1.如图，若直线的斜率分别是，则().设计意图：考查学生对直线方向与斜率大小关系的